向量的坐标表示和空间向量.ppt

向量的坐标表示和空间向量,A(a,0,0),B(0,b,0),O,x,y,z,P(a,b,c),C(0,0,c),Q(a,b,0),空間向量的坐標表示法,則點 P在 x 軸、y 軸、z 軸上的投影點,分別為A(a,0,0)、B(0,b,0)、C(0,0,c)。,一、空間向量的坐標,1. 向量坐標：,z 軸上的單位向量,設點 P(a,b,c)，,O,x,y,z,說明：,注意：,A(1,2,3),B(4,3,1),C(2,3,5),D(x,y,z),2. 向量的長度：,3. 向量的相等：,4. 範例：空間坐標中，平行四邊形 ABCD 中，A(1,2,3)，,解：,B(4,3,1)，C(2,3,5)，求 D 點坐標。,則 (x1 , y2 , z3)=(2 , 6 , 4), x= 1，y= 4，z= 7。,故 D(1 , 4 , 7)。,5. 範例：空間坐標中，A(2,1,5)，B(8,3,2)，,解：,馬上練習：空間坐標中，P(2,4,3)，Q(7,4,9)，,Ans：13。,解：,6. 範例：,解：,馬上練習：,Ans：,解：,7. 向量的坐標運算：,證明：,證明：,8. 範例：令A(1,6,0)，B(3,1,2)，C(4,4,5)為坐標空間中三點，,若 D 為空間中一點，,解：令 D(x,y,z),求點 D 的坐標。,9. 向量的平行：,證明：,10. 範例：,解：,解：,馬上練習：,Ans：,o,o,11. 範例：,解：,( 菱形的對角線即為分角線 ),o,o,馬上練習：,Ans：,解：,O,P,m,n,A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),證明：設原點O(0,0,0)，P(x,y,z)，,二、分點公式：,1. 分點公式：,注意：,(2)設ABC三頂點為 A(x1 , y1 , z1)、B(x2 , y2 , z2)、C(x3 , y3 , z3)，,C(2,7,6),B(0,1,3),D,A,3,6,2. 範例：ABC中，A(2,3,4)，B(0,1,3)，C(2,7,6)，,解：,C(2,2,1),B(5,2,2),A,E,o,o,k,3k,馬上練習：ABC中，A(1,1,1)，B(5,2,2)，C(2,2,1)，,Ans：,解：,求 E 點的坐標。,D,E,F,G,B,H,C,A,P,3. 範例：一正立方體如圖，,解：,J,A,H,F,G,B,D,E,C,馬上練習：一平行六面體如圖，J 為 BCGF 的中心，,Ans：,解：,三、空間向量的內積：,1.,說明：,分別是x、y、z軸上的單位向量，,注意：,解：,2. 範例：設A(1,2,3)，B(2,3,5)，C(2,0,2)，,馬上練習：設P(2,1,4)，Q(4,4,5)，R(7,2,3)，,Ans：,解：,(1,3,0),(0,0,1),(1,3,1),H,F,B,x,z,y,C,G,A,P,E,D,3. 範例：,且FPB=，求cos之值。,解：將長方體放在坐標空間中，,以D為原點。,(0,1,1),D,x,y,z,E,F,G,B,H,C,A,以D為原點。,馬上練習：右圖是一個邊長為 1 的正立方體，,且HBG=，求cos之值。,Ans：,解：將正方體放在坐標空間中，,(1,1,0),(0,0,1),A,C,B,H,4. 範例：設A(2,1,2)，B(6,2,1)，C(3,1,4)，求：,解：,A,B,C,H,馬上練習：設A(4,3,2)，B(2,1,1)，C(2,2,6)，,Ans：,解：,一、柯西不等式：,1.,證明：,注意：,2. 範例：已知三實數 x，y，z 滿足 x2+4y2+9z2=3，,求 x+2y+3z 的最大值，及此時的 x，y，z 的值。,解：,所以 x+2y+3z 有最大值 3，此時等號成立，,解：,馬上練習：已知三實數 x，y，z 滿足 x2+2y2+3z2=6，,求 x+2y+3z 的最小值，及此時的 x，y，z 的值。,Ans：最小值6，此時 x= 1，y = 1，z = 1。,所以 x+2y+3z 有最小值 6，此時等號成立，,x,y,z,3. 範例：由周長12之三角形的三邊分別向外作正方形，如圖。,問當三角形為何種三角形時，三個正方形的面積和,會有最小值？又其值是多少？,解：設三角形的三邊長為 x，y，z，,所求面積和=x2+y2+z2，且x+y+z=12，,故 x2+y2+z2 有最小值 48，此時等號成立，, 此時 x = y = z = 4，即為正三角形。,馬上練習：已知三實數 x，y，z 滿足 x+y+z=6，,Ans：,求 (x1)2+4y2+z2 的最小值，及求此時的 x，y，z 的值。,解：,x,y,z,A,C,B,P,6,5,3,若 P 是 ABC 內部的動