初中数学几何模型秘籍.pdf

经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 1 熟能生巧熟能生巧 模型一：手拉手模型全等 等边三角形 条件：OAB,OCD均为等边三角形 结论：OACOBD;60AEB OE平分AED（易忘） E O D C BA AB C D O E O AB E AB C D O E 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 2 2 锲而不舍锲而不舍 等腰RT 条件：OAB,OCD均为等腰直角三角形 结论：OACOBD;90AEB OE平分AED（易忘） O AB E C D D C E BA O AB E O 导角核心图形 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 3 熟能生巧熟能生巧 任意等腰三角形 条件：OAB,OCD均为等腰三角形 且AOBCOD 结论：OACOBD;AEBAOB OE平分AED（易忘） 模型总结：核心图形如右图，核心条件如下： OAOB，OCOD AOBCOD O A B C D E O AB C D 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 4 4 锲而不舍锲而不舍 模型二：手拉手模型相似 条件：CDAB，将OCD旋转至右图位置 结论：右图 OCDOABOACOBD 且延长AC交BD与点E 必有BECBOA 非常重要的结论，必须会熟练证明 O AB C D O A B C D 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 5 熟能生巧熟能生巧 手拉手相似（特殊情况） 当90AOB时， 除OCDOABOACOBD之外 还会隐藏tan BDODOB OCD ACOCOA 满足BDAC,若连结AD、BC,则必有 2222 ADBCABCD 1 2 ABCD SACBD（对角线互相垂直四边形） E O C AB D O C AB D 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 6 6 锲而不舍锲而不舍 模型三：对角互补模型 （全等型90） 条件：90AOBDCE OC平分AOB 结论：CDCE；2ODOEOC 2 1 2 ODCEOCDOCE SSSOC 辅助线之一：作垂直，证明CDMCEN E D C BO A N M A OB C D E 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 7 熟能生巧熟能生巧 条件：90AOBDCE OC平分AOB 结论：CDCE；2ODOEOC 2 1 2 ODCEOCDOCE SSSOC 辅助线之二：过点C作CFOC 证明ODCFEC F A O B C D E 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 8 8 锲而不舍锲而不舍 当DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之一） CDCE不变 2OEODOC（重点） 2 1 2 OCEOCD SSOC （难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 M NE D C B O A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 9 熟能生巧熟能生巧 当DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之二） CDCE不变 2OEODOC（重点） 2 1 2 OCEOCD SSOC （难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 F A O B C D E 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 1010 锲而不舍锲而不舍 细节变化：若将条件“OC平分AOB”与结 论“CDCE”互换 条件：90AOBDCE CDCE 结论：OC平分AOB； 2ODOEOC 2 1 2 ODCEOCDOCE SSSOC E D C BO A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 11 熟能生巧熟能生巧 （全等型120） 条件：2120AOBDCE OC平分AOB 结论：CDCE；ODOEOC 2 3 4 ODCEOCDOCE SSSOC 请模仿（全等形90）辅助线之一完成证明 O D A C E B 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 1212 锲而不舍锲而不舍 辅助线之二： 在OB上取一点F， 使O F O C 证明OCF为等边三角形（重要） 结论：CDCE；ODOEOC 2 3 4 ODCEOCDOCE SSSOC 必须熟练，自己独立完成证明 F B E C A D O 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 13 熟能生巧熟能生巧 当DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之二） _ _（重点） _（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 O D A C E B F 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 1414 锲而不舍锲而不舍 （全等型任意角） 条件：2AOB,1802DCE CDCE 结论：OC平分AOB； 2cosODOEOC 2 sincos ODCEOCDOCE SSSOC 难度较大，记得经常复习 OB E CD A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 15 熟能生巧熟能生巧 当DCE 一边交 AO 延长线上于点 D 时，如图 以上三个结论： （辅助线之二） _ _（重点） _（难点） 请独立完成以上证明，必须非常熟练掌握 请思考初始条件的变化，对模型的影响 O B E C D A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 1616 锲而不舍锲而不舍 （对角互补模型-相似型） 如图，若将条件“OC平分AOB”去掉 条 件 ： 90AOBDCE不 变 ， C O E，结论中三个条件又该如何变化？ 结论：tanCECD； (tan)cosODOEOC 22 1 tantan 2 OCDOCE SSOC O A D C EB M NB E C D A O 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 17 熟能生巧熟能生巧 证明：过点C作CFOC，交OB于点F 90DCEOCF DCOECF 180AOBDCE 180CDOCEO CDOCEF CDOCEF tan EFCECF DOCDCO （关键步） F O A D C E B 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 1818 锲而不舍锲而不舍 结论得证 tanEFOD () cosOEEFOC 结论得证 22 ()tan CEF CDO SCF SCO 2 tan CEFCDO SS OCECEFOCF SSS 且 2 1 tan 2 OCF SOC 结论得证 难度非常大，请仔细认真复习 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 19 熟能生巧熟能生巧 对角互补模型总结： 常见初始条件：四边形对角互补 两点注意：四点共圆和直角三角形斜边中线 初始条件：角平分线与两边相等的区别 常见两种辅助线的作法 注意下图中“OC平分AOB” CDECEDCOACOB相 等 是 如 何推导 E D C BO A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 2020 锲而不舍锲而不舍 角含半角模型(90) 条件：正方形ABCD；45EAF 结论：EFDFBE CEF周长为正方形ABCD周长一半 也可以这样： 条件：正方形ABCD；EFDFBE 结论：45EAF 口诀：角含半角要旋转 F E D C B A G A B C D E F 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 21 熟能生巧熟能生巧 角含半角模型(90) 条件：正方形ABCD；45EAF 结论：EFDFBE 辅助线： A B C D E F A B C D E FF E D C B A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 2222 锲而不舍锲而不舍 角含半角模型(90) 条件：等腰直角ABC；45DAE 结论： 222 BDCEDE 若DAE旋转到ABC外部时 结论： 222 BDCEDE仍然成立 ED C B A F A B C DE F ED C B A A B C DE 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 23 熟能生巧熟能生巧 角含半角模型(90)变形 条件：45EAF; 结论：AHE为等腰直角三角形（重点/难点） 证明：连接AC（方法不唯一） 45DACEAF,DAHCAE 45ADHACE,ADHACE DAAC AHAE AHEADC H G A B C D E F H G A B C D E F 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 2424 锲而不舍锲而不舍 倍长中线类模型 条件：矩形ABCD；BDBE DFEF 结论：AFCF 模型提取： 有平行线ADBE 平行线间线段有中点DFEF 可以构造 8 字全等ADFHEF H H BE F DA F E D CB A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 25 熟能生巧熟能生巧 倍长中线类模型 条件：平行四边形；ABCD2BCAB； AMDM；CEAD 结论：3EMDMEA 辅助线:有平行ABCD，有中点AMDM 延长EM， 构造AMEDMF， 连接CM构 造等腰EMC,MCF 通过构造 8 字全等线段数量及位置关系， 角的大 小转化 F A B C D E MM E D CB A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 2626 锲而不舍锲而不舍 相似三角形 360 度旋转模型（倍长中线法） 条件：ADE、ABC均为等腰直角 EFCF 结论：DFBF；DFBF 辅助线：延长DF到点G，使FGDF，连 接CG、BG、BD证明BDG为等腰直角 突破点：ABDCBG 难点：证明BADBCG G AB C D E FF E D C BA 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 27 熟能生巧熟能生巧 相似三角形 360 度旋转模型（补全法） 条件：ADE、ABC均为等腰直角 EFCF 结论：DFBF；DFBF 辅助线：构造等腰直角AEG、AHC 辅助线思路： 将DF与BF转化到CG与EH H G F E D C B AAB C D E F 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 2828 锲而不舍锲而不舍 任意相似直角三角形 360 度旋转模型 （补全法） 条件：OABODC 90OABODC； BECE 结论：AEDE；2AEDABO 辅助线：延长BA到点G，使AGAB，延长 CD到点H使DHCD，补全OGB、 OCH构造旋转模型，转化AE与DE到CG 与BH，难点在转化AED O H G A B E C D E D C B A O 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 29 熟能生巧熟能生巧 任意相似直角三角形 360 度旋转模型（倍长法） 条件：OABODC 90OABODC； B E C E 结论：AEDE；2AEDABO 辅助线：延长DE至M，使MEDE，将结 论的两个条件转化为证明AMDABO，此 为难点，将AMDABO继续转化为证明 ABMAOD,使用两边成比且夹角等 此处难点在证明ABMAOD M A B E C D O A B E C D O 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 3030 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之一（将军饮马类） 总结： 以上四图为常见的轴对称类最短路程问题， 最后都转化到： “两点之间，线段最短”解决 特点：动点在直线上；起点，终点固定 PA+PQ+BQ PA+PB l2 l1 B A Q P B A P l B B A AP+PQ+QB AP+PQ+QB l1 l2 A Q P B A l A Q P B B A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 31 熟能生巧熟能生巧 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如右图OC平分AOB M为OB上一定点 P为OC上动点 Q为OB上动点 求：MPPQ最小时，P、Q的位置 辅助线：将作Q关于OC对称点Q，转化 PQPQ，过点M作MHOA MPPAMPPQMH（垂线段最短） H Q Q P M C B O A P A 垂线段最短 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 3232 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如图，点A、B为定点，P为动点 问题：点P在何处， 1 2 BPAP最短 结论：以A为顶点作30PAC，过点P作 PQAC，转化 1 2 PQAP,过点B作AC 的垂线与AP的交点为所求（垂线段最短） 所求点 定点 动点 定点 C Q A B P l l P B A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 33 熟能生巧熟能生巧 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：如图，点A、B为定点，P为动点 问题：点P在何处， 2 2 BPAP最短 结论：以A为顶点作45PAC，过点P作 PQAC，转化 1 2 PQAP,过点B作AC 的垂线与AP的交点为所求 所求点 定点 动点 定点 C Q A B P l l P B A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 3434 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之二（点到直线类） 条件：(0,4)A、( 2,0)B ，(0, )Pn 问题：n为何值时， 5 5 PBPA值最小 结论： x上取点(2,0)C， 使 5 s i n 5 O A C 过点B作BDAC， 交y轴于点E为所求 1 tantan 2 EBOOAC，即(0,1)E E D C A Bx y O PP O y xB A 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 35 熟能生巧熟能生巧 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：线段4OA,2OB()OAOB OB绕点O在平面内360旋转 问题：AB的最大值，最小值分别为多少？ 结论：以点O为圆心，OB为半径作圆，如图 所示， 将问题转化为 “三角形两边之和大于第三 边，两边之差小于第三边” 最大值：OAOB；最小值：OAOB 最大值位置 最小值位置 B O A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 3636 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：线段4OA,2OB 以点O为圆心，OB，OC为半径作圆 点P是两圆所组成圆环内部（含边界）一点 问题： 若PA的最大值为10，则6OC 若PA的最小值为1，则3OC 若PA的最小值为2，则PC的取值范围是 02PC P C A O B 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 37 熟能生巧熟能生巧 最短路程模型之三（旋转类最值模型） 条件：Rt OBC，30OBC 2OC ;1OA；点P为BC上动点 （可与端点重合） ；OBC绕点O旋转 结论：PA最大值为12 3OAOB PA最小值为 1 31 2OB OA 如右图,圆的最小半径为O到BC垂线段长 P O C B A A B C O P 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 3838 锲而不舍锲而不舍 最短路程模型之四（动点在圆上） 条件：以点O为圆心三个圆，OA、OD固定 OP绕点O旋转 问题：点Q在什么位置时，EPMB最小 辅助线：连接DQ、QC，当Q、D、C三 点共线时，EPMBDQQCDC最小 O A BC D P QM E F 经典模型系列手册经典模型系列手册 温故而知新温故而知新 39 熟能生巧熟能生巧 最短路程模型之四（动点在圆上） 条件：正方形ABCD且边长为4； B的半径为2；P为B上动点 问题：求(/ 2)PDPC最小值 辅助线:过点E作EMPC，取BE中点N 转化思路： 将/ 2PC转化ME， 将ME转化为 MN，因此MDMN的最小值为DN长度 总结：/ 2PC的比值不是随意给出的，而是圆 的半径/rBC EN M A B C D P P D C B A 智康智康 1 1 对对 1 1 初数团队制作初数团队制作 滴水穿石滴水穿石 4040 锲而不舍锲而不舍 二倍角模型 条件：ABC中，2BC 辅助线：以BC的垂直平分线为对称轴，作点 A的对称点A，连接AA、BA、CA 则BA为ABC的角平分线， 那么BAAACA（注意这个结论） 此种辅助线的作法是二倍角三角形常见的辅助 线作法之一，但