北京科技大学线性代数ch3_1 ppt课件

1,第三章,向量空间,2,第三章 向量空间,3.1 向量空间的概念,3.2 向量的线性关系,3.3 向量组的秩,3.5 矩阵的秩,3.4 线性空间的基 维数 坐标,3,3.1 向量空间的概念,第三章 向量空间,几何空间 维向量 向量的运算 向量组与矩阵 向量空间,4,在几何空间中,既有大小又有方向的量称为向量.,三维向量的坐标表示为：,向量的加法与数乘运算：,向量的平行：,若两个非零向量的方向相同或相反, 则称,这两个向量平行.,由于零向量的方向可以看作是任意的,所以零向量与任意向量都平行.,1.几何空间,向量：,向量的表示：,向量的运算：,建立了空间直角坐标系的三维空间,复习,(称为线性运算),为常数 ),两个向量 平行,5,证明略,定理3.1,存在不全为零的实数,使得,不妨设,线性组合,6,定理3.2,存在不全为零的实数,使,证明略,不妨设,在 所在的平面上, 故 共面.,三个向量 共面,线性组合,7,3.1向量空间的概念,第三章 向量空间,几何空间 维向量 向量的运算 向量组与矩阵 向量空间,8,定义3.1,分量全为实数的向量称为实向量，,几何空间中的三维向量,是由三个实数,构成的有序数组，现将它推广到 n 维情况：,如不特别声明, 我们所讨论的向量均为实向量.,n个数组成的有序数组,称为n维向量. 这n个数称为该向量的n个分量,ai称为第i个分量.,至少有一个分量为复数的向量称为复向量.,2.n维向量,例如:,n维实向量,n维复向量,n维向量的本质: 它有n个独立变化的分量.,9,n维向量写成一行,称为行向量,也就是行矩阵，,n 维向量写成一列,称为列向量,也就是列矩阵,等表示，如：,通常用,通常用,等表示，如：,n 维向量的表示方法：,10,若两个n维向量,对应分量相等, 即,则称这两个向量相等.,向量相等：,11,3.1向量空间的概念,第三章 向量空间,几何空间 维向量 向量的运算 向量组与矩阵 向量空间,12,已知,加法,数乘,注意:,向量的加法与数乘运算称为向量的线性运算.,3.向量的运算,n维零向量,的负向量,13,向量加法与数乘的性质:,若,则,14,3.1向量空间的概念,第三章 向量空间,几何空间 维向量 向量的运算 向量组与矩阵 向量空间,15,向量组的定义：,称为向量组.,由m个n维向量,构成的集合,记作,4.向量组与矩阵,注释：,向量组必须由同维数的向量构成.,向量组有两个数字：m 和 n,m 是向量组所含向量个数；,n 是向量组的维数，即每个向量中独立变化分量的个数.,16,向量组的定义：,向量组与矩阵的关系：,称为向量组.,向量组 a1, a2, , an 称为矩阵A的列向量组.,由m个n维向量,构成的集合,记作,矩阵,4.向量组与矩阵,17,向量组,类似地, 矩阵,有m个n维行向量.,称为矩阵A的行向量组.,矩阵可由列向量组构成.,由此可知：,矩阵也可由行向量组构成.,18,反之，由有限个同维数的向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.,m个n维列向量所组成的向量组,构成一个,矩阵.,m个n维行向量所组成的向量组,构成一个,矩阵.,19,3.1向量空间的概念,第三章 向量空间,几何空间 维向量 向量的运算 向量组与矩阵 向量空间,20,注释:,定义3.6,(1) 集合V 对于加法及数乘两种运算封闭是指,如果集合V 非空，,设V 为n维向量的集合，,且集合V 对于向量加法及数乘两种运算封闭，,则称集合V 为实数域上的向量空间,集合V 非空,对加法封闭,对数乘封闭,(2) 向量空间,5.向量空间,21,解,是一个向量空间.,(1),三维向量的全体构成的集合,例1,非空;,设,是一个向量空间.,22,是一个向量空间.,实数域上的全体n维向量构成的集合,同理, 可以验证:,也是一个向量空间,称为实数域上的n维向量空间.,三维向量的全体构成的集合,例1,23,则称V1是V2 的子空间,定义3.7,设向量空间V1 及V2 ，若,例如：,坐标轴：x轴, y轴, z轴,都是向量空间，都是 的子空间.,坐标面：,都是向量空间，都是 的子空间.,24,则称V1是V2 的子空间,定义3.7,设有向量空间V1 及V2 ，,若,例2,判别下面集合是否为向量空间.,其中,解,(1) 由,非空;,(2)设,故V1是向量空间,的子空间.,且是,25,判别下面集合是否为向量空间.,解：,例3,故V2不是向量空间.,因为,26,例4 判别下面集合是否为向量空间.,解,齐次线性方程组解向量 的集合构成了向量空间.,非齐次线性方程组的解向 量的集合不构成向量空间.,称为方程组Ax = 0的解空间.,V非空;,故V是向量空间,故S不是向量空间.,27,试判断V是否为向量空间.,解,显然V非空，,对任意,于是,故V是向量空间.,例5,设 为已知的n维向量,称为由向量 所生成的向量空间.,所张成的平面,28,试判断V是否为向量空间.,一般地，,解,显然V非空，,对任意,于是,故V是向量空间.,例5,记为,由向量组,可生成向量空间,设 为已知的n维向量,称为由向量 所生成的向量空间.,29,试判断V是否为向量空间.,一般地，,例5,记为,由向量组,可生成向量空间,设 为已知的n维向量,例如：,几何空间 维向量 向量的运算 向量组与矩阵 向量空间,30,3.1向量空间的概念,第三章 向量空间,31,作业,习题3.1 A：1, 2, 3 B: 1,32,第一节课 - 3-1 第二节课-习题课(Ch1,2),两个向量 平行,33,证明,定理3.1,存在不全为零的实数,使得,由于,平行,(1)当 时, 令,若 同向, 则有,即,若 反向, 则有,即,(2)当 时, 有,由于,不全为零.,不妨设,则,即,