《调性,极值,最值》PPT课件.ppt

第三节,单调性、极值和最值,第四章,利用导数作工具， 研究函数性质,定理：设函数y=f(x) 在区间（a, b）内可导， 则该函数在区间（a, b）内单调增加（单调减少） 的充要条件是：,3.1函数的单调性,单调性(严格),称,为 (a,b) 上的,称,为 (a,b)上的,单调增函数 ;,单调减函数 .,例如:,利用驻点将函数的定义域分开,在分开的区间上研究函数的单调性,给出函数的单调减少区间(单调递减区间),给出函数的单调增加区间(单调递增区间),此处指的单调区间都是开区间,函数单调性的判定法,若,推论. 设函数,则 在 (a,b) 内单调递增,(递减) .,证: 无妨设,任取,由拉格朗日中值定理得,故,这说明 在 I 内单调递增.,在开区间 (a,b) 内可导,证毕,导数的符号的几何意义,导数为正,函数曲线上升,导数为零,函数曲线不升不降,导数为负,函数曲线下降,如何求函数的单调区间?,1. 求导, 并求函数的驻点,2. 在驻点分开的区间上判别导数的符号,例1 求函数,的单调区间,解：函数 的定义域是,由,由得驻点,当,当,所以函数 的单调减少区间是,单调增加区间是,2.函数的极值,函数可导,x0是极值的必要条件是,下面研究x0是极值的充分条件,当所有判别方法失效的时候,记得用定义,如何从可疑点中找到极值点?,判别法则I (极值第一充分条件),画图看,需要驻点附近有 一阶导数,定理 1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,点击图中任意处动画播放暂停,弱化版本,例2 求函数：,的极值点和极值,解：由,得驻点,是极小值点，,其极小值为,不是极值点.,例. 求函数,的极值 .,解:,1) 求导数,2) 求极值可疑点,令,得,令,得,3) 列表判别,是极大值点，,其极大值为,是极小值点，,其极小值为,判别法则II (极值第二充分条件),则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,改用判别法I,水桶能不能盛水,苦脸,笑脸,需要驻点处二阶可导,例3 求函数：,的极值点和极值,解：由,根据判别法则可知，,是函数的极大点，极大值为,得驻点,由,得,是函数的极小点，极小值为,例2. 求函数,的极值 .,解: 1) 求导数,2) 求驻点,令,得驻点,3) 判别,因,故 为极小值 ;,又,故需用第一判别法判别.,判别法I,需要在驻点附近一阶 可导,两种判别法的比较,判别驻点两侧的一阶导数的符号;,判别法II,需要在驻点处二阶 可导,判别驻点处的二阶导数的符号;,则m和M分别称为函数 的最小值和最大值。,3.3函数的最大值和最小值,x1称为最小值点,x2称为最大值点,最大值与最小值问题,则其最值只能,在极值点或端点或不可导的点处达到 .,求函数最值的方法:,(1) 求 在 内的极值可疑点,(2) 最大值,最小值,在应用题中,1. 闭区间上的函数,分析同上.,2. 开区间上的函数,第一步: 先求唯一的驻点, 判别是极大值还是极小值?,唯一的极值就是所求的最大值或最小值.,通常遇到的是只有一个极值点的可导函数,第二步: 所求的极值点, 就是极大值点或极小值点,例4,小学生接受新概念时接受能力函数为：,问t为何值时学生学习兴趣激增或减退？,何时学习兴趣最大？,解：,由,得唯一驻点,可见第13分钟时小学生兴趣最大。,要用铁皮做