2020版高考数学一轮复习第五章平面向量、复数第二节平面向量基本定理及坐标表示讲义（含解析）.docx

第二节平面向量基本定理及坐标表示突破点一平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，设a，b，则向量a与b的夹角为ABC.()(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()答案：(1)(2)(3)二、填空题1.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且a，b，则等于_答案：ba2设e1，e2是平面内一组基底，若1e12e20，则12_.答案：03设e1，e2是平面内一组基底，且ae 12 e 2，be 1e 2，则2ab_.答案：3 e 13 e 21.(2019郑州模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB2AD2DC，E为BC边上一点，3，F为AE的中点，则()A.B.C D解析：选C如图，取AB的中点G，连接DG，CG，易知四边形DCBG为平行四边形，所以，于是，故选C.2在ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又t，则实数t的值为_解析：因为，所以32，即22，所以2.即P为AB的一个三等分点(靠近A点)，又因为A，M，Q三点共线，设.所以，又tt()tt.故解得故t的值是.答案：平面向量基本定理的实质及解题思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决1在梯形ABCD中，ABCD，AB2CD，M，N分别为CD，BC的中点若，则等于()A. B.C. D.解析：选D因为()22，所以，所以，所以.2如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别是K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.解：设x，y，则x，y.由，得(2)，得x2xe12e2，即x(e12e2)e1e2，所以e1e2.同理可得ye1e2，即e1e2.突破点二平面向量的坐标表示1平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘的坐标运算及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则：ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标一般地，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)2平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，则abx1y2x2y10.1已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.解析：a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430.m6.答案：62已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量_.解析：设C(x，y)，则(x，y1)(4，3)，所以解得从而(4，2)(3,2)(7，4)答案：(7，4)3已知A(1,4)，B(3,2)，向量(2,4)，D为AC的中点，则_.解析：设C(x，y)，则(x3，y2)(2,4)，所以解得即C(1,6)由D为AC的中点可得点D的坐标为(0,5)，所以(03,52)(3,3)答案：(3,3)考法一平面向量的坐标运算例1(1)若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量a在基底p(1，1)，q(2,1)下的坐标为(2,2)，则a在另一组基底m(1,1)，n(1,2)下的坐标为()A(2,0)B(0，2)C(2,0) D(0,2)(2)(2019内蒙古包钢一中月考)已知在平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为()A. B.C. D.解析(1)因为a在基底p，q下的坐标为(2,2)，即a2p2q(2,4)，令axmyn(xy，x2y)，所以即所以a在基底m，n下的坐标为(0,2)(2)因为在平行四边形ABCD中，(3,7)，(2,3)，对角线AC与BD交于点O，所以().故选C.答案(1)D(2)C方法技巧平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解考法二平面向量共线的坐标表示例2(2019文登二中模拟)平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)若(akc)(2ba)，求实数k；(2)若d满足(dc)(ab)，且|dc|，求d的坐标解(1)ak c(34k,2k)，2ba(5,2)，由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.(2)设d(x，y)，则dc(x4，y1)，又ab(2,4)，| dc|，解得或d的坐标为(3，1)或(5,3)方法技巧向量共线的坐标表示中的乘积式和比例式(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，这是代数运算，用它解决平面向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少了未知数的个数，而且它使问题的解决具有代数化的特点和程序化的特征(2)当x2y20时，ab，即两个向量的相应坐标成比例，这种形式不易出现搭配错误(3)公式x1y2x2y10无条件x2y20的限制，便于记忆；公式有条件x2y20的限制，但不易出错所以我们可以记比例式，但在解题时改写成乘积的形式1.如果向量a(1,2)，b(4,3)，那么a2b()A(9,8) B(7，4)C(7,4) D(9，8)解析：选Ba2b(1,2)(8,6)(7，4)，故选B.2.已知向量a(1，1)，则下列向量中与向量a平行且同向的是()Ab(2，2) Bb(2,2)Cb(1,2) Db(2，1)解析：选A(2，2)2(1，1)，b2a，故选A.3.已知向量a(1，m)，b(4，m)，若有(2|a|b|)(ab)0，则实数m_.解析：因为ab(5,2m)0，所以由(2|a|b|)(ab)0得2|a|b|0，所以|b|