猎狗追击兔子问题.ppt

猎狗追兔子问题,开始跑!,题目：狗追兔子问题,现有一只兔子，一只猎狗，兔子位于猎狗的正西100米处。假设兔子与猎狗同时发现对方并一起起跑，兔子往正北60米处的巢穴跑，而猎狗在追兔子，已知兔子、猎狗是匀速跑且猎狗的速度是兔子的两倍。问题是兔子能否安全逃回到巢穴？,问题分析： 由题意得，这是一道数学追击问题。 模型： 假设兔子沿直线逃回巢穴，而猎狗始终追击方向始终朝向兔子。即猎狗追击路线为一条曲线。,兔子逃跑路线,猎狗追击路线,猎狗起始位置,(0,y1)E,(X1,Y1)C,D(X2,Y2),(0,y2)F,At1,At2,如图所示，f(x)上每一点的切线为此时刻兔子与猎狗位置的连线。 这样就可以得到f(x)上 每一点的斜率，即:f(xt)=tanAt; 又由题可知： y0=f(x0)=100; y0=f(x0)=100 dy/dx=tan At 这样就可以求得一条 与f(x)近似的折线(就是常 微分方程中学得欧拉折线)， 当时间步长t取得足够小时， 可以认为这条折线就是f(x).,At,(Xt,Yt),(0,yt),猎狗追击路线：y=f(x),速度:2v,t时刻位置为(Xt,Yt); 兔子逃跑路线：x=0,速度:v, t时刻位置为(0,yt); 由模型得：猎狗t时刻追击方向与水平方向的夹角At满足： tanAt= (Yt-yt)/(Xt-0); cosAt=-Xt/sqrt(Xt2+(Yt-yt)2); sinAt=(yt-Yt)/ Xt/sqrt(Xt2+(Yt-yt)2) 设时间步长为t，则在t+t时，狗的位置 ，可表示为： Xt+1=Xt-(2*v* t)*cosAt; Yt+1=Yt+(2*v* t)*sinAt; yt=yt+v* t; y0=0;Y0=0;X0=100; 显然，当猎狗追上兔子时 Xt=0；此时在比较Yt与B点的纵坐标 大小，若Yt大于60则追不上，若Yt小 于或等于60则能追上。,#include #include void main() double Y10000,X10000,y10000,T=0.01,v=10,sinA,cosA;/T为时间步长取：0.01 y0=0;Y0=0;X0=100;/Xi,yi,Yi表示i时刻的坐标点 for(int i=0;i+) sinA=(yi-Yi)/sqrt(Xi*Xi+(yi-Yi)*(yi-Yi); cosA=Xi/sqrt(Xi*Xi+(yi-Yi)*(yi-Yi); Xi+1=Xi-2*v*T*cosA; Yi+1=Yi+2*v*T*sinA; yi+1=yi+v*T; if(Xi+1=0)/Xi第一次小于或等于0时追到兔子，根据此时Yi是否大于60判断猎狗能否在兔子到达巢穴之前追到它 if(Yi+1=60)printf(“猎狗在%f米时 能够追上兔子！n“,Yi+1); else printf(“猎狗在兔子回巢穴前不能追上兔子！“); break; 运行结果大概为在66.699946米时，猎狗能追上兔子。（取兔子实际速度约为10m/s）,function sequient(m,n) Y=zeros(m,n); y=zeros(m,n); X=zeros(m,n); x=zeros(m,n); v=10;A=1;B=0;T=0.01; Y(m,1)=0;y(m,1)=0;X(m,1)=100; for i=1:(n-1) A=X(m,i)./sqrt(X(m,i).2+(Y(m,i)-y(m,i).2); B=(y(m,i)-Y(m,i)./sqrt(X(m,i).2+(Y(m,i)-y(m,i).2); X(m,i+1)=X(m,i)-2*v*T*A; Y(m,i+1)=Y(m,i)+2*v*T*B; y(m,i+1)=y(m,i)+v*T; if(X(m,i+1)X(m,i) continue; else break; end end plot(X,Y,r) hold on plot(x,y,b); hold off legend(,); k=find(X0); text(X(k),Y(k),