向量代数平面与直线.ppt

,线性代数与空间解析几何,关秀翠,东南大学数学系,我想说,课程的重要性,大学与中学的区别,综合考评,自主学习,如何学好,做好预习复习,多看多练多想,工科基础,考研基础,期末成绩占 90%,平时成绩占5%,分配时间,学习方法,数学试验占5%,序 言,一、线性代数,主要任务就是解线性方程组,二、空间解析几何,线性方程组,方程间 的关系,向量间 的关系,矩阵的性质 和运算,方阵行列式 的运算,三、两者关系：,数量关系 ,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面，二次曲面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,三维n维,方程组：,教学内容和基本要求,第一章 向量代数 平面与直线,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一. 向量的概念及其表示,二. 向量的加法,三. 向量的减法,四. 向量与数量的乘法（数乘）,五. 共线、共面向量的判定,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一. 向量的概念及其表示,1. 向量：,2. 向量的长度或模：,3. 自由向量：,4. 相等向量：,5. 负向量：,6. 零向量：,既有大小又有方向的量,只考虑向量的大小和方向不计较起点位置,长度相等且方向相同,长度相等且方向相反,方向相同或相反,7. 平行(共线)向量：,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一. 向量的概念及其表示：方向和大小,二. 向量的加法,三. 向量的减法,四. 向量与数量的乘法（数乘）,五. 共线、共面向量的判定,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,二. 向量的加法,1. 平行四边形法则,2. 三角形法则,3. 运算性质:, 结合律, 交换律,首尾相接, 多边形法则,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一. 向量的概念及其表示：方向和大小,二. 向量的加法,三. 向量的减法,四. 向量与数量的乘法（数乘）,五. 共线、共面向量的判定,平行四边形、三角形、多边形法则,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,三. 向量的减法,运算性质:,三角不等式,（减数指向被减数 ）,（后项减去前项 ）,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一. 向量的概念及其表示：方向和大小,二. 向量的加法,三. 向量的减法,四. 向量与数量的乘法（数乘）,五. 共线、共面向量的判定,平行四边形、三角形、多边形法则,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,四. 向量与数量的乘法（数乘）,1. 定义： m,注: m = m = 0 或 = .,2. 运算性质, (1) = ., 单位向量：长度为1的向量,模：,方向：,非零向量的单位化：, 分配律, 结合律, 向量的伸缩,/,例1. 设P, Q分别是ABC的BC, AC边的中点, AP与BQ交于点M. 证明:,A,B,C,M,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,P,Q,往证点S与点T重合, 即,证明：可知,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一. 向量的概念及其表示：方向和大小,二. 向量的加法,三. 向量的减法,四. 数乘,五. 共线、共面向量的判定,平行四边形、三角形、多边形法则,向量的伸缩,向量的单位化：,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,五. 共线、共面向量的判定,1. 定义: 共线(平行),定理1.1 设向量, 向量与共线 存在唯一的实数m使得 = m.,推论1.1 向量1, 2共线 存在不全为零的实数k1, k2使得 k11+k22 = .,注：向量1,2不共线 k11+k22 = 只有零解，即 k1=k2=0.,注：设向量, 向量与共线 可由 唯一的线性表示.,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,五. 共线、共面向量的判定,定理1.2 若向量, 不平行, 则向量与, 共面 存在唯一的有序实数组(m, n), 使得 = m+n.,推论1.2 向量1, 2 , 3共面 存在不全为零 的实数k1, k2 , k3, 使得 k11+k22+k33 = .,注：向量1, 2 , 3不共面 k11+k22+k33 = 只有零解，即k1= k2 = k3 =0.,注：若向量, 不平行, 则向量与, 共面 可由, 唯一的线性表示.,第一章 向量代数 平面与直线,1.1 几何向量及其线性运算,一. 向量的概念及其表示：方向和大小,二. 向量的加法,三. 向量的减法,四. 数乘,五. 共线、共面向量的判定,重点和难点,平行四边形、三角形、多边形法则,向量的伸缩,向量的单位化, 与()共线唯一实数m使得 =m 可由唯一线性表示不全为零的k1, k2使得k1 +k2=.,与,共面唯一实数m,n使得 =m+n. 不全为零的k1, k2 , k3使k1 +k2 +k3 =.,Ex.,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,一. 仿射坐标系、直角坐标系,1. 线性表示,(1) 在直线上任意一个向量都可以由直线上一个 非零向量唯一的线性表示.,(2) 在平面上任意一个向量都可以由平面上两个 不共线向量唯一的线性表示.,定理1.3 在空间中取定三个不共面的1, 2, 3, 则 对空间中任一向量都存在唯一的有序 实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.,实数k1, k2 , k3, 使得=k11+k22+k33.,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,定理1.3 在空间中取定三个不共面的1, 2, 3, 则 对空间中任一向量都存在唯一的有序 实数组(x, y, z), 使得 = x1+y2+z3.,唯一性：,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,右(左)手仿射坐标系., = x1+y2+z3= (x, y, z),2.仿射坐标系O; 1, 2, 3 ,坐标原点;,坐标向量(基);,坐标轴;,坐标(分量) ;,坐标原点,坐标轴,x轴(横轴),y轴(纵轴),z 轴(竖轴),坐标面,卦限(八个),zox面,3. 空间直角坐标系,坐标分解式:,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,二. 用坐标进行向量的线性运算,设 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), 则 k1+k2,= (x2, y2, z2) (x1, y1, z1),= (x2x1, y2y1, z2z1).,=(k1x1+k2x2, k1y1+k2y2, k1z1+k2z2).,后项减前项,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,第一章 向量代数 平面与直线,1.2 空间坐标系,一. 仿射坐标系、,二. 用坐标进行向量的线性运算,重点掌握,1.1 几何向量及其线性运算,一. 向量的概念及其表示：方向和大小,二. 向量的线性运算: 加减法、数乘,三. 共线、共面向量的判定,重点和难点,直角坐标系,掌握,结果是向量,1. 直线上任一向量都可由一个非零向量唯一的线性表示.,2. 平面上任一向量都可由两个不共线向量唯一的线性表示.,3.空间中任一向量都可由三个不共面向量唯一的线性表示.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,一. 两个向量的数量积 (点积、内积),1. 物理背景,2. 两个非零向量之间的夹角,3. 数量积的定义,4. 内积的性质,5. 直角坐标系 下向量内积的计算,6. 模、夹角、距离公式,7. 方向角、方向余弦和方向数,8. 投影的概念及与内积的关系,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,一. 两个向量的数量积(点积、内积),1. 物理背景,2. 两个非零向量之间的夹角,3. 数量积的定义,注: = 0 = 或 = 或( , , ), ,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,4. 内积的性质,(1)正定性: 2= =|20且2= 0 = ,(2)对称性: = ,(3) (m) = m( ) = (m),(4) 分配律：(+) = + ,(5) 线性性：(k+l) = k + l ,(6) Schwartz不等式：| | | |,(7) 三角不等式:|- | | | |+|,(8) | + |2 + |-|2 = 2 (|2 + |2),注: 数量积不满足消去律, 即 = , =.,应为 (- )=0 (- ).,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,(2)设 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2), 则 = x1x2+y1y2+z1z2,5. 直角坐标系 下向量内积的计算,例1.已知|=3, |=6, (,)=/3, (3 ) (+2), 求.,解： (3 ) (+2)=0, 3 2 + (6) 2 2=0, 39+(6)| |cos/3 236=0, 8181=0 =1., = 2 = x12 +y12+z12,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,6. 模、夹角、距离公式,(2)设非零向量 = (x1, y1, z1), = (x2, y2, z2) 之间的夹角为, 则,x1x2+y1y2+z1z2,(3)点P1(x1, y1, z1)与P2(x2, y2, z2)之间的距离为, = x1x2+y1y2+z1z2,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,一. 两个向量的数量积,1. 物理背景,2. 两个非零向量之间的夹角,3. 数量积(点积、内积)的定义,4. 内积的性质,5. 直角坐标系下计算内积,6. 模、夹角、距离公式,7. 方向角、方向余弦和方向数,8. 投影的概念及与内积的关系,正定性、线性性、 Schwartz、三角不等式, = x1x2+y1y2+z1z2,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,7. 方向角、方向余弦和方向数,(1)非零向量与三个坐标轴所成的夹角称为 此向量的方向角;,方向余弦: cos, cos, cos,方向角的余弦称为此向量的方向余弦.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,(3)方向数c1,c2,c3:,注2：cos2 + cos2 + cos2 = 1.,(2)向量 的方向余弦,注1：方向余弦唯一，但方向数不唯一.,与方向余弦成比例的一组数,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,例2.向量1=(1,2,3), 2=(1,0,0), 3=(1,1,3), =1+2 +3, 求|, 的方向余弦、方向数, =(,3).,解：=1+2 +3=(3,3,6),的方向数: 3,3,6; 或者1,1,2; 通式为k,k,2k (k0),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,一. 两个向量的数量积,1. 物理背景,2. 两个非零向量之间的夹角,3. 数量积(点积、内积)的定义,4. 内积的性质,5. 直角坐标系下计算内积,6. 模、夹角、距离公式,7. 方向角、方向余弦和方向数,8. 投影的概念及与内积的关系,正定性、线性性、 Schwartz、三角不等式, = x1x2+y1y2+z1z2,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,8. 投影的概念及与内积的关系,投影与内积的关系：,(注意投影是一个数),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,一. 两个向量的数量积(点积、内积),1. 两个非零向量之间的夹角,2. 数量积的定义,3. 内积的性质,4. 直角坐标系下计算内积,5. 模、夹角、距离公式,6. 方向角、方向余弦和方向数,7. 投影,正定性、线性性、 Schwartz、三角不等式, = x1x2+y1y2+z1z2,Ex.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,二. 两个向量的向量积(叉积、外积),1. 物理背景,2. 向量积的定义,3. 向量积的模的几何意义,4. 外积的性质,5. 直角坐标系 下外积的坐标计算,一. 两个向量的数量积(点积、内积),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,二. 两个向量的向量积(叉积,外积),1. 物理背景:,2. 向量积的定义:,| | = | | |sin,其中 =( , ).,3. 模的几何意义：,力矩 = 力力臂, 是一个向量.,当 , ，且 , 不平行时，,正弦值等于边长为1菱形的面积.,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,二. 两个向量的向量积(叉积、外积),1. 物理背景,2. 向量积的定义,3. 向量积的模的几何意义,4. 外积的性质,5. 直角坐标系 下外积的坐标计算,一. 两个向量的数量积(点积、内积),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,4. 外积的性质,(3)反对称性: = ,(4) (m) = m() = (m),(5) (+) = + ,(6) ( )2+()2 = 2 2,例3. 已知| = 3, | = 11, 且 = 30. 求| |.,(1) = =或=或(,/), / (规定 /),| | = | | |sin,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,二. 两个向量的向量积(叉积、外积),1. 物理背景,2. 向量积的定义,3. 向量积的模的几何意义,4. 外积的性质,5. 直角坐标系 下外积的坐标计算,一. 两个向量的数量积(点积、内积),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,5. 直角系 下外积的坐标计算,(2)设 = (a1, a2 , a3), = (b1 , b2 , b3), 则,(a2b3a3b2),(a3b1a1b3),(a1b2a2b1),(1),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,(3)二阶行列式, = i + j + k,注: = (a1, a2, a3)与 = (b1, b2, b3)共线 = , = , ,注: 为任意值, 不共线,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,| |=| | |sin =S,正定性、线性性、Schwar -tz不等式、三角不等式,反对称性 = , =0 , = /, = a1b1+a2b2+a3b3,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,例4. 求点P(4,4,1)到点A(1,0,1)和B(0,2,3)所 在直线的距离.,A,分析: P到AB的距离可看作底边AB上的高.,解1：,解2：,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,例5. 已知向量 = (1, 2,1), =(1, 1, 1), 且 = 8, 其中 = (1, 2,1), 求 .,解法1：,设 = (x,y,z), 由题设知，,解法2：,解得 = (x,y,z)=(1,-2,3).,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,例6. 已知向量, , 有共同起点但不共面, 求以它们为棱的平行六面体的体积V.,V = (),S = |,h = (),解：,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,三. 三个向量的混合积,1. , , 的混合积: (, , ) = (),2. 几何意义,设, , 为不共面的三个向量, 将它们平 移到同一起点.若它们符合右手法则, 则 与()在与 所 成平面的同侧, 于是,V = ( ) ,若与()在与 所成平面的两侧, 则, V = ( ) ,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,定理1.4 设向量, , 不共面，则当, , 符合右 (或左)手法则时() = V (或V).,推论1.4 , , 共面 () = 0,注: 轮换对称性,() = ( ) = (), (),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,3. 性质,(1) (, , ) = 0,(2) (, , ) = (, , ),(3) (1+2, , ) = (1, , ) + (2, , ),(4) (m, , ) = m(, , )=(, m, )=(, , m),(5) (, , +m) = (, , ), 其中m为一实数.,注: 结合轮换对称性,由这些性质还可派生出更 多类似的性质. 如: (, 1+2, ) = (, 1, ) + (, 2, ); ( +m, , ) = (, , ), 等等.,= (, , ) = (, , ),= (, ,) = (, , ),轮换对称性,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,例7.试证(2, + +3, + ) = 6(, , ).,证明：,(2, + + 3, + ) = (2, 3 , + ),= (2, 3 , ),= 6(, , ),= 6(, , ),第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,例8.由定理1.3可知, 在空间中任取三个不共面 的, , 后, 空间中任一向量 都可以由, , 唯一的线性表示, 即存在唯一的实数 组(x, y, z), 使得 = x + y + z. 下面我们去求x, y, z的值.,(, , ) = (x + y + z, , ),= (x, , )+ (y , , )+ (z, , ),= x(, , )., , 不共面，则(, , ) 0.,解：,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,二. 两个向量的向量积(叉积,外积),1. 混合积的定义,2. 混合积的几何意义,3. 混合积的性质,4. 直角系下混合积的坐标计算,一. 两个向量的数量积(点积、内积),三. 三个向量的混合积,5. 三阶行列式,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,4. 直角系下混合积的坐标计算,设 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3),则 = (a2b3a3b2), (a3b1a1b3), (a1b2a2b1),() = (a2b3a3b2)c1+(a3b1a1b3)c2+(a1b2a2b1)c3,= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,5. 三阶行列式,a1 a2 a3 b1 b2 b3 c1 c2 c3,(1)定义,(2) 对角线法则,=a1 (b2c3b3c2) a2(b1c3b3c1) +a3(b1c2b2c1),按第一行的展开式,二阶行列式的系数：,= a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2a3b2c1a1b3c2a2b1c3,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积, 向量积和混合积,注: 对于向量 = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), 和 = (c1, c2, c3), 采用行列式的记号, 我们有,() =, =,推论1.4 三个向量 =(a1, a2, a3), =(b1, b2, b3), = (c1, c2, c3)共面的充分必要条件是,第一章 向量代数 平面与直线,1.3 向量的数量积、向量积和混合积,| |=| | |sin =S,正定性,线性性, Schwartz不等式,反对称性 = , =0 , = /, = a1b1+ a2b2+a3b3,(, , ) = () =V(平行六面体),轮换对称性, (1),(2),(5),(, , ) =0 共面,Ex.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,4. 三点式方程,5. 截距式方程,二. 空间直线的方程,1. 参数方程,2. 标准(对称)方程,4. 两点式方程,3. 一般方程,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,2. 距离,3.平面束方程,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,P,A(xx0)+B(yy0)+C(zz0) = 0,2. 一般方程,Ax+By+Cz+D = 0,定理1.5 平面方程是三元一次方程, 而三元一 次方程必然表示一个平面.,P0(x0, y0, z0),P(x, y, z),其中D= Ax0 By0 Cz0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3. 特殊位置的平面方程,(1)过原点的平面: Ax+By+Cz = 0,(2)平行于x轴的平面:,平行于y轴的平面: Ax+Cz+D = 0,平行于z轴的平面: Ax+By+D = 0,(3)平行于xoy面的平面:,平行于yoz面的平面: Ax+D = 0,平行于xoz面的平面: By+D = 0,Ax+By+Cz+D = 0,若A0，则A(x+D/A)+B(y-0)+C(z-0) = 0,P0(-D/A,0,0),By+Cz+D = 0,Cz+D = 0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例1. 求通过点P0(1,2,3), 且,注: 确定A, B, C, D的值;,作图时应标注一些特殊点, 如与坐标轴 或坐标平面的交点.,(1)通过x轴;,(2)平行于yoz平面,的平面方程, 并且分别作出它们的图形.,By+Cz=0,2B+3C=0,3y-2z=0,Ax+D=0,A+D=0,x 1=0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,4. 三点式方程,经过不共线三点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)的平面,5. 截距式方程, 的方程,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,4. 三点式方程,5. 截距式方程,二. 空间直线的方程,1. 参数方程,2. 标准(对称)方程,4. 两点式方程,3. 一般方程,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,2. 距离,3.平面束方程,重要信息:,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,二. 空间直线的方程,1. 参数方程,P,x = x0+lt, y = y0+mt, z = z0+nt.,2. 标准(对称)方程,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3. 一般方程,A1x+B1y+C1z+D1 = 0,A2x+B2y+C2z+D2 = 0,4. 两点式方程,过两点P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) 的直线L的方程为,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例2. 求过点P(7,6,5), 垂直于直线L0:,且平行于平面0: x+y+z+1=0的直线方程.,= (9, 5, 1).,= (4, 8, 4).,所求直线L的方程为,P,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例2. 求过点P(7,6,5), 垂直于直线L0:,且平行于平面0: x+y+z+1=0的直线方程.,x 2y + z + 3 = 0,2x 3y 3z 9 = 0,(9, 5, 1).,9(x+7)+5(y6)+(z5)=0, 即: 9x+5y+z+28=0.,过点P(7,6,5)平行于平面0的平面2为,(x+7) + (y6) + (z5) = 0, 即: x+y+z4=0.,故所求直线L的方程为,0,2,1,P,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,4. 三点式方程,5. 截距式方程,二. 空间直线的方程,1. 参数方程,2. 标准(对称)方程,4. 两点式方程,3. 一般方程,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,2. 距离,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三个向量共面,重要信息:,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,(1) 两条直线的夹角,(2) 两个平面的夹角,(3) 直线与平面的夹角,规定夹角的范围0 /2.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例3. 求直线L:,与平面 : x+2y+z+1=0之间的夹角.,解：,法2：,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,(1) 两条直线的夹角,(2) 两个平面的夹角,(3) 直线与平面的夹角,规定夹角的范围0 /2.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,2. 距离,(1) 点P到直线L的距离:,(2) 两平行直线之间的距离:,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,2. 距离,(3) 点P(x1, y1, z1)到平面 : Ax+By+Cz+D=0的距离,(4) 两平行平面间的距离:,一平面上一点到另一平面距离,L1,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,(5) 异面直线之间的距离,L2,s1,s2,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,例5. 求证L1:,解：,L2:,是两条异面直线，并求出它们之间的最短距离.,所以是两条异面直线.,公垂线的方向为,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,解1：,再求出公垂线的方程.,L1,L2,s1,s2,1,2,平面1的法向量为,平面2的法向量为,平面1的方程为,(y3)+(z+1)=0, 即: y+z2=0.,平面2的方程为,公垂线的方程为,2x+5y+4z+8=0,例5. L1:,L2:,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,解2：,再求出公垂线的方程.,L1,L2,s1,s2,1,平面1的法向量为,平面1的方程为,(y3)+(z+1)=0, 即: y+z2=0.,平面1与直线L2的交点为,公垂线的方程为,M (8, 0, 2).,例5. L1:,L2:,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,一. 平面的方程,1. 点法式方程,2. 一般方程,3. 特殊位置的平面方程,二. 空间直线的方程,2. 标准(对称)方程,3. 一般方程,三. 与直线、平面有关的一些问题,1. 夹角,2. 距离,3.平面束方程,重要信息:,重要工具:三个向量共面,重要信息:,Ex.,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间的平面和直线,3. 通过直线L的平面束方程,1(A1x+B1y+C1z+D1)+2(A2x+B2y+C2z+D2) = 0,第一章 向量代数 平面与直线,1.4 空间