2019版高考数学复习解析几何课时分层作业五十七8.8抛物线理.docx

课时分层作业 五十七抛物线一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知抛物线y2=x,则它的准线方程为()A.y=-2B.y=2C.x=-D.y=【解析】选C.因为抛物线y2=x,所以p=,=,它的准线方程为x=-.2.(2018洛阳模拟)已知点M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F为C的焦点,MF的中点坐标是(2,2),则p的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选D.F,那么M在抛物线上,即16=2p,即p2-8p+16=0,解得p=4.3.若抛物线y2=2px(p0)上的点P到其焦点F的距离是P到y轴距离的3倍,则p等于()A.B.1C.D.2【解析】选D.根据焦半径公式|PF|=x0+,所以x0+=3x0,解得x0=,代入抛物线方程=2p,解得p=2.【变式备选】抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,P是C上一点,若P到F的距离是P到y轴距离的两倍,且三角形OPF的面积为1(O为坐标原点),则p的值为()A.1B.2C.3D.4【解析】选B.设点P(x,y),根据已知可得x+=2x,解得:x=,|y|=p,所以SOPF=p=1,解得p=2.4.(2018正定模拟)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)【解析】选C.如图所示,作出抛物线的准线l1及点A,B到准线的垂线段AA1,BB1,并设直线l交准线于点M.设|BF|=m,由抛物线的定义可知|BB1|=m,|AA1|=|AF|=3m.由BB1AA1可知=,即=,所以|MB|=2m,则|MA|=6m.故AMA1=30,得AFx=MAA1=60,结合选项知选C项.【一题多解】本题还可以采用以下方法:选C.由|AF|=3|BF|可知=3,易知F(1,0),设B(x0,y0),则从而可解得A的坐标为(4-3x0,-3y0).因为点A,B都在抛物线上,所以解得x0=,y0=,所以kl=.【变式备选】已知抛物线C:y2=4x的焦点是F,过点F的直线与抛物线C相交于P,Q两点,且点Q在第一象限,若3=,则直线PQ的斜率是()A.1B.C.D.【解析】选D.设P,Q,由抛物线的方程可知,抛物线的焦点F,因为3=,则3=,所以y2=-3y1,又设过焦点的直线的斜率为k,所以方程为y=k,联立得方程组得y2-y-4=0,所以y1+y2=,y1y2=-4,代入可得k=.5.(2018石家庄模拟)已知双曲线C1:-=1(a0,b0)的离心率为2.若抛物线C2:x2=2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为()A.x2=yB.x2=yC.x2=8yD.x2=16y【解析】选D.因为-=1的离心率为2,所以=2,即=4,所以=.x2=2py的焦点坐标为,-=1的渐近线方程为y=x,即y=x.由题意得=2,所以p=8.故C2的方程为x2=16y.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知直线l1:3x-4y+7=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_【解析】抛物线y2=4x的焦点坐标为F(1,0),准线方程是x=-1,根据抛物线定义,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和可以看成抛物线y2=4x上一动点P到焦点和直线l1的距离之和,其最小值为焦点F到直线l1:3x-4y+7=0的距离, d=2.答案:27.已知P在抛物线y2=2px(p0)上,且P到焦点F的距离为10,则焦点F到准线的距离为_.【解析】设点P(8,a)在抛物线y2=2px (p0)的准线上的射影为M,则M,依题意,|PM|=|PF|=10,即8-=10,所以p=4.即点F到抛物线准线的距离等于4.答案:4【题目溯源】本考题源于教材人教A版选修2-1 P67 练习T3“抛物线y2=12x上与焦点距离等于9的点的坐标是_”【变式备选】已知抛物线x2=y上一点A到准线的距离为,则A到顶点的距离等于_.【解析】p=,设A(x,y),则y+=,所以y=1.代入抛物线方程得x=1,所以A(1,1),|AO|=.答案:8.(2018重庆模拟)设抛物线y2=4x的焦点为F,过点F作直线l与抛物线分别交于两点A,B,若点M满足=,过M作y轴的垂线与抛物线交于点P,若|PF|=2,则M点的横坐标为_.【解析】抛物线y2=4x 的焦点F,由题意知,直线AB的斜率存在.设A,B,M,P,直线AB 方程为y=k,所以,所以ky2-4y-4k=0, 所以y1+y2=,所以y0=,因为 = 4x,所以x=,因为|PF|=2,所以x=1,k2=1,所以x0=+1=3.答案:3三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2018威海模拟)如图,已知抛物线C1:y=x2,圆C2:x2+(y-1)2=1,过点P(t,0)(t0)作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线C1和圆C2相切,A,B为切点.(1)求点A,B的坐标.(2)求PAB的面积.【解析】 (1)由题意知直线PA的斜率存在,故可设直线PA的方程为y=k(x-t).由消去y,整理得x2-4kx+4kt=0,由于直线PA与抛物线相切,得k=t.因此,点A的坐标为(2t,t2).设圆C2的圆心为D(0,1),点B的坐标为(x0,y0).由题意知:点B,O关于直线PD对称,故解得因此,点B的坐标为.(2)由(1)知|AP|=t,直线PA的方程为tx-y-t2=0.点B到直线PA的距离是d=.设PAB的面积为S(t),则S(t)=|AP|d=.10.(2018衡水模拟)已知抛物线C:y2=ax(a0)上一点P到焦点F的距离为2t. (1)求抛物线C的方程.(2)抛物线上一点A的纵坐标为1,过点Q(3,-1)的直线与抛物线C交于M,N两个不同的点(均与点A不重合),设直线AM,AN的斜率分别为k1,k2,求证:k1k2为定值.【解析】(1)由抛物线的定义可知|PF|=t+=2t,则a=4t,由点P在抛物线上,则at=.所以a=,则a2=1,由a0,则a=1,故抛物线的方程为y2=x.(2)因为A点在抛物线上,且yA=1.所以xA=1,所以A(1,1),设过点Q(3,-1)的直线l的方程x-3=m(y+1).即x=my+m+3,代入y2=x得y2-my-m-3=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=m,y1y2=-m-3,所以k1k2=-,为定值.【变式备选】已知点A(2,1)在抛物线E:x2=ay上,直线l1:y=kx+1(kR,且k0)与抛物线E相交于B,C两点,直线AB,AC分别交直线l2:y=-1于点S,T.(1)求a的值.(2)若|ST|=2,求直线l1的方程.【解析】(1)因为点A(2,1)在抛物线E:x2=ay上,所以a=4.(2)由(1)得抛物线E的方程为x2=4y.设点B,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意得=4y1,=4y2,由消去y,得x2-4kx-4=0,解得x1,2=2k2.所以x1+x2=4k,x1x2=-4.直线AB的斜率kAB=,故直线AB的方程为y-1=(x-2).令y=-1,得x=2-(由题意知x1+20),所以点S的坐标为.同理可得点T的坐标为.所以|ST|=,因为|ST|=2,所以|x1-x2|=2|k|.由|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1x2,得20k2=16k2+16,解得k=2或k=-2,所以直线l1的方程为y=2x+1或y=-2x+1.1.(5分)(2018玉溪模拟)若抛物线y2=2px(p0)上一点P(2,y0)到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为()A.y2=4xB.y2=6xC.y2=8xD.y2=10x【解析】选C.因为抛物线y2=2px,所以准线为x=-.因为点P(2,y0)到其准线的距离为4,所以2+=4,所以p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x.2.(5分)(2018永州模拟)已知点M,N是抛物线y=4x2上不同的两点,F为抛物线的焦点,且满足MFN=135,弦MN的中点P到直线l:y=-的距离为d,若|MN|2=d2,则的最小值为()A.B.1-C.1+D.2+【解析】选D.抛物线y=4x2的焦点F,准线为y=-,设|MF|=a,|NF|=b,由MFN=135,可得|MN|2=|MF|2+|NF|2-2|MF|NF|cos MFN=a2+b2+ab,由抛物线的定义可得M到准线的距离为|MF|,N到准线的距离为|NF|,由梯形的中位线定理可得d=(|MF|+|NF|)=(a+b),由|MN|2=d2,可得=1-1-=1-=,可得2+,当且仅当a=b时,取得最小值2+.【变式备选】(2018衡水模拟)焦点为F的抛物线C: y2=8x的准线与x轴交于点A,点M在抛物线C上,则当取得最大值时,直线MA的方程为()A.y=x+2或y=-x-2B.y=x+2C.y=2x+2或y=-2x+2D.y=-2x+2【解析】选A.过M作MP与准线垂直,垂足为P,则=,则当取得最大值时, MAF必须取得最大值,此时直线AM与抛物线相切,可设切线方程为y=k,与y2=8x联立,消去x得ky2-8y+16k=0,所以=64-64k2=0,得k=1.则直线方程为y=x+2或y=-x-2.3.(5分)(2016浙江高考)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是_.【解析】由抛物线定义得xM+1=10xM=9.答案:94.(12分)(2017北京高考)已知抛物线C:y2=2px过点P(1,1).过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点. (1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程.(2)求证:A为线段BM的中点.【解析】(1)把P(1,1)代入y2=2px得p=,所以C:y2=x,所以焦点坐标,准线:x=-.(2)设l:y=kx+,M(x1,y1),N(x2,y2),OP:y=x,ON:y=x,由题知A(x1,x1),B,由消去y得k2x2+(k-1)x+=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以y1+=kx1+=2kx1+,由x1+x2=,x1x2=,上式=2kx1+=2kx1+(1-k)2x1=2x1,所以A为线段BM的中点.5.(13分)(2017浙江高考)如图,已知抛物线x2=y.点A,B,抛物线上的点P(x,y),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1)求