向量代数与空间解析几何(18).ppt

1,第六章 向量代数与空间解析几何(二),典型例题,主要内容,堂上练习题,小结,2,一、主要内容,第4节 平面的方程,一、平面的点法式方程,经过点,法向量为,的平面的点法式方程为:,关键确定平面的法向量,3,一般地,过不在同一直线上的三点,的平面方程为:,-称为平面的三点式方程,4,平面的点法式方程,平面的一般方程,法向量,二、平面的一般式方程,任意一个形如上式,的x、y、z的三元一次,方程都是平面方程.,熟记平面的几种特殊位置,5,平面一般方程的几种特殊情况,平面通过坐标原点；,平面通过 轴；,平面平行于 轴；,平面平行于xOy 坐标面；,类似地可讨论,类似地可讨论,轴,轴,xOz面,yOz面,(由法向量可知),平面的一般方程,缺谁/谁,6,今后,由截距式方程作平面的图形特别方便!,当平面不与任何坐标面平行,且不过原点时,才有截距式方程.,并作图.,?,化为截距式方程,平面的截距式方程,7,定义,（通常取锐角）,两平面法向量的夹角称为,三、两平面的夹角,两平面的夹角.,8,按照两向量夹角余弦公式有,两平面夹角余弦公式,两平面位置特征：,/,两平面垂直、平行的充要条件,取锐角,9,点到平面的垂直距离,外一点,四、点到平面的距离,并作向量,即,由于,10,的距离公式为,11,点到平面距离公式,结论:两平行平面,之间的距离:,12,第5节 直线的方程,定义,空间直线可看成两平面的交线.,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般式方程,L,(2) 直线L的一般方程形式不是唯一的.,13,方向向量的定义,如果一非零向量平行于,二、空间直线的点向式方程与参数方程,1.点向式方程,一条直线可以有许多方向向量.,求此直线的方程,一条已知直线,这个向量称,为这条直线的,方向向量.,方向数.,向量 的方向余弦称为直线的方向余弦.,14,直线的对称式方程,令,直线的参数方程,因为,故,故,直线方程的几种形式可以互相转换.,(点向式、标准式）,15,则直线的一个方向向量为:,于是对称式方程可写成:,一般,如直线过两点,-直线的两点式方程,16,2. 直线的一般方程化为对称式方程,怎样将直线的一般方程,(1) 用代数的消元法化为比例式;,有两种方法,?,(2) 在直线上找一定点,再求出方向向量,(重要),化为对称式方程,即写出对称式方程.,17,3. 直线的参数方程,上式何时有用,如求,直线的参数方程,故,?,答:,直线与平面的交点.,18,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角称之.,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,（锐角）,19,两直线的位置关系:,/,直线,直线,例,(两直线垂直、平行的条件),20,直线和它在平面上的投影直线的,定义,四、直线与平面的夹角,夹角,称之.,21,直线与平面的夹角公式,直线与平面的,/,(直线与平面垂直、平行的充要条件),位置关系：,22,设有两块不平行的平面,其中系数不互相成比例,交成一条直线L,过直线L的所求全体平面,平面束,(3)表示过直线L的平面,?,五、过直线的平面束,23,第6节 曲面及其方程,掌握几种特殊的曲面方程与图形,1. 球面,24,柱面方程,（其他类推）,直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,在空间,为xOy面上的曲线C.,其准线,2. 圆柱面,25,曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到 :,而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可.,旋转曲面方程,26,旋转曲面方程:,旋转一周的,如,绕z轴,同理,绕y轴,旋转一周的,旋转曲面方程为,27,3. 圆锥面,4. 旋转抛物面,28,5. 椭球面,6. 单叶双曲面,7. 双叶双曲面,29,8. 双曲抛物面(马鞍面),马鞍面,30,第7节 空间曲线及其方程,空间曲线的一般方程,空间曲线C可看作,特点：,一、空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程,满足方程的点都在曲线上,不在曲线上的点不能,同时满足两个方程.,空间两曲面的交线.,31,空间曲线的参数方程,二、空间曲线的参数方程,随着参数的变化可得到曲线上的,就得到曲线上的一个点,全部点.,32,消去变量z后得：,曲线关于xOy的,设空间曲线C的一般方程：,投影柱面的特征：,三、空间曲线在坐标面上的投影,此柱面必包含曲线C,以曲线C为准线、,C,投影柱面.,母线垂直于所投影的坐标面.,33,类似地:可定义空间曲线在其它坐标面上的投影.,yOz面上的投影曲线,xOz面上的投影曲线,空间曲线在xOy 面上的投影曲线(或称投影),(即为曲线关于xOy面的投影柱面),(即为xOy 面),C,(即为投影柱面与xOy 面的交线),34,二、典型例题,例1 求平行于,轴且过点,的平面方程.,解:,设所求平面方程为:,则,解得,于是所求平面方程为:,问:能否设所求平面方程为,?,考虑: 求平行于,轴且过点,的平面方程.,35,例2 求过 轴且与平面,的平面方程.,提示:,设所求平面方程为,利用平面的夹角公式得到所求平面为,36,设所求平面为,由所求平面与已知平面平行得,(向量平行的充要条件),解,例3,所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.,求平行于平面,而与三个坐标面,37,代入体积式,所求平面方程为,所围成的四面体体积为一个单位的平面方程.,求平行于平面,而与三个坐标面,38,解,例4,求这平面方程.,设所求平面为,在已知平面,上任取一点,或,故所求平面为,或,39,解,先作一过点M且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,垂直相交的直线方程.,例5,40,交点,取所求直线的方向向量为,直线方程为,代入,得,将,41,解,设所求直线的方向向量为,取,所求直线的方程,例6,的交线平行的直线方程.,过已知直线外一点作直线与已知直线平行,42,解,设平面束方程,由,即,由,例7.,43,例8 求通过直线L:,且垂直于平面,的平面方程,并求直线L在平面,上的投影直线的方程.,44,方程,表示( ),(A) 双曲柱面;,(D) 锥面.,(C)双叶双曲面;,(B)旋转双曲面;,B,椭圆抛物面,双曲抛物面(马鞍面）,设有曲面方程,则方程表示的曲面为,方程表示的曲面为,?,?,45,双叶双,曲面,它的对称轴在 轴上.,y,椭圆锥,练习,46,例9 求锥面,与柱面,所围成得立体在三个坐标面上的投影.,解:,交线为,在xoy面上:,在xoz面上:,在yoz面上:,包含,47,例10 将曲线,化为参数方程,解:,消去z得,令,则,于是所求参数方程为,48,选择题,1.曲线,在xOy面上的投影柱面方程是( ).,A,三、堂上练习,49,2. 球面 与 交线在xOy面上投影曲线方程是( ),D,50,表示( ).,(A) 双曲柱面与平面x = 2交线;,(B) 双曲柱面;,(C) 双叶双曲面;,(D) 单叶双曲面.,A,3.,51,填空题,4.母线平行于x轴且通过曲线,的柱面方程是,5.双曲抛物面(马鞍面),与xOy面的交线是,相交于原点的两条直线.,52,曲面方程和空间曲线方程的概念,了解,平面方程,直