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文档简介

二、积分上限的函数及其导数,三、牛顿 莱布尼兹公式,一、问题的提出,第二节,微积分的基本公式,第五章,Newton,Leibniz,微积分学的创始人,牛顿(1642 1727),伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数 (微分) 术 ,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书 (1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等 .,Newton,莱布尼兹(1646 1716),德国数学家, 哲学家.,他和牛顿同为,微积分的创始人 ,他在学艺杂志,上发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用微积分符号也远远优于牛顿 .,他还设计了作乘法的计算机 ,系统地阐述二进制计,数法 ,并把它与中国的八卦联系起来 .,Leibniz,进入21世纪，,莱布尼兹对计算机科学的影响会怎样呢？,我们不妨试目以待！,教学目的与要求：,理解变上限的积分及其求导定理 掌握牛顿莱布尼兹公式 重点： 积分上限函数及定积分与不定积分的联系：掌握牛顿莱布尼兹公式 难点： 积分上限是复合函数的求导公式,变速直线运动中位置函数与速度函数的联系,变速直线运动中路程为,另一方面这段路程可表示为,一、问题的提出,这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .,考察定积分,记,积分上限函数,二、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,证,由积分中值定理得,说明:,定理 1,变限积分求导:,为通过原函数计算定积分开辟了道路 .,例1 求,解,分析：这是 型不定式，应用洛必达法则.,例2.,确定常数 a , b , c 的值, 使,解:,原式 =,c 0 , 故,又由, 得,证,证,令,定理2（原函数存在定理）,定理的重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定理 3（微积分基本公式）,证,三、牛顿莱布尼茨公式,( 牛顿 - 莱布尼兹公式),令,令,牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例5. 计算,解:,例6 求,原式,例7,解,解,设,求,例8 求,解,由图形可知,例9 求,解,解 面积,例11. 汽车以每小时 36 km 的速度行驶 ,速停车,解: 设开始刹车时刻为,则此时刻汽车速度,刹车后汽车减速行驶 , 其速度为,当汽车停住时,即,得,故在这段时间内汽车所走的距离为,刹车,问从开始刹,到某处需要减,设汽车以等加速度,车到停车走了多少距离?,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,四、小结,牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系,思考题,思考题解答,备用题,解：,1.,设,求,定积分为常数 ,设,
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