微积分第4章中值定理与导数的应用.ppt

第四章 中值定理与导数的应用,1,第四章 中值定理与导数的应用, 4.1 中值定理, 4.2 洛必达法则, 4.3 函数的增减性, 4.4 函数的极值, 4.5 最大值与最小值，极值的应用问题, 4.6 曲线的凹向与拐点, 4.7 函数图形的作法, 4.8 边际分析与弹性分析介绍,第四章第1节,2,4.1 中值定理,一、罗尔中值定理,二、拉格朗日中值定理,三、柯西中值定理,第四章第1节,3,一、罗尔中值定理,注：,1. 定理的条件：三个缺一不可.,2. 定理的应用：导函数零点(根)的存在问题.,例1,例2,第四章第1节,4,例1. 验证 f(x) x2 2x 3 在 -1, 3 上满足罗尔定理条件， 找出满足 f () = 0 的 .,注意到 f (x) (x1)(x3), 在-1, 3上显然连续; f (x) 2x2 2(x1) 在(-1, 3)上显然可导； f (1) f(3) 0,存在 1(1, 3) 使 f (1)0,解,故 f(x) 满足罗尔定理的条件 其中a 1 b 3,返回,第四章第1节,5,例2 不求导 判断函数 f(x) (x1)(x2)(x3) 的导数有几个 实根、及其所在范围,解,而 f (x) 是二次多项式 仅有上述两个根,f(1) f(2) f(3) 0, f(x) 在 1, 2 2, 3 上满足罗尔定理条件, f(x) 在 R 上连续、可导 且,根据罗尔定理，有：,第四章第1节,6,二、拉格朗日中值定理,注：,2. 拉格朗日公式 的等价形式：,1. 拉氏定理是罗尔定理的推广.,第四章第1节,7,证,例3 证明不等式 arctan x2arctan x1 x2x1 (x1x2) ,设 f(x) arctan x,arctan x2arctan x1 x2x1,在 x1, x2 上应用拉格朗日定理，有,第四章第1节,8,例4.,证:,即,则 f 在0, x上满足拉格朗日定理的条件.,第四章第1节,9,在区间 I 上 f(x) 和 g(x) 只差一个常数，即,是 I 上的常值函数.,证明函数恒等式的惯用手段！,第四章第1节,10,三、柯西中值定理,例6. 设函数 f 在区间a, b(a0)上连续, 在(a, b)上可导，,则存在(a, b), 使,第四章第1节,11,拉格朗日 中值定理,柯 西 中值定理,罗尔定理、拉格朗日定理及柯西中值定理之间的关系；,f ( ) = 0.,罗尔 定理,问题：证明存在(a, b), 使得H(a, b, )=0,第四章第1节,12,与题设矛盾！,例7. 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p(x) = 0 没有实根，,证:,则方程 p(x) = 0 至多有一个实根，且这个根的重数为1 .,1) 设 p(x) 有两个实根 x1, x2，且 x1 x2 .,多项式函数 p(x) 显然在 x1, x2 上满足罗尔定理的条件，,故存在 (x1, x2) 使得 p( ) = 0 .,与题设矛盾！,2) 又设 p(x) 有一个 k (k2) 次重根 x0 .,则,故,所以,第四章第1节,13,4.2 洛必达法则,一、0/0 型不定式,二、/ 型不定式,三、其他不定式,第四章第1节,14,则, f 和g在某Uo(x0)内都可导且 ；,（A也可以是, ）,一、0/0 型不定式极限,3. 只要满足条件，可以反复、多次运用此法.,洛必达法则,第四章第1节,15,例1.,计算下列 0/0 型不定式极限：,第四章第1节,16,二、/ 型不定式极限,3. 只要满足条件，可以反复、多次运用此法.,则, f 和g在某Uo(x0)内都可导且 ；,（A也可以是, ）,洛必达法则,第四章第1节,17,例2.,计算下列 / 型不定式极限：,第四章第1节,18,三、其他不定式, 型：, 型：, 型：,化为 0/0 型或/型,整理成 1/0-1/0 , 经通分化为 0/0 型, 数列形式不定式：,化为 e 0型 ( ),改求函数极限,第四章第1节,19,例7.,解:,(根据洛必达法则),(根据二阶导定义),第四章第1节,20,f(x) 在 I上单调不减,定理,设 f(x) 在区间 I 上可导，则,(不增),( ),4.3 函数的增减性,例1. 讨论下列函数的单调性：,第四章第1节,21,例2. 证明,证:,设,故 f 在 0, +) 单调递增；,当 x 0 时,在 (-, 0 单调递减；,即,则 f (0) = 0 .,例(另证).,注意到 及 f (0) = 0 .,例：,x3, x5,x1, x2 , x4,1. 局部vs.整体，,2. 极值不在端点，最值可以,3. 区间内的最值点是极值点,多值vs.唯一,x6,4.4 函数的极值,22,设 f 在U(x0)有定义, 且在 x0 可导.,若点 x0是 f 的极值点，则必有,1. 可导的极值点是驻点, ”可导”条件不可去，,2. 驻点不一定是极值点，,例: f(x) = |x|;,例：f(x) = x3 .,求极值点的步骤：,求不可导点、驻点,检查上述点左右的取值，根据极值定义做判断,23,设 f(x) 在点 x0 连续，在某 上可导，,(1) 若当 时 , 当 时 ，,则 x0 是 f 的极小值点；,(2) 若当 时 , 当 时 ，,则 x0 是 f 的极大值点；,（左减右增极小）,（左增右减极大）,24,令f (x) 0 得驻点 x 1,不可导点为 x 0,解:,例1.,求函数 的极值点与极值.,即,是极小值.,25,(1) 若,则 x0 是 f 的极小值点；,设,(2) 若,则 x0 是 f 的极大值点；,则,例如，y = x3 或 x4，其中 x0 = 0.,26,区间端点,（区间内）,极值点,不可导点,驻点,最值点, 4.5 最大值与最小值，极值的应用问题,已知：若 f 在a, b上连续, 则 f 在a, b上有最大(小)值.,问题：如何找出最大(小)值点 ?,求 f 在a, b 上最值的步骤：, 列出区间端点、区间内不可导点及驻点，求对应点函数值；, 以上函数值之最大(小)者，即 f 在a, b上的最大(小)值。,27,解:,例1.,求 在 上的最大值与最小值.,函数的驻点 x 1,不可导点为 x 0,所以 f 在 处取得最大值 0 ，,28,问剪去小正方形的边长为何值时，可使盒子的容积最大？,解:,设正方形的边长为 a, 每个小正方形的边长为 x .,而,则盒子的容积为,又,所以 为V(x)在区间内唯一驻点,所以 为唯一的极大值点，,此时盒子容积最大.,29, 4.6 曲线的凹向与拐点,30,31,2. 二阶导为零不一定是拐 点 ，例：y = x4 , x0 = 0.,解,例1 求曲线 y x4 2x3 1 的凹向与拐点,y 4x3 6x2,y 12x2 12x 12x(x1),得 x1 0 x2 1,令 y 0,列表,所以 曲线在 ( 0) (1 ) 上凹、在 (0 1) 下凹，,0,0,1 (拐点),0 (拐点),(0 1)和(1 0) 是拐点,32,解,当 x 2 时 y 0,y 不存在,列表,因此 曲线在(, 2)下凹 在(2, )上凹， 拐点是(2, 0),不存在,0(拐点),例2 求曲线 y (x 2)5/3 的凹向与拐点,33,一、曲线的渐近线, 4.7 函数图形的作法,其中，,34,解,因为,所以 x 1 是曲线的铅垂渐近线,因为,所以 y x1 是曲线的斜渐近线,例1. 求曲线 的渐近线,35,所以曲线没有水平渐近线,函数作图基本步骤：,1. 求函数的定义域；,3. 求函数的某些特殊点，比如：,4. 确定函数的单调区间、极值点, 凹向区间、拐点；,5. 考察渐近线；,6. 综合上述结果,列表并作图.,与坐标轴的交点、不连续点、不可导点；,二、函数图形的作法,2. 考察函数的奇偶性、周期性；,36,例2.,解:,f 的定义域为 x0，,且知 f 无不可导点.,令,得,故函数图象过点 与,f 是非奇、非偶、非周期的连续函数 .,上凹/减,上凹/增,极小值点,上凹/减,拐点,下凹/减,0,-,-,+,0,列表确定函数单调区间、凹向及极值点和拐点：,37,f 的图象过点：,例1.,解(续):,由 及,得斜渐近线 y = -2；,由 得垂直渐近线 x = 0.,补充函数图象上的点：,根据以上结果绘制函数图象(左图).,38,草图：,39,眼睛1.8 m, 问观察者在距墙多远处看图才最清楚(视角 最大)?,例. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于观察者的,解: 设观察者与墙的距离为 x m ,则,令,得驻点,根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在,驻点又唯一,因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚。,40,C (Q) 边际成本，,4.8 边际分析与弹性分析介绍,R (Q) 边际收益.,C(100) 当 Q = 100 时, 再生产一件产品所增加的(近似)成本,则, x 增加 1 单位, y 近似增加f (x0)单位,R(100) 当 Q = 100 时, 再生产一件产品所增加的(近似)利润,41,例1.,已知某商品的成本函数为 求：(1) 当 Q = 10 的边际成本； (2) 当Q为多少时，平均成本最小？,42,最大利润原则,设总利润 L(Q) = R(Q) C(Q) 二阶可导，,则 L(Q) 取最大值的必要条件：R(Q) = C(Q) ;,充分条件：R(Q) C(Q) .,43,设函数 y = f (x)