线性方程组与向量的线性相关性.ppt

1,第三章 线性方程组与向量的线性相关性,线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的 最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组. 线 性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一. 本 先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的 线性相关性讨论方程组的解的一般表达式.,本章重点：,线性方程组的有解性的条件,向量的线性相关性的基本概念与基本结论,线性方程组的解的结构理论,向量空间的基本概念(基，维数，坐标等)(补充),2,3.1 消元法,对于一般形式的线性方程组，最基本且较简便的方法是 消元法，在本节将介绍线性方程组的消元过程可以用矩 阵的初等行变换来实现.,一、线性方程组的矩阵形式,二、初等行变换解线性方程组,3,一、线性方程组的矩阵形式,线性方程组的一般形式：,4,线性方程组的矩阵形式：,A称为线性方程组的系数矩阵；若令 ，则称 矩阵 为线性方程组的增广矩阵.,线性方程组与它的增广矩阵是一一对应的.,5,行对应方程，列对应未知元,二、初等行变换解线性方程组(以例说明),相当于将第一、二方程中 的消去了,6,未知元的个数多于方程的个数，则存在不受约束的未知元，称为自由未知元.,若选择 作为自由未知元，则 受 的约束,( 为任意常数).,7,例1.1 解线性方程组,(P78, Ex.2(1),解：,1,( 为任意常数).,8,3.2 线性方程组的一般理论,在本节将介绍线性方程组有解的条件，以及齐次线性方 程组有非零解的条件.,一、非齐次线性方程组解的研究,二、齐次线性方程组解的研究,9,一、非齐次线性方程组解的研究,例2.1 求解非齐次线性方程组,解：,方程组无解. 此时,10,例2.2 求解非齐次线性方程组,(P78, 例2),解：,一般地，对于n元方程组AX=b，若 R(A)=R(A,b)=n，则是不是方程组一定有唯一解？,11,例2.3 求解非齐次线性方程组,解：,12,选择 作为自由未知数,一般地，对于n元方程组AX=b，若 R(A)=R(A,b)=r n ，则是不是方程组一定有唯一解？,13,线性方程组AX=b如果有解，就称它是相容的；如果无 解，就称它不相容.,利用系数矩阵和增广矩阵的秩，可以方便地讨论线性方 程组是否相容，以及有解时解是否唯一等问题.,14,Thm3.1 线性方程组AX=b相容的充分与必要条件是系数 矩阵的秩和增广矩阵的秩相等R(A)=R(A,b).,有r行,有m-r行,有r列,有n-r列,15,推论1 线性方程组AX=b无解的充分必要条件是,推论2 n元线性方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是,推论3 n元线性方程组AX=b有无穷多解的充分必要条件是,16,推论4 设A为n阶矩阵，则线性方程组AX=b有唯一解的 充分必要条件是 (克拉默法则),推论5 设A为n阶矩阵，则线性方程组AX=b无解或有无穷 多解的充分必要条件是,17,求解带参数的方程组，包括何时无解、有唯一解、有 无限多个解，是Thm3.1的综合应用, 在线性代数中占 有重要地位， 因此要熟练掌握它的解法.,例2.4 设有线性方程组,问 取何值时，此方程组（1）有唯一解;（2）无解; （3）有无限多个解？并在有无限多个解时求其通解.,其二是对矩阵(A,b)作初等行变换.,解：,带参数 的非齐次方程AX=b，一般有两个求解方法： 其一是当A为方阵时, 先根据系数行列式 求得使 方程组有唯一解 的值，然后讨论；,18,方法一：,系数矩阵的行列式为,(2) 当 时，,19,可见,故方程组此时有无限多个解，且通解为,20,(3) 当 时，,可见 故方程组此时无解.,21,方法二：,对增广矩阵作初等行变换,不能作变换,不能作变换,22,因此(1)当 且 时， 方程组有唯一解.,(2) 当 时，,方程组有无穷多解，,23,(3) 当 时，,可见 故方程组此时无解.,24,二、齐次线性方程组解的研究,齐次线性方程组一定有解,Thm3.2 n元齐次线性方程组AX=0只有零解的充要条件 是系数矩阵的秩等于未知量的个数n，即R(A)=n；有非 零解的充要条件是系数矩阵的秩小于未知量的个数n， 即,推论 设A是n阶方阵，则齐次线性方程组AX=0只有零解 的充要条件是系数行列式 ；有非零解的充要条件 是,25,例2.5 解齐次线性方程组(P87, 例4),解：,(其中 为任意常数),26,例2.6 设有线性方程组(P88, Ex.4(1),问 取何值时，此方程组(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无 限多个解？,解：,27,方程组有唯一解；,(2) 当 时，,方程组无解；,(3) 当 时，,方程组有无穷多个解.,28,第三章 线性方程组与向量的线性相关性,线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的 最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组. 线 性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一. 本 先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的 线性相关性讨论方程组的解的一般表达式.,本章重点：,线性方程组的有解性的条件,向量的线性相关性的基本概念与基本结论,线性方程组的解的结构理论,向量空间的基本概念(基，维数，坐标等)(补充),29,3.3 向量的线性相关性,在前面我们已经讨论了线性方程组的相容性，接下来要 研究线性方程组的解的结构，为此，我们引入n元向量的 概念，并介绍线性相关性理论.,一、向量的概念及其线性运算,二、线性相关性的基本概念 (线性组合、线性表示、线性等价、线性相关、线性无关),三、线性相关性的基本理论,四、向量组的秩和极大线性无关组,30,一、向量的概念及其线性运算,Def3.1 n个数组成的有序数组称为n元向量，其中第i个数 称为这n元向量的第i个分量，常用小写黑体希腊字母表示 向量.,一个向量可以写成一行，也可以写成一列：,n元列向量,n元行向量,31,n元线性方程组AX=b的一个解就可以看作一个n元列向量，,矩阵A的每一列的元素都可以看作一个m元列向量， 每一行的元素也都可以看作一个n元行向量.,向量相等：两个向量的分量都对应相等.,32,Def3.2 设有两个n元向量,k为数，则n元向量,及,分别称为 与 的和及k与 的数量乘积，分别记作 及 向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算.,向量的加法、数乘运算与矩阵的加法、数乘运算是一致的.,33,二、线性相关性的基本概念,Def3.3 设 为一组n元向量， 为m个数，表达式,称为 的一个线性组合；若,即 是向量组 的某个线性组合，则称 可由 向量组 线性表示.,34,零向量可由任意向量组线性表示：,35,Def3.4 若向量组 中每一个向量都可由向量组 线性表示，则称向量组 可由向量 组 线性表示； 若两个向量组可以互相线性表 示，则称这两个向量组等价.,向量组等价具有以下基本性质：,(1)反身性 每个向量组都与它自身等价；,(2)对称性 若向量组与向量组等价，则向量组与向 量组等价；,(3)传递性 若向量组与向量组等价，向量组与向量 组等价，则向量组与向量组等价.,36,37,多项式的加法、数与多项式的乘法,2 +0 +,Def3.5 对于向量组 ，若存在不全为 零的数 ，使得,成立，则称向量组 线性相关.,若当且仅当 时，等式,系数是否唯一？,才成立，则称向量组 线性无关.,38,任意一个包含零向量的向量组必线性相关.,如果一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则整个 向量组线性相关.,如果一个向量组线性无关，则它的任何一个部分向量组 必线性相关.,39,单个向量的相关性：,两个向量的相关性：,线性相关，,与 的分量成比例.,40,三、线性相关性的基本理论,1. 线性表示的判定,有解，,方程组 有解，其中,可由向量组 线性表示的充要条件是,矩阵的秩 等于矩阵 的秩.,可由向量组 线性表示的充要条件是,41,例3.1 设,证明向量 能由向量组 线性表示，并求出表示式.,证: 记,可见,因此，向量 能由向量组 线性表示.,42,可得方程 的通解为,因而，所求的表示式为,43,2. 线性相关与线性无关的判定,线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组 有非零解,线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组 只有零解,44,Thm3.3 向量组 线性相关的充要条件是矩阵 的秩R(A)小于向量的个数m；,向量组 线性无关的充要条件是矩阵 的秩R(A)等于向量的个数m.,特别地，向量的个数等于向量的分量个数，即向量组对应 的矩阵为方阵，有,n元向量组 线性无关的充要条件是,n元向量组 线性相关的充要条件是,推论 m个(mn)n元向量必线性相关.(P95,例4),45,解：,根据Thm3.1，需要计算 和 .,由此可见,所以,线性相关；,线性无关.,46,方程组 与 同解,利用初等变换不仅可以判断向量组的线性相关性，而且 可以寻找向量之间的线性关系：,则 中部分向量与 中对应的 向量有相同的线性相关性和线性关系：,显然有,所以也有,47,3. 线性相关性与线性表示,Thm3.4 向量组 (m1)线性相关的充要条件 是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.,必要性：,线性相关,的系数至少有个可以不为零,充分性：,中有一个向量是其余向量的线性组合,48,Thm3.5 设向量组 线性无关，而向量组 线性相关，则 必是 的线性组合，且线性表示式惟一.,依据线性表示的判定：,49,Thm3.6 设向量组 可由向量组 线性表示，若r s，则向量组 线性相关.,多者能被少者表示，则多者必线性相关.,50,推论1 设向量组 可由向量组 线性表示，若 线性无关，则,推论2 任意两个等价的线性无关向量组，它们所含向量个 数相等.,51,四、向量组的秩和极大线性无关组,在一个方程组中，可能有“多余” 的方程,在一个向量组中，可能有“多余” 的向量,这个“多余”的意思是什么呢？,可以删除多余的向量，从本质说，所给的向量组没有变 化，因为被删除的向量可以用余下的向量组合出来. 就 像在方程组中删除多余的方程，方程组的解是不会变化 的.,Def3.6 设向量组 中有一部分向量组 ，该部分向量组满足以下条件,(1) 线性无关；,(2) 再加入原向量组中任意其它一个向量(如果有的话)所 形成的新的部分向量组都线性相关，,则称向量组 为向量组 的一个 极大线性无关组.,Def3.7 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向 量组的秩.,52,可以由向量组 出来,线性无关,线性相关,向量组与其极大线性无关组等价. 这是极大线性无关组 的一个本质性质.,一个向量组的极大线性无关组不惟一.,53,Thm3.7 一个向量组的任意两个极大线性无关组必等价， 且所含向量的个数相等.,Thm3.8 向量组 的秩等于矩阵 的秩，换句话说，矩阵的秩等于矩阵各列(行)所构成向 量组的秩.,向量组 的秩记为,54,证：设向量组 的秩r，则存在部分组,线性无关，所以,再证 不会大于r：用反证法,假设 ，则在矩阵 中存 在一个r+1阶非零子式D，,不妨设D取自矩阵 的第 列，则,线性无关，,这与向量组 的秩为r矛盾！,55,解：,56,A的列向量组的极大线性无关组 含有三个向量，由最后一个矩阵易知 是一个极 大线性无关组.,57,例3.4 求证 (教材P100，例6),证：,可以由 线性表示，,的极大线性无关组可由 线性表示,的极大线性无关组可由 的极大线 性无关组线性表示，,58,第三章 线性方程组与向量的线性相关性,线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的 最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组. 线 性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一. 本 先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的 线性相关性讨论方程组的解的一般表达式.,本章重点：,线性方程组的有解性的条件,向量的线性相关性的基本概念与基本结论,线性方程组的解的结构理论,向量空间的基本概念(基，维数，坐标等)(补充),59,3.4 线性方程组的解的结构,在前面我们已经讨论了线性方程组的相容性理论，又介 绍向量的线性相关性理论，接下来要研究线性方程组的 解的结构，也就是线性方程组的通解表达式有什么特征.,一、齐次线性方程组的基础解系,二、齐次线性方程组的解的结构,三、非齐次线性方程组的解的结构,四、应用举例,60,一、齐次线性方程组的基础解系,(1),(2),是(1)的解，,是(2)的解，,(1)与(2)都是线性方程组，因此线 性方程组的解可以写成一个向量， 称为解向量. 线性方程组的所有解 构成一个向量组.,61,Thm3.9 设 都是齐次线性方程组 的解， 则 也是齐次线性方程组 的解.,齐次线性方程组的解的线性组合仍是齐次线性方程组的解,齐次线性方程组的解构成一个向量组，向量组中向量可以 由其极大线性无关表示，再由Thm3.9可知, 齐次线性方程 组的任一解可以由部分解表示出来.,62,Def3.8 设 是齐次线性方程组 的一组解， 若它满足以下条件：,(1) 线性无关；,(2) 齐次线性方程组的任一解都能表示为的 线 性组合，,则称 是齐次线性方程组的基础解系.,齐次线性方程组的解构成的向量组(解集)的一个极大线性 无关组，就是齐次线性方程组的一个基础解系.,当齐次线性方程组只有零解时，没有基础解系.,当齐次线性方程组有非零解时,基础解系中含有几个向量?,63,Thm3.10 齐次线性方程组有非零解时，一定有基础解系， 且基础解系含有n-r个向量，其中n是未知量的个数，r是 系数矩阵的秩.,证：设n个未知数的方程组AX=0的系数矩阵A的秩为r，,不妨设A的前r个列向量线性无关，则A经行变换可化为：,64,得齐次线性方程组的通解，,65,记作,改写成向量形式，,66,令任意常数一个为1，其余为零：,得到n-r个解，,线性无关，而且齐次线性方程AX=0的任一 解都可由它线性表示，所以它是齐次线性方程组AX=0的 基础解系，且含有n-r个向量.,67,基础解系的求法：,(1) 求齐次线性方程组的通解，,(2) 再分别令n-r 个任意常数一个为1，其余为零，就可得 到n-r 个解，这就是所求的基础解系.,其实，任意常数取值可以是其他数组，只要所取的n-r 组 数线性无关就可以了.,令通解中任意常数为某一组数, 实际上就是令线性方程组 的自由未知量为某一组数，因此, 我们可以直接由化简后 的方程组，分别令自由未知量一个为1，其余为0, 代入方 程组，就可得基础解系，不需要先写出通解.,68,例4.1 求下 面齐次线性方程组的基础解系(P104,例1),解:,基础解系为,选择 为自由未知量，令,69,二、齐次线性方程组的解的结构,n元齐次线性方程组AX=0，若R(A)=r， 基础 解系，则该方程组的通解为,70,三、非齐次线性方程组的解的结构,Thm3.11 若 是方程组AX=b的一个特定的解(一般称为 特解)， 是其对应的齐次线性方程组AX=0 的 基础解系，则非齐次线性方程组 AX=b 的通解为,证：先证任意线性组合 都是 AX=b的解，,71,再证AX=b的任一解都可以表成线性组合,设 是AX=b的任一解，,AX=b的两个解的差是AX= 0的解；AX=b的解与AX= 0的 解之和是AX=b的解.,72,线性方程组AX=b的求解步骤：,(1) 写出方程组对应的增广矩阵(A,b)，,(2) 对增广矩阵施行初等行变换，化为行阶梯形矩阵，,(3) 判断方程组是否有解，若有解，继续对增广矩阵施行 初等行变换，化为行最简形矩阵，,(4) 令自由未知量全部为零，可得特解,(5) 令自由未知量一个为1, 其余为零，可得对应的齐次方 程组的基础解系，,(6) 写出通解.,73,例4.2 求下面非齐次线性方程组的解：(P106, 例2),解: 对增广矩阵施行初等行变换,74,选择 作为自由未知量，,令 得方程组的特解,令 和 得对应齐次方程组的基础解系,通解为,75,例4.3 求解方程组,解: 对增广矩阵施行初等行变换：,通解为,76,四、应用举例,例4.4 设A为 矩阵，且R(A)=r，求证：必存在一个 秩为n-r的 矩阵B，使得AB=0.,证：考虑齐次线性方程组AX= 0，,由于R(A)=rn，由Thm3.10，AX=0必存在基础解系，且 含有n-r个向量，设AX= 0的基础解系为,显然满足,B是 矩阵，秩为 ，且,77,例4.5 设A为 矩阵，B为 矩阵，且AB=0，证明,证：对矩阵B按列分块，,所以， 是齐次线性方程组AX= 0的解，因此,的极大线性无关组中向量的个数不超过 AX= 0的基础解系中向量的个数，即有,78,例4.6 设AX=b是一个4元非齐次线性方程组，R(A)=3， 是它的三个解，且,求AX=b的通解.,解:,因为R(A)=3， AX= 0的基础解系只含有一个向量，,+,79,例4.7 证明,证:,下面证方程组 与 同解：,若 满足 ，则有 ，,即,设A为 矩阵， 为 维列向量.,若 满足 ，则有,即,从而推知,由以上可知 与 同解，因此,80,第三章 线性方程组与向量的线性相关性,线性方程组的理论是线性代数的主要内容，一般问题的 最终解决归根结底是要考虑一个相关的线性方程组. 线 性相关性的一些概念是线性代数中的基本概念之一. 本 先利用矩阵的秩讨论方程组的有解性，然后利用向量的 线性相关性讨论方程组的解的一般表达式.,本章重点：,线性方程组的有解性的条件,向量的线性相关性的基本概念与基本结论,线性方程组的解的结构理论,向量空间的基本概念(基，维数，坐标等)(补充),81,补充： 向量空间的基本概念,线性空间是线性代数中又一个基本概念，线性模型都是 定义在某个线性空间上. 向量空间是最简单，具有直观 性的线性空间.,在这部分中，只介绍向量空间的基本概念：向量空间、 基、维数、坐标等.,82,Def01,设V为n维向量的集合，满足以下三个条件, V 不是空集；,（V对于向量加法封闭）,（V对于向量与数的乘法封闭）,那么称集合V为向量空间.,83,因为3维向量的和仍然是3维向量，数乘3维向量仍然是3维向量，另外， 显然非空.,一般地，n维向量的全体 也是一个向量空间.,(2) 设 是两个已知的n维向量，集合,是一个向量空间.,线性组合的全体 由 所生成的向量空间,