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第三节 向量的乘法运算,一、向量的数量积,二、向量的向量积,三、向量的混合积,五、思考与练习,四、小结,一、两向量的数量积,沿与力夹角为,的直线从点M1移动到点M2,1. 定义设向量 、 夹角为，,为向量 与 的数量积,则称数量,记为 ,即 .,(点积、内积).,注意： 中的“.”不能省.,2. 数量积符合下列运算规律：,(2) 交换律：,(3) 分配律：(投影),(4) 若l为数：,若l、m为数：,3. 关于两向量垂直的说明：,证,正交 ( 或垂直 ),定理,证,则,如图：设,例1 证明三角形余弦定理,4. 数量积的坐标表示,设,数量积的坐标表示式,4. 数量积的坐标表示,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表达式,由此可知,解,例3,解,例4,解,证,二、向量的向量积,二、向量的向量积,1. 定义,它的模为：,向量积也称为“叉积”、“外积”.,引例中的力矩,思考 右图三角形面积,S_,2. 关于向量积的说明：,证,(2) 分配律（力矩）：,(3) 若 l为数：,3. 向量积符合下列运算律：,4. 向量积的坐标表示,设,向量积的分解表达式,向量积的坐标表达式,向量积还可用三阶行列式表示,( 三阶行列式计算见课本 P319P320 ),4. 向量积的坐标表示,设,向量积的分解表达式,5. 向量积的几何意义,1) 表示以 和 为邻边的平行四边形的面积.,2) 与一切既平行于 又平行于 的平面相垂直.,例1,解 (1),(2) D ABC的面积为,例1,解 (3),解,例2,解,三、向量的混合积 1.定义,即,其底面积,高,故平行六面体体积为,几何意义：混合积的绝对值表示以向量 为棱的平行六面体体积.,2. 混合积的坐标表示,设,混合积的坐标表达式,3. 性质,(2) 轮换对称性,(可用三阶行列式推出),解,例1,例2 求以不在同一平面上的四点 Ak (x k , y k , z k ) (k=1,2,3,4)为顶点的四面体的体积.,解,例3 问四点 A (1 , 1 , 1 ) , B (4 , 5 , 6 ) , C (2 , 3 , 3 ) , D (10 , 15 , 17 ) 是否共面 ?,解, 点 A, B, C, D 共面.,四、小结,设,2、向量的向量积 (结果是一个向量),1、向量的数量积 (结果是一个数),设,3、向量的混合积 (结果是一个数量),5、数量积几何应用要点：,(1) 求向量的模：,(2) 求两向量的夹角：,(3) 求一个向量在另一个向量上的投影：,6、向量积几何应用要点：,(2) 求以向量 为邻边的平行四边形的面积：,(1) 求与两个非共线向量 同时垂直的向量 ：,7、混合积几何应用要点：,(2) 以 为相邻棱的平行六面体
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