2019版高考数学复习解析几何第51讲双曲线学案.docx

第51讲双曲线考纲要求考情分析命题趋势1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景3理解数形结合的思想.2017全国卷，152017全国卷，92017北京卷，92017天津卷，52017江苏卷，81.求解与双曲线定义有关的问题；利用双曲线的定义求轨迹方程；求双曲线的标准方程；确定双曲线焦点的位置2求双曲线的渐近线；求解与双曲线的范围、对称性有关的问题；求解双曲线的离心率.分值：5分1双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的_距离的差的绝对值_等于常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做_双曲线的焦点_，两焦点间的距离叫做_双曲线的焦距_集合P，2c，其中a，c为常数，且a0，c0.(1)当_ac_时，点P的轨迹是双曲线；(2)当_ac_时，点P的轨迹是两条射线；(3)当_ac_时，点P不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRya或ya，xR对称性对称轴：_坐标轴_，对称中心：_原点_顶点A1_(a,0)_，A2_(a,0)_A1_(0，a)_，A2_(0，a)_渐近线yxyx离心率e_，e(1，)a，b，c的关系c2_a2b2_实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长_2a_；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长_2b_；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长3常用结论(1)双曲线的焦点到渐近线0(a0，b0)的距离为b.如右图OFH是分别以边a，b，c为边长的直角三角形(2)如下图：1(ab0)1(a0，b0)则有：P1，P2两点坐标都为，即.1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内到点F1 (0,4)，F2(0，4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线()(2)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线()(3)方程1(mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(4)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()解析 (1)错误由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部(2)错误因为8，表示的轨迹为两条射线(3)错误当m0，n0时表示焦点在x轴上的双曲线，而m0，n0时则表示焦点在y轴上的双曲线(4)正确因为1(a0，b0)的渐近线方程为yx，即0，所以当0时，1(m0，n0)的渐近线方程为0，即0，即0，同理当0时，仍成立，故结论正确2过双曲线x2y28的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若7，F2是双曲线的右焦点，则PF2Q的周长是(C)A28B148C148D8解析 由双曲线定义知，4，4，()8.又7，78.PF2Q的周长为148.3双曲线2x2y28的实轴长是(C)A2B2C4D4解析 双曲线2x2y28的标准方程为1，所以实轴长2a4，故选C4设双曲线1(a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为(C)A4B3C2D1解析 双曲线1的渐近线方程为0.整理得3xay0，故a2，故选C5(2017北京卷)若双曲线x21的离心率为，则实数m_2_.解析 由双曲线的标准方程可知a21，b2m，所以a1，c，所以，解得m2.一双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义和标准方程中的注意点(1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义(2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支(3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意a，b，c的关系易错易混【例1】 (1)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则C的方程是(B)A1B1C1D1(2)设F1，F2是双曲线x21的两个焦点，P是双曲线上的一点，且34，则PF1F2的面积等于(C)A4B8C24D48(3)已知F1，F2为双曲线1的左、右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为(C)A4B4C2D2解析 (1)由曲线C的右焦点为F(3,0)，知c3，由离心率e，知，则a2，故b2c2a2945，所以双曲线C的方程为1.(2)双曲线的实轴长为2，焦距为2510.据题意和双曲线的定义知2，6，8，222，PF1PF2.SPF1F26824.(3)|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值，则|AP|AF1|PF1|，|AP|AF2|AP|AF1|2a2.二双曲线的几何性质及其应用双曲线中一些几何量的求解方法(1)求双曲线的离心率(或范围)依据题设条件，将问题转化为关于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得(2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中a，b的值或a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程(3)求双曲线的方程依据题设条件求出a，b的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程(4)求双曲线的焦点(焦距)、实(虚)轴的长依题设条件及a，b，c之间的关系求解【例2】 (1)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为(C)AyxByxCyxDyx(2)(2017全国卷)若双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，则C的离心率为(A)A2BCD(3)若双曲线1(a0，b0)右顶点为A，过其左焦点F作x轴的垂线交双曲线于M，N两点，且0，则该双曲线的离心率的取值范围为(B)A(2，)B(1,2)CD解析 (1)e，e2，a24b2，渐近线方程为yx，即yx.(2)依题意，双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线方程为bxay0.因为直线bxay0被圆(x2)2y24所截得的弦长为2，所以，所以3a23b24b2，所以3a2b2，所以e2.故选A(3)由题意，可得M，N，A(a,0)，.0，(ac)20，ac0，2a2acc20，即e2e20，又e1，解得1e2，故选B三直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系的解决方法(1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立，消元后转化成关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系，整体代入(2)与中点有关的问题常用点差法(3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系【例3】 若双曲线E：y21(a0)的离心率等于，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点(1)求k的取值范围；(2)若6，点C是双曲线上一点，且m()，求k，m的值解析 (1)由得故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1k2)x22kx20.因为直线与双曲线右支交于A，B两点，故即所以1k，即k的取值范围是(1，)(2)由得x1x2，x1x2，26，整理得28k455k2250，k2或k2，又1k，k，x1x24，y1y2k(x1x2)28，设C(x3，y3)，由m()，得(x3，y3)m(x1x2，y1y2)(4m,8m)，点C是双曲线上一点，80m264m21，得m，故k，m.1已知l是双曲线C：1的一条渐近线，点P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则点P到x轴的距离为(C)ABC2D解析 F1(，0)，F2(，0)，不妨设l的方程为yx，则可设P(x0，x0)，由(x0，x0)(x0，x0)3x60，得x0，故P到x轴的距离为2，故选C2过双曲线1(a0，b0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点A，B，若OAB的面积为，则双曲线的离心率为(D)ABCD解析 由题意可求得，所以SOABc，整理得，即e，故选D3已知双曲线C：1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线上，若6a，且PF1F2最小内角的大小为30，则双曲线C的渐近线方程为(B)Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0解析 由题意不妨设2a，6a，4a，2a，2c2a，PF1F2最小内角为PF1F230，在PF1F2中，由余弦定理得4a24c216a222c4acos 30，解得ca，ba，故双曲线的渐近线方程为yxx，即xy0，故选B4(2017全国卷)已知双曲线C：1(a0，b0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点若MAN60，则C的离心率为.解析 双曲线的右顶点为A(a,0)，一条渐近线的方程为yx，即bxay0，圆心A到此渐近线的距离d，因为MAN60，圆的半径为b，所以bcos30，即，所以e.易错点求曲线方程时，忽略定义的应用错因分析：不能利用平面几何知识和双曲线定义解题，使解题无从入手【例1】 已知ABC的顶点A(5,0)，B(5,0)，ABC的内切圆圆心在直线x3上，则顶点C的轨迹方程为_解析 如图，8，2，.所以826.根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为1(x3)答案 1(x3)【跟踪训练1】 (2016全国卷)已知F1，F2是双曲线E：1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin MF2F1，则E的离心率为(A)ABCD2解析 由MF1x轴上，得M，|MF1|，由双曲线的定义可得|MF2|2a|MF1|2a，又sin MF2F1，化简得ab，e.故选A课时达标第51讲解密考纲对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形方程或不等式综合在一起，以选择题、填空题形式出现，或在解答题中以第一问作考查的第一步一、选择题1已知双曲线1(a0，b0)的一个焦点与抛物线y24x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(D)A5x2y21B1C1D5x2y21解析 抛物线y24x的焦点为 F(1,0)，c1，e，得a2，b2c2a2，则双曲线的方程为5x2y21，故选D2已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线y21的离心率为(C)AB2C或2D或解析 根据条件可知m29，m3.当m3时，e；当m3 时，e2，故选C3双曲线2y21的渐近线与圆x2(ya)21相切，则正实数a(C)ABCD解析 双曲线2y21的渐近线方程为yx，圆心为(0，a)，半径为1，由渐近线和圆相切，得1，解得a.4若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的(D)A离心率相等B虚半轴长相等C实半轴长相等D焦距相等解析 因为0k0，b0)的左焦点为F，离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(B)A1B1C1D1解析 由e知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为yx，由P(0,4)知左焦点F的坐标为(4,0)，所以c4，则a2b28.故选B6已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(A)Axy0Bxy0Cx2y0D2xy0解析 由已知得，解得，故选A二、填空题7已知双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线与直线l：xy0垂直，C的一个焦点到直线l的距离为1，则C的方程为_x21_.解析 双曲线的一条渐近线与直线l：xy0垂直，双曲线的渐近线的斜率为，即.由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，根据点到直线的距离公式，得1，c2，即a2b24.联立，解得a21，b23 ，双曲线的标准方程为x21.8若双曲线x21(b0)的一条渐近线与圆x2(y2)21至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_(1,2_解析 双曲线的渐近线方程为ybx，则有1，解得b23，则e21b24，所以10，b0)的右支与焦点为F的抛物线x22py(p0)交于A，B两点若|AF|BF|4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为_yx_.解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义可知|AF|y1，|BF|y2，|OF|，由|AF|BF|y1y2y1y2p4|OF|2p，得y1y2p.kAB.由得kAB，则，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.三、解答题10已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上解析 (1)离心率e，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，可得42()26，双曲线方程为x2y26.(2)证明：点M(3，m)在双曲线上，32m26，m23，又双曲线x2y26的焦点为F1(2， 0)，F2(2，0)， (23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，MF1MF2，点M在以F1F2为直径的圆上11设A，B分别为双曲线1(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)已知直线yx2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使t，求t的值及点D的坐标解析 (1)由题意知a2，焦点(c,0)到渐近线bxay0的距离，即b，双曲线方程为1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1x2tx0，y1y2ty0.将直线方程代入双曲线方程得x216x840，则x1x216，y1y212.由t，得(16，12)(4t,3t)，t4，点D的坐标为(4，3)12已知双曲线C：x2y21及直线l：y