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1,第三节 任意项级数,绝对收敛与条件收敛,定义: 正、负项相间的级数称为交错级数.,定理(莱布尼茨定理),如果交错级数满足条件,2,证,另一方面,3,定理(莱布尼茨定理),如果交错级数满足条件,注意：莱布尼兹定理所给的条件只是交错级数收敛的充分条件，而非必要条件.,4,例1,解,这是交错级数,由莱布尼茨定理知，级数收敛。,一般地，,称为交错 p级数.,所以级数收敛。,5,解,所以级数收敛.,例2,6,收敛,收敛,用Leibnitz 定理判别下列级数的敛散性:,收敛,上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?,发散,收敛,收敛,7,定义：正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.,8,证明,定理：,由正项级数的比较判别法可知,9,说明:,如上例；,(3)凡是用于判定正项级数敛散性的定理，都可以用来判别级数是否绝对收敛；,例3,解,故原级数绝对收敛.,10,证明,利用正项级数的比值判别法，,当 时，,收敛，,从而,绝对收敛；,而当 时 ,不可能趋于0，,因此,也不可能,趋于0，,故 发散。,11,例4,收敛或发散性.,解,绝对收敛.,12,例5,解,13,例6,解,14,例7,解,15,内容小结,1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性,2. 利用正项级数收敛法,必要条件,发 散,满足,比值判别法,根值判别法,收 敛,发 散,不定,比较判别法,用它法判别,积分判别法,部分和极限,16,3. 任意项级数收敛法,为收敛级数,Leibniz定理:,则交错级数,收敛,概念:,绝对收敛,条件收敛,17,思考题,18,解答,由比较判别法知 收敛.,反之不成立.,例如：,收
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