2018年高考数学二轮复习考前专题二函数与导数第2讲函数的应用讲学案理.doc

第2讲函数的应用1.求函数零点所在区间、零点个数及参数的取值范围是高考的常见题型，主要以选择题、填空题的形式出现2函数的实际应用以二次函数、分段函数模型为载体，主要考查函数的最值问题热点一函数的零点1零点存在性定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)f(b)0)的根存在的大致区间是()A(0,1) B(1,2)C(2，e) D(3,4)答案B解析设f(x)ln(x1)，则f(1)ln(11)2ln 220，所以函数f(x)的零点所在区间为(1,2)所以B选项正确(2)(2017届河北沧州一中月考)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0,1时，f(x)x，则方程f(x)log3|x|的解的个数是()A0 B2C4 D6答案C解析运用函数的奇偶性、周期性在同一平面直角坐标系中画出函数yf(x)，ylog3|x|的图象，结合图象可以看出：两个函数yf(x)，ylog3|x|有四个不同的交点，即方程f(x)log3|x|有四个解，故选C.思维升华函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有(1)函数零点大致存在区间的确定(2)零点个数的确定(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解跟踪演练1(1)函数f(x)2x2x的零点所在的区间是()A2，1B1,0C0,1D1,2答案B解析f(2)222(2)0，f(1)212(1)0，由零点存在性定理知，函数f(x)的零点在1,0内，故选B.(2)(2017届甘肃高台县一中检测)已知函数f(x)满足：定义域为R；xR，都有f(x2)f(x)；当x1,1时，f(x)|x|1，则方程f(x)log2|x|在区间3,5内解的个数是()A5 B6 C7 D8答案A解析画出函数图象如图所示，由图可知，共有5个解热点二函数的零点与参数的范围解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解例2(1)(2017届山东菏泽一中宏志部月考)已知偶函数f(x)满足f(x1)，且当x1,0时，f(x)x2，若在区间1,3内，函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点，则实数a的取值范围是_答案(3,5)解析偶函数f(x)满足f(x1)，且当x1,0时，f(x)x2，f(x2)f(x11)f(x)，函数f(x)的周期为2，在区间1,3内函数g(x)f(x)loga(x2)有3个零点等价于函数f(x)的图象与yloga(x2)的图象在区间1,3内有3个交点当0a1且解得3a5.(2)已知实数f(x)若关于x的方程f2(x)f(x)t0有三个不同的实根，则t的取值范围为_答案(，2解析方法一原问题等价于f2(x)f(x)t有三个不同的实根，即yt与yf2(x)f(x)的图象有三个不同的交点当x0时，yf2(x)f(x)e2xex为增函数，在x0处取得最小值2，与yt只有一个交点当x0时，yf2(x)f(x)lg2(x)lg(x)，根据复合函数的单调性，其在(，0)上先减后增所以，要有三个不同交点，则需t2，解得t2. 方法二设mf(x)，作出函数f(x)的图象，如图所示，则当m1时，mf(x)有两个根，当m1时，mf(x)有一个根，若关于x的方程f2(x)f(x)t0有三个不同的实根，则等价为m2mt0有两个不同的实数根，且m1或m1，当m1时，t2，此时由m2m20，解得m1或m2，满足f(x)1有两个根，f(x)2有一个根，满足条件；当m1时，设h(m)m2mt，则h(1)0即可，即11t0，解得t2，综上，实数t的取值范围为t2.思维升华(1)方程f(x)g(x)根的个数即为函数yf(x)和yg(x)图象交点的个数(2)关于x的方程f(x)m0有解，m的范围就是函数yf(x)的值域跟踪演练2(1)已知函数f(x)若关于x的方程f(x)k0有唯一一个实数根，则实数k的取值范围是_答案0,1)(2，)解析画出函数f(x)的图象如图所示，结合图象可以看出当0k2时符合题设(2)(2017全国)已知函数f(x)x22xa(ex1ex1)有唯一零点，则a等于()A B. C. D1答案C解析方法一f(x)x22xa(ex1ex1)(x1)2aex1e(x1)1，令tx1，则g(t)f(t1)t2a(etet)1.g(t)(t)2a(etet)1g(t)，函数g(t)为偶函数f(x)有唯一零点，g(t)也有唯一零点又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)0，2a10，解得a.故选C.方法二f(x)0a(ex1ex1)x22x.ex1ex122，当且仅当x1时取“”x22x(x1)211，当且仅当x1时取“”若a0，则a(ex1ex1)2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a1，即a.若a0，则f(x)的零点不唯一故选C.热点三函数的实际应用问题解决函数模型的实际应用问题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域其解题步骤是：(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答例3(2017届湖北孝感市统考)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(升)与速度x(千米/小时)(50x120)的关系可近似表示为：y(1)该型号汽车速度为多少时，可使得每小时耗油量最低？(2)已知A，B两地相距120千米，假定该型号汽车匀速从A地驶向B地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？解(1)当x50,80)时，y(x2130x4 900)(x65)2675当x65时，y有最小值6759.当x80,120时，函数单调递减，故当x120时，y有最小值10.因为910，故当x65时每小时耗油量最低(2)设总耗油量为l，由题意可知ly.当x50,80)时，ly16，当且仅当x，即x70时，l取得最小值16.当x80,120时，ly2为减函数当x120时，l取得最小值10.因为100，xR)若f(x)在区间(，2)内没有零点，则的取值范围是_答案解析f(x)sin x(sin xcos x)sin.因为函数f(x)在区间(，2)内没有零点，所以2，所以，所以01.当x(，2)时，x，若函数f(x)在区间(，2)内有零点，则k2 (kZ)，即k(kZ)当k0时，；当k1时，.所以函数f(x)在区间(，2)内没有零点时，0或.2(2017山东改编)已知当x0,1时，函数y(mx1)2的图象与ym的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是_答案(0,13，)解析在同一直角坐标系中，分别作出函数f(x)(mx1)2m22与g(x)m的大致图象分两种情形：(1)当0m1时，1，如图，当x0,1时，f(x)与g(x)的图象有一个交点，符合题意(2)当m1时，01，如图，要使f(x)与g(x)的图象在0,1上只有一个交点，只需g(1)f(1)，即1m(m1)2，解得m3或m0(舍去)综上所述，m(0,13，)3(2017江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数，在区间0,1)上，f(x)其中集合D，则方程f(x)lg x0的解的个数是_答案8解析由于f(x)0,1)，则只需考虑1xg，g(4)32，g(1)2，所以两个函数图象的交点一共有5个，所以f(x)2sin xx1的零点个数为5.2已知函数f(x)若函数g(x)f(x)2x恰有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A1,1) B0,2C(2,2 D1,2)押题依据利用函数零点个数可以得到函数图象的交点个数，进而确定参数范围，较好地体现了数形结合思想答案D解析g(x)f(x)2x要使函数g(x)恰有三个不同的零点，只需g(x)0恰有三个不同的实数根，所以或所以g(x)0的三个不同的实数根为x2(xa)，x1(xa)，x2(xa)再借助数轴，可得1a2.所以实数a的取值范围是1,2)，故选D.3在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.押题依据函数的实际应用是高考的必考点，函数的最值问题是应用问题考查的热点答案20解析如图，过A作AHBC交BC于点H，交DE于点F，易知AFxFH40x，则Sx(40x)2，当且仅当40xx，即x20时取等号，所以满足题意的边长x为20 m.A组专题通关1已知函数f(x)xsin x, 则f(x)在0,2上的零点个数为()A0 B1C2 D3答案C解析由题意得f(x)在0,2上的零点个数即为函数yx与函数ysin x在0,2上的交点个数，如图所示，结合图象可得函数yx与函数ysin x在0,2上交点的个数为2，故选C.2(2017届遵义期中)某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了n(nN*)年后，盈利总额达到最大值(盈利额等于收入减去成本)，则n等于()A6 B7C8 D7或8答案B解析盈利总额为21n9n2n9，由于对称轴为n，所以当n7时，取最大值，故选B.3(2017届陕西西安铁一中三模)如图是函数f(x)x2axb的部分图象，则函数g(x)ln xf(x)的零点所在的区间是()A.B.C(1,2) D(2,3)答案B解析由函数图象可知即函数g(x)ln x2xaln x2x1b，gln 11bln 2b0，所以零点所在的一个区间为，故选B.4已知函数yf(x)的周期为2，当x0,2时，f(x)(x1)2，如果g(x)f(x)log5|x1|，则方程g(x)0的所有根之和为()A2 B4 C6 D8答案D解析在平面直角坐标系中画出函数yf(x)及ylog5|x1|的图象，结合函数的图象可以看出函数共有8个零点，且关于x1对称，故所有零点的和为248，故选D.5(2017届湖南长沙一中月考)将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t min后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线yaent.假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min甲桶中的水只有升，则m的值为()A5 B6C8 D10答案A解析根据题知，因为5 min后甲桶和乙桶的水量相等，所以函数yaent，满足f(5)ae5na，可得nln ，因此当k min后甲桶中的水只有升，即f(k)，即ln kln ，所以ln k2ln ，解得k10，k55，即m5，故选A.6(2017届陕西黄陵中学月考)函数f(x)的定义域为1,1，图象如图1所示，函数g(x)的定义域为2,2，图象如图2所示，方程f(g(x)0有m个实数根，方程g(f(x)0有n个实数根，则mn等于()A6 B8C10 D12答案C解析注意到f(1)f(0)f(1)0，g(x)1有2个根，g(x)0有3个根，g(x)1有2个根，故m7.注意到gg(0)g0，1f(x)1，f(x)0有3个根，故n3，所以mn10.7(2017届江苏无锡市普通高中期中)若函数y在区间(2,2)上有两个零点，则实数a的取值范围为_答案0,2ln 2)解析由题设可知函数yx2a与函数yxaln x在给定的区间(2,0和区间(0,2)内分别有一个根，结合图象可得即所以0a2ln 2.8(2017届江苏泰州中学期中)定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x5)16，当x(1,4时，f(x)x22x，则函数f(x)在区间0,2 016上的零点个数是_答案605解析因为f(x)f(x5)16，则f(x5)f(x10)16，所以f(x)f(x10)，所以该函数的周期是T10.由于函数yf(x)在(1,4上有三个零点，因此在区间(1,9)上只有三个零点，而2 01654031，故在区间0,2 016上共有(40331)2(1 2091)2605(个)交点9(2017届河南省郑州市第一中学质量检测)对于函数f(x)与g(x)，若存在xR|f(x)0，xR|g(x)0，使得|1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)ex2x3与g(x)x2axx4互为“零点密切函数”，则实数a的取值范围是_答案解析由题意知，函数f(x)的零点为x2，设g(x)满足|2|1的零点为，因为|2|1，解得13.因为函数g(x)的图象开口向上，所以要使g(x)的一个零点落在区间1,3上，则需满足g(1)g(3)0或解得a4或3a，取并集得3a4.故实数a的取值范围为.10(2017届江西抚州市七校联考)食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位：万元)满足P804，Qa120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)(1)求f(50)的值；(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？解(1)因为甲大棚投入50万元，则乙大棚投入150万元，所以f(50)804150120277.5.(2)f(x)804(200x)120x4250，依题意得20x180，故f(x)x4250(20x180)令t2，6，则yt24t250(t8)2282，当t8，即x128时，f(x)max282，所以当甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收益最大，且最大收益为282万元B组能力提高11(2017届湖北孝感统考)定义在R上的奇函数f(x)，当x0时，f(x)则关于x的方程f(x)a0(0a1)所有根之和为1，则实数a的值为()A.B.C.D.答案B解析因为函数f(x)为奇函数，所以当x(1,0时，f(x)f(x)log(x1)log2(1x)；当x(，1时，f(x)f(x)(1|x3|)|x3|1，所以函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)的零点即为函数yf(x)与ya的交点，如图所示，共5个；当x(，1时，令|x3|1a，解得x14a，x2a2，当x(1,0)时，令log2(1x)a，解得x312a；当x1，)时，令1|x3|a，解得x44a，x5a2，所以所有零点之和为x1x2x3x4x54aa212a4aa212a1，a.12(2017届杭州地区四校联考)已知函数f(x)则方程fa的实根个数不可能为()A8 B7C6 D5答案D