苏教版高考数学复习导航(第1轮)理】角和距离的向量解法.ppt

第十一章,空间向量与立体几何,角和距离的向量解法,第64讲,(1),异面直线所成的角,点评,用向量法求异面直线所成的角的关键是构造直线的方向向量，利用向量的数量积进行计算.,长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=BC=2 , AA1=1, E , H分别是A1B1和 BB1的中点. 求： (1)异面直线EH与AD1所成的角的余弦值； (2)异面直线AC1与B1C所成的角的余弦值.,【解析】分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系. 则A(2 , 0 , 0), B(2 , 2 , 0), C(0 , 2, 0), D1(0 , 0 , 1), C1(0 , 2 , 1), E(2 , 1 , 1), H(2 , 2 , ), B1(2 , 2 , 1),所以HE=(0 , -1 , ), AD1=(-2 , 0 , 1), |HE|= , |AD1|= ,AC1=(-2 , 2 , 1), CB1=(2 , 0 , 1), |AC1|=3 , |CB1|= . (1)因为HE AD1= , 所以 . 所以异面直线EH与AD1所成的角的余弦值 为 .,(2)因为 所以异面直线AC1与B1C所成的角的余 弦值为 .,直线与平面所成的角,(1)证明：作SOBC，垂足为O，连结AO. 由侧面SBC底面ABCD，得SO平面ABCD. 因为SA=SB，所以AO=BO. 又ABC=45，所以AOB为等腰直角三角形， 所以AOOB. 如图，以O为坐标原点，OA为 x 轴正向，建立直角坐标系Oxyz.,则A( , 0 , 0)，B(0 , , 0)， C(0 , , 0)，S(0 , 0 , 1)，SA=( , 0 , -1)，CB=(0 , , 0). 所以SA CB=0, 所以SABC.,(2)取AB的中点E，则E ，连 结SE，取SE的中点G，连结OG, 则G . 故OG= , SE= , AB= , 所以 OG SE=0，AB OG=0, 所以OG与平面SAB内两条相交直线SE、AB垂直，,所以OG平面SAB. OG与DS的夹角记为，SD与平面SAB所成的角记为，则与互余. 因为D , 所以DS= ， 所以cos,则sin= . 所以，直线SD与平面SAB所成的角的正弦值为 .,点评,利用向量法求直线与平面所成的角是通过求直线的方向向量与平面的法向量的夹角，再转化为直线与平面所成的角，这一过程中向量的数量积发挥了重要作用.,【变式练习2】正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，如图. BEB1C，E在C1C上，BE交B1C于F. 求A1B与平面BED所成角的正弦值.,【解析】以C为原点，取直线CD、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 设CE=c, 则BE=(0, -2 , c), CB1=(0 , 2 , 4).,因为BECB1， 所以BE CB1=(0 , -2 ,c) (0 , 2 , 4) = -4+4c=0，得 c =1.,又DE = (-2 , 0 , 1)， 则平面BED的一个法向量为 n=(1 , 1 , 2),且BA1=(2 , 0 , 4). 所以A1B与平面BED所成角的正弦值等于,二面角,【例3】如图，在四棱锥PABCD 中，底面ABCD为正方形，侧棱PD 底面ABCD，E、F分别是AB、 PC的中点. (1)求证：EF平面PAD； (2)设PD=2CD，求二面角AEF D的正切值.,【解析】如图，建立空间直 角坐标系Dxyz. (1)证明：设A(a,0,0), P(0, 0 , b)， 则 B(a , a , 0), C(0 , a , 0), E , F , 故EF= . 取PD的中点G ，,则AG= . 显然EF=AG, 故EFAG. 又AG 平面PAD，EF 平面PAD， 所以EF平面PAD. (2)不妨设A(1,0,0)， 则B(1,1,0), C(0,1,0), P(0,0,2), E , F .,易知EF的中点M , 则MD= ,EF=(-1,0,1), 所以MD EF=0, 所以MDEF. 又EA= ，所以EA EF=0, 所以EAEF. 所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角.,而 所以 . 所以二面角AEFD的正切值为 .,点评,利用向量的方法求二面角的大小，先求两个面的法向量，再用向量的数量积求出二面角或其补角.,【变式练习3】(2010江苏省无锡市质量调研)如图，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，BCF90，BECF，CEEF，AD，EF2. (1)求异面直线AD与EF所成的角； (2)当AB的长为何值时，二面角AEFC的大小为45？,【解析】如图，以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系Cxyz. 设ABa，BEb，CFc(bc)， 则C(0,0,0)，A( ，0，a)， B( ，0,0)，E( ，b,0)，F(0，c,0)，D(0,0，a),点到平面的距离,【解析】以D为原点，取直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系. (1)证明：易知D1(0,0,4), O(2,2,4), P(0,4,1), A(4,0,0)， 所以D1O=(2,2,0), PA=(4,-4,-1)， 则PA D1O=8-8=0. 于是PAD1O. 又PAOH，且OHD1O=O， 所以PA平面D1OH，所以PAD1H.,(2)因为AB=(0,4,0), AD1=(-4,0,4), 所以平面ABD1的一个法向量为 n=(1,0,1), 所以AP在n上的射影 为 , 即点P到平面ABD1的距离为 .,点评,求点到平面的距离的向量方法是利用向量数量积的几何意义，这是用向量方法求距离的重要应用.,【变式练习4】如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中， ACB=90， AC=BC=a, D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱AA1上的点，二面角MDEA为30. 求MA的长，并求点C到平面MDE的距离.,【解析】以C为原点，取CA、CB、CC1所在直线分别为x、y、z轴，建