考研必备概率统计难点精讲.pps

2012考研必备,You stupid cunt ! cunnilingus penis vagina 内部使用,极 限 定 理,二、依概率收敛,一、契比雪夫不等式（复习）,三、大数定律,四、中心极限定理,五、极限定理的初步应用,设随机变量X具有均值E(X)= ,方差D(X)=2 则对 0 ,有不等式,二、依概率收敛,随机变量序列Xn, a为常数，对任意正数，有,一、契比雪夫不等式（复习）,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,.,两个问题：, 若X1,X2,Xn为随机变量，随着 n + , 的 分布将会如何？, 这里所谓的“极限”,就是前面讲以概率收敛的意思，即考察是否存在常数a，使, 这两个问题一个是概率的极限问题，一个是分布的极限问题，相应的一系列结论分别被称为“大数定律”、“中心极限定理”，统称极限定理。, 若X1,X2,Xn为随机变量，而 Yn= ,那么随着 n + , Yn的极限如何？,贝努利试验的描述： 在每次试验中,P(A)=p; 各次试验相互独立。,1、问题的引出,在n次独立重复试验中，事件A发生的频率是否逐渐稳定于A的概率p？,分析：,nA表示n次试验中A发生的次数，,则为n次试验中A发生的频率，即 fn(A).,实际上，若记Xi为A在第i次试验中发生的次数,则有,三、大数定律,fn (A)的极限行为的讨论：,nA是随机变量！ 且 nAB(n,p),进而 EnA=np, DnA=np(1-p) ;,也是随机变量，分布未知,但,可见，n 时，D(fn(A) 0, 而E(fn(A)不变；,注意到： D(X)=0 PX=C=1.,故有 n 时，P(fn(A)=常数p) 1 ；,或说：当n 充分大时，fn(A)与常数p有较大偏差的概率很小；,由契比雪夫不等式：P|X-| 2/2，得,由此得 当 n充分大时，fn(A) p； p很小时，fn (A)也很小。,fn(A) p 的证明 ：,依概率,2、契比雪夫(大数定律)定理,设Xn为相互独立的随机变量序列，E(Xi)存在,D(Xi)M，(i=1，2， 则对 0，有,证:,另一方面,所以,契比雪夫(大数定律)定理的特殊情况,实际意义,如何测定某厂生产的灯泡的平均寿命？,独立地抽取n(n=1000,n=2000,n=5000等）只灯泡测量其 寿命，得一系列实数值：,抽取的数量越大精度越高,3、贝努利大数定理,在n次独立重复试验中，事件A发生了n A次，且P(A)=p, 则对任意正数有：,意义,频率稳定性的严格数学表达,注：,辛钦定理 设X1,X2,Xn为独立、同分布的随机变量，且有相同的数学期望E（Xi）= （i=1,2,）， 则对0，有, 此外还有若干其它的大数定律，如马尔可夫大数定律等。, 强大数定律（关于fnp的另一种提法）：, 契比雪夫大数定律还有其它“特例”。如辛钦定理。, 贝努利大数定律乃契比雪夫大数定律之特例。,四、中心极限定理,1、独立同分布中心极限定理,设X1,X2,Xn,独立同分布，E（Xn）=，D（Xn）= 20，则,标准正态分布 的分布函数,解释,为一个随机变量,将,标准化得,设Yn的分布函数为Fn(x),N(0，1),证明从略,无论各R.v.Xn 的分布为何,都有(当n时), N(0, 1),意义：,进而,注意条件：独立同分布,德莫佛拉普拉斯定理 设ZnB(n,p)，n=1,2,.，则对任意实数 x 有,2、德莫佛拉普拉斯定理,解释,独立同分布中心极限定理的特殊情况。,设Xi为A在第i次试验中发生的次数,则有,说明：由此定理得：若 XB（n，p），则当n很大时有,（2）对任意区间a，b有,（1）对任意实数x，有,？,？,近似地,还记得泊松定理 是怎么说得吗？,泊松定理： X （）(近似地),3、几点说明, 若Xn不同分布，但相互独立，则在一定条件下 仍有, Xn服从中心极限定理,正是依据中心极限定理，才反映出正态分布在实际中的广泛适应性。,五、极限定理的初步应用,若XB(n,p),则n 很大时,近似有,若R.v.序列Xn独立同分布,且E(Xn)=,D(Xn)=2，(n=1,2,), 则近似有,进而可求Paa等等。,归纳前面所述，有,N(0, 1),例1 一加法器同时收到20个噪声电压Vi（i=1,2,20）, 设它们是相互独立的随机变量，且都服从（0，1）上的均匀分布。记V= ，求PV105的近似值。,分析：,1、Vi是独立同分布的，且分布已知，= ？,2= ？ ；,2、要求 PV105，但只是近似值；,利用中心极限定理恰好可以得知,的近似分布，,进而,N(0, 1),详解略。,例2 每次射击命中目标的炮弹数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次射击中,有180发到220发炮弹击中目标的概率。,分析：,1、每次射击中所发射的炮弹数Ni是未知的，,2、若记Y为100次射击中击中目标的炮弹数，则,因而每次击中目标的炮弹数Xi的分布也未知，但 i= 2,i=1.5；,是同分布吗？,而要求的是 P180Y220；,你准备怎么做？,解：依题意，各次射击命中目标的次数Xi,I=1,2,100,是独立、同分布的，且EXi=2,Xi=1.5；而100次射击中击中目标的次数 由同分布中心极限定理知，近似地有, P180Y220,= P-4/3Z4/3= (4/3)-(-4/3)= ,例3：设随机变量X1,X2Xn独立同分布，已知,问当n充分大时，随机变量,服从什么分布，指出分布参数。