高等数学13数列的极限课件

教学目的和要求：深刻理解数列极限的定义，掌握数列极限的性质，深刻理解x无限增大时函数极限的定义。 知识点：数列极限的定义，数列极限的性质，x无限增大时函数极限的定义。 重点：两个定义及数列极限的性质 难点：x无限增大时函数极限的定义 教学方式：多媒体，讲授 教学思路：通过数列的实例的变化趋势引入数列极限的定义，着重解释如何用精确的数学语言来表达对“无限增大”，“无限接近”这些直观的描述，再由数列极限的定义推广到x无限增大时函数的极限.,一、概念的引入 二、数列的定义 三、数列极限的性质,1.3数列的极限,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,播放,刘徽,一、概念的引入,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,2、截丈问题：,“一尺之棰，日截其半，万世不竭”,二、数列的定义,称为一个数列, 记为 xn .,1. 定义,数列中的每一个数称为数列的一项,xn = f (n) 称为数列的通项或一般项,数列也称为序列,所有的奇数项,所有的偶数项,所有奇数项,注意：,1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取,2.数列是整标函数,0,0,1,二、数列的极限,播放,问题:,当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?,问题:,“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.,通过上面演示实验的观察:,预先任意给定一个正数 0, 不论它的值多么小,当 n 无限增大时, 数列 xn 总会从某一项开始,以后的所有项,都落在 U(1, ) 中.,（在 U(1, ) 外面只有有限项）,一般地, 如果数列xn 当 n 时,列xn 当 n 时以 a 为极限, 记为,xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数,此时, 也称数列是收敛的.,若 xn 当 n 时没有极限, 则称 xn 发散.,若,此时, 也称数列 xn 是收敛的.,极限描述的是变量的变化趋势,数列的项不一定取到它的极限值.,数列极限的定义：,注意：,几何解释:,其中,因此：数列的收敛性及其极限与它前面的有限项无关， 改变数列的前有限项，不改变其收敛性和极限,数列极限的定义未给出求极限的方法.,证,所以,注意：,证,所以,说明:常数列的极限等于同一常数.,小结:,用定义证数列极限存在时,关键是任意给定 寻找N,但不必要求最小的N.,证,作为公式用,(P36-6),证,1.-N语言证明,(关键:技巧是适当地放大不等式),说明: -N语言的应用有以下两个方面:,练习P36-3及作业的填空题（练的选取）,2.用“-N”语言, 由一个已知极限存在的数列, 证明另一个数列的极限.,方法: 对已知极限存在的数列应用“-N”语言, 再从中变形成所要证明的数列极限的“-N”语言形式.(如例4),练习P36-5，6，7，8,三、数列极限的性质,1.有界性,例如,有界,无界,定理1 收敛的数列必定有界.,证,由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件,但不是充分条件.,推论 无界数列必定发散.,该定理的逆命题不真, 即有界数列不一定收敛. 例如, (1) n .,2.唯一性,定理2,想想, 如何证明它？,若数列 xn 收敛, 则其极限值必唯一.,设数列 xn 收敛, 但其极限不唯一, 不妨设有：,证,运用反证法,任意性,常数,由 的任意性, 上式矛盾, 故 a = b .,3. 唯一性定理的推论,充分必要条件,子数列的概念,在数列 xn: x1 , x2 , , xn , 中, 保持各项原来的先后次序不变, 自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列, 称为原数列的一个子数列, 记为,唯一性定理的推论往往用来证明或判断数列极限不存在,解,取子数列：,解,利用函数的周期性, 在 xn 中取两个子数列:,四.小结,数列:研究其变化规律;,数列极限:极限思想,精确定义,几何意义;,收敛数列的性质:有界性、唯一性.,重点： -N语言应用,思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有 成立,思考题解答,（等价）,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用“适当放大” 的值,从而 时，,仅有 成立，,但不是 的充分条件,反而缩小为,由均值不等式,或用后面讲的夹逼准则证明,练 习 题,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,1、割圆术：,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆术：,刘徽,一、概念的引入,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,1、割圆