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题组训练28 专题研究2 正、余弦定理应用举例1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:测量A,C,b;测量a,b,C;测量A,B,a,则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为()ABC D答案D解析由题意可知,在三个条件下三角形均可唯一确定,通过解三角形的知识可求出AB.故选D.2.(2017广东中山上学期期末)如图所示,设A,B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB45,CAB105后,就可以计算出A,B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析由题意,得B30.由正弦定理,得,AB50 (m)故选A.3某人在C点测得某塔在南偏西80,塔顶仰角为45,此人沿南偏东40方向前进10米到D,测得塔顶A的仰角为30,则塔高为()A15米 B5米C10米 D1米答案C解析如图所示,设塔高为h,在RtAOC中,ACO45,则OCOAh.在RtAOD中,ADO30,则ODh,在OCD中,OCD120,CD10,由余弦定理得OD2OC2CD22OCCDcosOCD,即(h)2h21022h10cos120,h25h500,解得h10或h5(舍去)4有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为20,现要将倾斜角改为10,则斜坡长为()A1千米 B2sin10 千米C2cos10 千米 Dcos20 千米答案C解析由题意知DCBC1,BCD160,BD2DC2CB22DCCBcos16011211cos(18020)22cos204cos210,BD2cos10.5.(2017湖南师大附中月考)如图所示,测量河对岸的塔高AB时可以测量与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得BCD15,BDC30,CD30,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB()A5 B15C5 D15答案D解析在BCD中,CBD18045135.由正弦定理得,所以BC15.在RtABC中,ABBCtanACB1515.故选D.6在200 m高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30,60,则塔高为()A. m B. mC. m D. m答案A解析如图,在RtBAC中,ABC30,AB200,BC.EBD30,EBC60,DBC30,BDC120.在BDC中,.DC(m)7(2018广东佛山二模)某沿海四个城市A,B,C,D的位置如图所示,其中ABC60,BCD135,AB80 n mile,BC(4030) n mile,CD250 n mile,D位于A的北偏东75方向现在有一艘轮船从城市A出发以50 n mile/h的速度向城市D直线航行,60 min后,轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行,收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西,则sin_答案解析设轮船行驶至F时收到指令,则AF50 n mile.连接AC,CF,过A作AEBC于E,则AEABsin6040(n mile),BEABcos6040(n mile),CEBCBE30(n mile),AC50(n mile),所以cosACE,sinACE,所以cosACDcos(135ACE),所以CAD90.因为AF50 n mile,AC50 n mile,可得AFC60,所以75AFC15,故sin.8要测底部不能到达的电视塔AB的高度,在C点测得塔顶A的仰角是45,在D点测得塔顶A的仰角是30,并测得水平面上的BCD120,CD40 m,求电视塔的高度答案40米解析如图设电视塔AB高为x,则在RtABC中,由ACB45,得BCx.在RtADB中,ADB30,BDx.在BDC中,由余弦定理,得BD2BC2CD22BCCDcos120.即(x)2x24022x40cos120,解得x40,电视塔高为40米9.衡水市某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为ABC,ABD,经测量ADBD7米,BC5米,AC8米,CD.(1)求AB的长度;(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)?较低造价为多少?(1.732,1.414)答案(1)7米(2)小李的设计建造费用低,86 600元解析(1)在ABC中,由余弦定理,得cosC.在ABD中,由余弦定理,得cosD.由CD,得cosCcosD.AB7,AB长为7米(2)小李的设计建造费用较低,理由如下:SABDADBDsinD,SABCACBCsinC.ADBDACBC,SABDSABC.故选择ABC建造环境标志费用较低ADBDAB7,ABD是等边三角形,D60.SABC10101.73217.32.总造价为5 00017.3286 600(元)10(2017盐城一模)如图所示,经过村庄A有两条夹角为60的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求PMPNMN2(单位:千米)如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?答案当设计AMN60时,工厂产生的噪声对居民影响最小解析设AMN,在AMN中,.因为MN2,所以AMsin(120)在APM中,cosAMPcos(60)AP2AM2MP22AMMPcosAMPsin2(120)422sin(120)cos(60)sin2(60)sin(60)cos
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