《空间解析几何》PPT课件.ppt

,77 平面及其方程,一、平面的点法式方程,二、平面的一般方程,三、两平面的夹角,法线向量、,平面的点法式方程,特殊的平面、,平面的一般方程、,截距式方程,两平面的夹角、,两平面夹角的余弦,两平面平行与垂直的条件,点到平面的距离公式,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就叫做该平面的法线向量,唯一确定平面的条件：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个,一、平面的点法式方程,法线向量：,唯一确定平面的条件：,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个,一、平面的点法式方程,唯一确定平面的条件：,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个,唯一确定平面的条件：,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定,法向量 A，B，C的平面只有一个,过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个,唯一确定平面的条件：,一、平面的点法式方程,法线向量：,如果一非零向量垂直于一平面，,这向量就电做该平面的法线向量,过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)并有确定,法向量 A，B，C的平面只有一个,过一定点M 0(x 0，y 0，z 0)的平面 有无穷个,平面方程的建立：,设M (x，y，z) 是平面上的任一点,必与平面的法线向量 n 垂直，,设M 0(x 0，y 0，z 0)为平面上一点，,nA，B，C,法线向量,为平面的,即它们的数量积等于零：,由于,nA，B，C，,所以 A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0,这就是平面的方程,此方程叫做平面的点法式方程,即 x2y3z80,例1 求过点(2，3，0)且以,n1，2，3为法线向量的平,面的方程,解,根据平面的点法式方程，,得所求平面的方程为,(x2)2(y3)3z0，,解 先求出这平面的法线向量 n ,例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3) 的平面的方程,可取,根据平面的点法式方程，得所求平面的方程为 14(x2)9(y1)(z4)0， 即 14x9yz150,14i9jk，,解 先求出这平面的法线向量 n ,例2 求过三点M 1(2，1，4)、M 2(1，3，2)和M 3(0，2，3) 的平面的方程,可取,二、平面的一般方程,所以任一三元一次方程A xB yC zD0的图形总是一个平面,任一平面都可以用它上面的一点(x0，y0，z0 )及它的法线向量,方程的一组数x0，y0，z0，即A x0 B y0C z0D0,反过来，设有三元一次方程A xB yC zD0,任取满足该,由于方程A xB yC zD0与方程A(xx0)B(yy0)C(zz0)0同解，,nA，B，C 来确定，,平面的点法式方程是三元一次方程,A(xx 0)B(yy 0)C(zz 0)0,则有A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，,这是平面的点法式方程,方程A xB yC zD0称为平面的一般方程,考察下列特殊的平面，指出法线向量与坐标面、坐标轴的关 系，平面与坐标面、坐标轴的关系，平面通过的特殊点或线,例如，,方程3x4yz90表示一个平面，,n3，4，1,是这平面的一个法线向量,讨论：,D=0：A xB yC z0 A=0：B yC zD0 B=0：A xC zD0 C=0：A xB y D0 A=B=0：C zD0 B=C=0：A xD0 A=C=0：B y D0,将其代入所设方程并除以B(B 0)，便得所求的平面方程为 y3z0,例3 求通过 x 轴和点(4，3，1)的平面的方程,解 由于平面通过 x 轴，从而它的法线向量垂直于 x 轴，,于是法线向量在 x 轴上的投影为零，即A0,又由于平面通过x轴，它必通过原点，于是D0,因此可设这平面的方程为 ByCz0,又因为这平面通过点(4，3，1)，所以有 3BC0， 或 C3B,例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、,R(0, 0, c)三点，,求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0),解 设所求平面的方程为 A x B yC zD0,因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、 Q、R的坐标都满足所设方程；即有,解得,将其代入所设方程并除以D(D0)，便得所求的平面方程为,此方程称为截距式方程,例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、,R(0, 0, c)三点，,求这平面的方程(其中a 0，b 0，c 0),三、两平面的夹角,两平面的夹角：,两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的平角,)q,来确定,设平面 1和 2的法线向量分别为,n1A 1，B 1，C 1，,n2A 2，B 2，C 2,那么平面 1和 2的夹角 应是(n1, n2)和(-n1, n2)=p-(n1, n2),两者中的锐角，,因此，cos |cos (n1, n2)|,按两向量夹角余弦的坐标表示式，平面 1和 2的夹角 可由,cos ,从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： 平面 1和 2垂直相当于A 1A 2B 1B 2C 1C 20； 平面 1和 2平行或重合相当于,例5 求两平面xy2z60和2xyz50的夹角,解,n1A 1，B 1，C 1 1，1，2，,n2A 2，B 2，C 22，1，1，,cos ,例6 一平面通过两点M 1(1，1，1)和M 2(0，1，1)且垂直于,平面xyz0，求它的方程,解 设所求平面的法线向量为,nA，B，C,1，0，2,已知平面的法线向量为,所以可取,2 i j k ，,从而所求平面方程为2(x1)(y1)(z1)0，即2xyz0,n11，1，1,由已知条件，有n ， n n1 ,n= n1,设P 0(x 0，y 0，z 0)是平面A x B yC zD0外一点，求P 0 到 这平面的距离,点到平面的距离：,在平面上任取一点P 1(x 1，y