函数、极限与连续(15).ppt

16:07,1,医学高等数学,数学与计算机教研室 韩新焕,16:07,2,第一章 函数、极限与连续,函数、极限与微积分之间的关系,16:07,3,1.1 函数,一.常量与变量 在某一变化过程中始终保持相对静止状态的量称为常量；时时处于变化着的量为变量。前者记为a, b, c等，后者记为x, y, t等。,1.1.1函数的概念,16:07,4,二、函数的概念,定义1 设在某个变化过程中存在两个变量x、y,若对于某一非空数集中的每一个x值,按照某一确定的关系f都有唯一一个实数y与之对应,则称变量y是变量x的函数, 记作： y f (x)，xD,定义域,自变量,因变量,f (D) 称为值域,函数图形：,16:07,5,理解：,函数的定义有两个要素： 一、自变量x必须有明确的定义域D； 二、在定义域范围内,变量x与y有确定的对应关系,这两个要素决定值域R。 如果两个函数相等,则这两个要素必须完全相同。 思考：两个函数y2(x1)与y2(x21)/(x1)是否相等？,16:07,6,约定：,定义域是自变量所能取的使算式有(实际)意义的一切实数值。,16:07,7,例1.1.1 求下列函数的定义域,因此f(x)的定义域为：,16:07,8,例1.1.2 已知函数f(x)x21, 求f(2) , ff(x)。,解：,16:07,9,例1.1.3 已知函数f(x1)x23x2, 求f(x)。,解： 令x1t, 则xt1, 将其代入原式, 得,16:07,10,函数举例一,例1.1.4 函数y2。定义域D(,), 值域Rf 2,例1.1.5 绝对值函数,例1.1.6 判断下面函数是否相同, 并说明理由,16:07,11,函数举例二,例1.1.7 符号函数,例1.1.8 狄利克雷函数,例1.1.9 取整函数yx,其中x为不超过x的最大整数,16:07,12,邻域,是指如果x0是实数轴上一点, 为正实数,则开区间x0x x0称为点x0的邻域，记为,16:07,13,1.1.2 函数的特性,单调性；奇偶性；有界性；周期性。 一、单调性 设函数f(x)的定义域为D，如果在D中某一个子区间I中任意取两个值x1和x2，当x1f(x2)，则称函数在区间I上是单调增加（或单调减少）的。 单调增加函数和单调减少函数统称为单调函数。,16:07,14,单调函数图像的特点是：,单调增加函数对应的曲线随自变量x的逐渐增大而上升；单调减少函数对应的曲线随自变量x逐渐增大而下降。,16:07,15,二、奇偶性,设函数f(x)的定义域为D,如果对D内任意一点x(xD),都满足f(x)f(x),则称函数f(x)在D内是偶函数;若函数f(x)对定义域D内任意一点x,都满足f(x)f(x),则称函数在D内是奇函数。 函数yx2是在其定义域(,)上是偶函数;函数ysinx是在其定义域(,)上是奇函数;函数ysinxcosx在其定义域(,)上非奇非偶。,16:07,16,偶函数的图像是关于y轴对称,奇函数的图像是关于原点对称,16:07,17,函数举例三,例1.1.10 判断函数的奇偶性,16:07,18,函数举例四,例1.1.11 判断函数的奇偶性,16:07,19,三、有界性,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数M,使得对于D中某一个子区间I内任意一点x,总有|f(x)|M (即Mf(x)M),则称函数在I上是有界的，否则是无界的。,16:07,20,如sinx 、cosx对区间(,)上任意一点x,存在M1,使得|sinx| M ,|cosx| M所以它们在区间(,)上都是有界函数。 lnx在区间(0,)上为无界函数,因为找不到那样一个正数M,使|lnx| M成立。,注意： (1)当一个函数有界时，它的界是不唯一的。 (2)有界与否是和I有关的。,16:07,21,如f(x)1/x在开区间(0,1)上是无界的,但在闭区间1,2上却是有界函数,因为在此区间上能找到M1,使当x1,2时|1/x|M成立。,16:07,22,四、周期性,设函数的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对于任意一点xD, f(xT)f(x)恒成立,则称f(x)在D上为周期函数,T称为周期。通常所说的周期是指最小正周期。 周期函数的图像特点是在这函数的定义域内,每个长度为周期T的区间上,函数所对应的曲线有相同的形状。,16:07,23,课堂练习,2.* 用分段函数表示函数,3.* 判别函数的奇偶性,16:07,24,解2,用分段函数表示函数,16:07,25,解3,判别函数的奇偶性,16:07,26,1.1.3 初等函数,一、基本初等函数 基本初等函数通常是指幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。,16:07,27,(1)幂函数y x,是常数,取值不同函数的定义域不同,16:07,28,(2) 指数函数 y ax,(a0,a1), (,),16:07,29,(3) 对数函数y logax,(a0,a 1), (0,),16:07,30,(4) 三角函数,正弦函数 y sin x , x(,),16:07,31,余弦函数,y cos x , x(,),16:07,32,正切函数,16:07,33,(5) 反三角函数,反正弦函数,16:07,34,反余弦函数,16:07,35,反正切函数,16:07,36,二.复合函数,定义2 设yf(u),而u(x), 且x在函数(x)的定义域或其一部分上取值时所对应的u值,函数yf(u)是有定义的,则称y是x的复合函数。记作： y f (x),举例： 注意：有些函数不能复合，如：,16:07,37,复合函数举例,例1.1.12 设,例1.1.13 将下列函数分解成基本初等函数,16:07,38,理解：,1. 两个函数复合要满足复合条件； 2. 中间变量可以多个； 3. 复合函数分解不唯一。,16:07,39,课堂练习,1. 下列函数能否复合成yf(x)函数? 若能,写出其解析式、定义域、值域。,2. 分析函数的复合结构,16:07,40,三.初等函数,定义3 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算所构成的函数。,例如：,16:07,41,非初等函数举例,符号函数,16:07,42,1.1.4 分段函数和反函数,一、分段函数 在定义域内,不同的区间上由不同解析式所表示的函数称为分段函数。 分段函数通常不是初等函数,不过,在不同段内的表达式,通常由初等函数表示。,16:07,43,二、反函数,定义4 设函数f(x)的定义域为D,值域为R,若对于任意一个yR，有唯一一个xD，使f(x)y成立,则x与y的对应关系在R上定义了一个新函数,称为函数yf(x)的反函数,记为xf 1(y)。 若把函数yf(x)称为直接函数,则直接函数的定义域(或值域)恰好是它的反函数xf 1(y)的值域(或定义域)。,16:07,44,在一般情况下，如果yf(x)在某个区间上有定义且是单调函数，就能保证它的反函数xf 1(y)存在；,例如, yax(a0,a1)在定义域(,)上是单调函数,它的值域是(0,),所以它的反函数xlogay存在,其定义域是(0,),即y(0,),值域是(,)。 一般习惯上自变量用x表示,因变量用y来表示,这时yf(x)的反函数xf 1(y)就可以写成yf 1(x)。 如函数yax的反函数一般不写成xlogay, 习惯上写成ylogax。,16:07,45,yf(x)的图像与其反函数xf 1(y)的图像相同, 但与 yf 1(x)不同。,函数yf(x)与其反函数yf 1(x)的图形关于直线yx对称。 例如,指数函数yex , x(,)与对数函数ylnx , x(0,)互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线yx对称。,16:07,46,备用题,证明f(x)为奇函数。,16:07,47,1.2 函数的极限,引例： 设有半径为r的圆,用其内接正n边形的面积An逼近圆面积S。如图所示：,当n无限增大时, An无限逼近 S。,16:07,48,刘徽(约225 295年),我国古代魏末晋初的杰出数学家。他撰写的重差对九章算术中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献。他的 “ 割圆术 ” 求圆周率 的方法 ： “割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣。” 它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想。,16:07,49,1.2.1 数列极限,当自变量按自然数1,2,3,依次顺序增大时,函数值按一定的法则排列的一列数x1,x2,xn, 称为数列,记为xn。,16:07,50,例1.2.1 以下例子均为数列：,16:07,51,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列。可看作一动点在数轴上依次取x1,x2,xn, ,2.数列是整数函数,16:07,52,以下数列的趋势,收敛,趋势不定，发散,16:07,53,定义5,对于数列xn,当n无限增大时, 数列xn中的项xn无限趋近于A,则把常数A称为数列xn的极限,或称数列xn收敛于A,否则称数列xn发散。,16:07,54,又如：,收 敛,16:07,55,例1.2.2 讨论数列xn2n的极限。,解：给定数列：2,4,8,2n,当n的数值无限增大时,2n不趋向于一个确定的常数,所以数列是发散的。,16:07,56,1.2.2 函数极限,对yf(x),自变量变化过程的六种形式：,16:07,57,一、x时,函数f(x)的极限,引例,16:07,58,定义6,如果自变量x的绝对值无限增大时,函数f(x)无限趋近于一个常数A,则称A为当x时f(x)的极限。记作：,16:07,59,几何意义：,直线yA为曲线yf(x)的水平渐近线 注意：,16:07,60,例1.2.3,16:07,61,二、xx0时,函数f(x)的极限,16:07,62,定义7,设函数 yf (x) 在 x0 点附近有定义（在 x0点可以无定义）, 如果当x无论以怎样的方式趋近于 x0 时 (xx0)，函数 f (x) 都趋近于常数A，则称A为当xx0时 f (x) 的极限。记作：,16:07,63,单侧极限,定理 极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等。 例1.2.4 讨论下列函数当x0时的极限。,左极限,右极限,16:07,64,例1.2.5 考察下列函数，当 x1时的极限。,16:07,65,例1.2.6 考察函数,当 x0时的极限。,16:07,66,思考与练习：,1.若极限,存在,则a 。,16:07,67,1.2.3 无穷小量,一. 无穷小量的概念 定义8 极限为零的变量称为无穷小量。简称无穷小。 如x0时x,x2,sinx都是无穷小。当x时ex是无穷小；当x时,1/x是无穷小。,16:07,68,注意：,无穷小量是一个变量,而不是一个数。但0可以作为无穷小的唯一一个常数。 无穷小量与自变量变化过程有关。 此概念对数列极限也适用,若,称数列xn为n时的无穷小。,16:07,69,二、无穷小量定理,定理1 在自变量的同一变化过程中,极限存在的充分必要条件是 f(x) A(x)。,定理2 有限个无穷小量的代数和、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。 定理3 有界变量与无穷小量的乘积仍为无穷小量。,16:07,70,例如：,16:07,71,三. 无穷大量,定义9 绝对值无限增大的变量称为无穷大量。,如x0时,1/x、1/sinx 都是无穷大量； x时,lnx 是无穷大量； x/2时,tanx 是无穷大量；,16:07,72,注意：,无穷大是变量,不能与很大的数混淆。 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大。如：1,2,1,3,1,4,1,5, 无穷小与无穷大之间呈倒数关系。,16:07,73,内容小结,无穷小与无穷大的定义； 无穷小定理； 无穷小与无穷大的关系。,16:07,74,1.2.4 极限的运算,一. 极限的四则运算法则 定理4 设 lim f (x) A，lim g(x) B 则： lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) A B lim f (x)g(x) lim f (x)lim g(x) AB lim f (x)/g(x) lim f (x)/lim g(x) A/B (B0),16:07,75,证明：,其中,由定理1可得：,由无穷小运算法则,得,16:07,76,推论3,lim C f(x)Clim f(x)CA (C为常数),推论4 lim f(x)nlimf(x)n An (n为正整数),例：设n次多项式,16:07,77,证明：,16:07,78,例1.2.7,16:07,79,例1.2.8,16:07,80,例1.2.9,由无穷小量和无穷大量之间的倒数关系,得,16:07,81,一般有如下结果：,16:07,82,例1.2.10,16:07,83,内容小结,1. 极限运算法则 1) 无穷小运算法则 2) 极限四则运算法则,2.分式函数极限求法 1) xx0时,用代入法(分母不为0) 2) xx0时,对0/0型,约去公因子 3) x时,分子分母同除最高次幂,注意使用条件,16:07,84,例1.2.11* 求下列函数的极限。,16:07,85,解,16:07,86,解,16:07,87,解,16:07,88,解,16:07,89,二. 两个重要的极限,(证明),(证明),16:07,90,例1.2.12* 求下列函数的极限。,16:07,91,解,16:07,92,解,16:07,93,解,16:07,94,解,16:07,95,1.2.5 无穷小量的比较,引例: 当x0时, 3x, x2, sinx, x2sin(1/x)都是无穷小。,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同。,16:07,96,定义10,在同一个自变量变化过程中与为无穷小。,16:07,97,举例,当x1时，将下列各量与无穷小量x1进行比较,16:07,98,内容小结,1. 无穷小的比较,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且 0,16:07,99,2. 常用等价无穷小,当x0时,16:07,100,课堂练习,2*. 求极限,1. 任何两个无穷小量都可以比较吗?,16:07,101,16:07,102,1.3 函数的连续性,1.3.1 函数的连续性 函数的增量,16:07,103,定义11 设函数yf(x)在x0点及其附近有定义, 当自变量x在x0点的增量x0时，函数的增量y0 。即,则称yf (x)在x0点连续。,16:07,104,定义12 设函数yf(x)在x0点及其附近有定义, 当自变量xx0时, f (x)f (x0) 。即,则称yf (x)在x0点连续。,16:07,105,定义13,左连续：设y f (x)在(a,b有定义，,存在且等于 f (b)，即,右连续：设y f (x)在a,b)有定义，,存在且等于 f (a)，即,16:07,106,函数在某一点既左连续也右连续，则函数在该点连续。,定理,区间上的连续函数：在区间上每一点都连续的函数，则称为在该区间上的连续函数。 注意：(a , b) , (a , b , a , b) , a , b,16:07,107,1.3.2 间断点, f (x) 在 x0点无定义,例1.3.1,16:07,108,例1.3.2,16:07,109,例1.3.3,16:07,110,1.3.3 初等函数的连续性,一、基本初等函数的连续性 一切基本初等函数在其定义域内都是连续的。 二、连续函数的四则运算 定理6 如果函数f(x)和g(x)都在x0点连续,则函数,在 x0点连续。,16:07,111,三、复合函数的连续性,定理7 设函数u(x)当xx0时极限存在且等于a,函数yf(u)在相应点ua连续,则复合函数 yf(x)当xx0时的极限也存在且等于f(a),即,推论5 如果函数u(x)在x0点连续,且u0(x0)又函数yf(u)在u0点连续,则复合函数yf(x)在x0点连续。,16:07,112,练习,原式,说明：当a e, x0时,有ln(1x)x, ex1x。,16:07,113,四、初等函数的连续性,初等函数在它的定义域内都是连续的。,例1.3.4,例1.3.5,16:07,114,1.3.4 闭区间上连续函数的性质,定理8 （最大值和最小值定理）如果函数f(x)在闭区间a,b上连续，则f(x)在该区间上一定有最大值和最小值。 推论6 闭区间a,b上的连续函数f(x)一定有界。,16:07,115,介质定理,定理9 设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且在两个端点处的函数值f(a)f(b),则对介于f(a)与f(b)之间的任何值c,在开区间(a,b)内至少有一点，使得：f ()c (ab)。 推论7（根的存在定理）设函数f(x)在闭区间a,b上连续,如果f(a)与f(b)异号,则在开区间(a,b)内至少有一点, 使得：f () 0 (ab)。,16:07,116,连续函数举例一,左右连续 例1.3.6 已知函数在点x0处连续，求b的值。,连续函数与连续区间 例1.3.7 讨论函数在x0处的连续性。,16:07,117,连续函数举例二,例1.3.8 讨论函