《傅里叶教程》PPT课件.ppt

1,第三章 傅里叶变换,本章提要 傅里叶级数和傅里叶级数的性质 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 卷积和卷积定理 抽样信号的傅里叶变换和抽样定理 相关、能量谱和功率谱*,2,傅里叶生平,1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论” 一书中,3,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示” 傅里叶的第二个主要论点,4,3.1 变换域分析,频域分析：傅里叶变换，自变量为 j 复频域分析：拉氏变换, 自变量为 S = +j Z域分析：Z 变换，自变量为z,5,3.2 周期信号的频谱分析,周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数： . 三角函数式的 傅立里叶级数 cosn1t, sinn1t . 复指数函数式的傅里叶级数 e j n 1t ,6,一、三角函数的傅里叶级数:,直流 分量,基波分量 n =1,谐波分量 n1,7,直流系数,余弦分量 系数,正弦分量 系数,8,狄利赫利条件：,在一个周期内只有有限个间断点； 在一个周期内有有限个极值点； 在一个周期内函数绝对可积，即 一般周期信号都满足这些条件.,9,三角函数是正交函数,10,周期信号的另一种 三角函数正交集表示,11,比较几种系数的关系,12,周期函数的频谱：,周期信号的谱线只出现在基波频率的整数倍的频率处。直观看出：各分量的大小，各分量的频移， Cn,13,二、周期函数的复指数级数,由前知 由欧拉公式 其中,引入了负频率,14,周期复指数信号的频谱图,15,指数形式的傅里叶级数的系数,两种傅氏级数的系数间的关系,16,两种傅氏级数的系数间的关系,17,周期复指数信号的频谱图的特点,引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导； Cn 是实函数，Fn 一般是复函数， 当 Fn 是实函数时，可用Fn 的正 负表示0和相位， 幅度谱和相 位谱合一；,18,三、周期信号的功率特性,P为周期信号的平均功率 符合帕斯瓦尔定理,19,四、对称信号的傅里叶级数,三种对称： 偶函数 ：f (t )=f (-t) 奇函数 ：f (t )= - f (-t) 奇谐函数 ：半周期对称 任意周期函数有： 偶函数项 奇函数项,20,周期偶函数只含直流和,其中a是实数 bn=0 Fn是实数,21,例:周期三角函数是偶函数,22,周期奇函数只含正弦项,Fn为虚数,23,例:周期锯齿波是奇函数,24,奇谐函数 ：,沿时间轴移半个周期； 反转； 波形不变； 半周期对称,25,奇谐函数 的波形：,f(t),26,奇谐函数的傅氏级数,奇谐函数的偶次谐波的系数为0,27,例：利用傅立叶级数的对称性判断所含有的频率分量,周期偶函数，奇谐函数，只含基波和奇次谐波的余弦分量,周期奇函数，奇谐函数，只含基波和奇次次谐波的正弦分量,28,含有直流分量和正弦分量,只含有正弦分量,含有直流分量和余弦分量,29,五、傅里叶有限级数,如果完全逼近，则 n= ; 实际中，n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 n ，则 其均方误差愈小 若用2N1项逼近，则,30,误差函数和均方误差,误差函数 均方误差,31,例如: 对称方波, 是偶函数且奇谐函数,只有奇次谐波的余弦项。,32,对称方波有限项的傅里叶级数,N=1 N=2 N=3,33,有限项的N越大，误差越小例如: N=11,34,由以上可见：,N越大，越接近方波 快变信号，高频分量，主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量，主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真 有吉伯斯现象发生,35,第三章作业（1）,3-4，3-5，3-10,36,3.3 典型周期信号的频谱,周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波脉冲信号 周期全波脉冲信号,37,一、周期矩形脉冲信号的频谱,38,39,x(t),Fn,t,0,0,E,T,-T,40,频谱分析表明,离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。 各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。 各谱线的幅度按 包络线变化。过 零点为： 主要能量在第一过零点内。主带宽度为：,41,周期矩形的频谱变化规律：,若T不变，在改变的情况 若不变，在改变T时的情况,42,对称方波是周期矩形的特例,实偶函数,周期矩形 奇谐函数,对称方波 奇次余弦,43,对称方波的频谱变化规律,奇次谐波,44,傅立叶级数,傅立叶级数 的系数,T1 信号的周期,脉宽,基波频率1,傅立叶级数小结,45,第三章作业（2）,3-8，3-9,46,3.4 非周期信号的频谱分析,当周期信号的周期T1无限大时,就演变成了非周期信号的单脉冲信号,频率也变成连续变量,47,频谱演变的定性观察,-T/2,T/2,T/2,-T/2,48,从周期信号FS推导非周期的FT,傅立叶 变换,49,傅立叶的逆变换,傅立叶 逆变换,50,三.从物理意义来讨论FT,(a) F()是一个密度函数的概念 (b) F()是一个连续谱 (c) F()包含了从零到无限高 频的所有频率分量 (d) 各频率分量的频率不成谐波 关系,51,傅立叶变换一般为复数,FT一般为复函数,若f(t)为实数，则幅频为偶函数,相频为奇函数,52,傅立叶变换存在的充分条件,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅立叶变换,53,3.4 典型非周期信号的频谱,单边指数信号 双边指数信号 矩形脉冲信号 符号函数 冲激函数信号 冲激偶函数信号 阶跃函数信号,54,单边指数信号,信号表达式 幅频 相频,55,f(t),t,0,0,0,56,双边指数信号,f(t),0,t,0,57,矩形脉冲信号,58,t,0,59,符号函数,60,f1(t),1,0,t,a,-a 0,t,Sgn(t),+1,-1,61,3.5 冲激函数傅立叶变换对,1,t,0,1,0,t,0,0,62,冲激偶的傅立叶变换,63,3.6 阶跃信号的傅立叶变换,u(t),0,t,0,64,作业,3-15，3-16,65,3.7 傅立叶变换的基本性质,对称性和叠加性 奇偶虚实性 尺度变换特性 时移特性和频移特性 微分和积分特性 卷积定理 Paseval定理,66,一、对称性,若已知 则,证明：,67,1,0,0,0,0,68,若f(t)为偶函数，则时域和频域完全对称 直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子,69,FT,对称性,t 换成,f 换成,换成,70,二、线性（叠加性）,若 则,71,求：,的傅立叶变换,72,三、 奇偶虚实性,无论f(t)是实函数还是复函数，下面两式均成立,时域反摺 频域也反摺,时域共轭 频域共轭 并且反摺,73,一、f(t)是实函数,偶函数,奇函数,实函数的傅立叶变换的幅度谱为偶函数， 而相位谱为奇函数,74,二、f(t) = jg(t)是虚函数,虚函数的傅立叶变换的幅度谱仍为偶函数 相位谱仍为奇函数,偶函数,奇函数,75,实偶函数的傅立叶变换仍为实偶函数,f(t),0,t,0,76,实奇函数的傅立叶变换则为虚奇函数,f(t),0,77,四、尺度变换特性,若 则,78,时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩）,f(t/2),压缩,扩展,79,等效脉宽与等效频带宽度,等效带宽,等效脉宽,80,求下列时域函数的频谱的带宽,时移不影响带宽,时域重复影响福频高度 不影响频谱带宽,81,五、时移特性,若 则 证明：,82,带有尺度变换的时移特性,若a 0,则有绝对值,83,例：求三脉冲信号的频谱,单矩形脉冲 的频谱为 有如下三脉冲信号 其频谱为,84,85,六、频移特性,若 则 证明 同理,86,调幅信号的频谱（载波技术）,求：,的频谱？,87,载波频率,88,频移特性,89,调幅信号都可看成乘积信号,矩形调幅 指数衰减振荡 三角调幅,求它们的频谱= ？（略）,90,七、微分特性,若 则,91,三角脉冲,92,三角脉冲 的频谱,方法一：代入定义计算（如前面所述） 方法二：利用二阶导数的FT,FT,93,八、积分特性（一）,若 则,94,八、积分特性（二）,若 则,95,积分特性的证明,令 两边求导 FT 微分特性 FT 积分特性,96,斜平信号 的频谱,看成高 ，宽 的矩形脉冲 的积分,F(0)不为0,97,FT,0,FT,FT,98,用FT积分特性求阶跃的FT,99,第三章作业（3） 3-22，3-28,100,3.8 时域 卷积定理,若 则,101,例：求三角脉冲的频谱,三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积,卷,乘,102,卷,乘,103,3.8 频域 卷积定理,若 则,104,例：求余弦脉冲的频谱,相乘,卷积,105,乘,FT,FT,卷,106,卷积,利用卷积证明,107,求图中所示的三角调幅波信号的频谱,三角波,108,109,作业题,3-33，3-34,110,思考？,（1）有多少种求单三角脉冲的傅立叶变换的方法？请论证。 （2）使用傅立叶变换的基本性质求下列函数的傅立叶变换，并小结一下奇虚函数的傅立叶变换的特点，如为实偶函数的傅立叶变换又怎样？ 已知： 求：,111,3.9 周期信号的傅立叶变换,一般周期信号的傅立叶变换 傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系 正余弦信号的傅立叶变换FT 周期单位冲激序列的FS和 FT 周期矩形脉冲的FS和FT 周期矩形脉冲与单矩形脉冲的关系,112,一、一般周期信号的傅立叶变换,由一些冲激组成离散频谱 位于信号的谐频处 大小不是有限值，而是无穷小频带内有无穷大的频谱值,113,周期信号的傅立叶变换存在条件,周期信号不满足绝对可积条件 引入冲激信号后，冲激的积分是有意义的 在以上意义下，周期信号的傅立叶变换是存在的 周期信号的频谱是离散的，其频谱密度， 即傅立叶变换是一系列冲激,114,二、傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系,115,二、傅立叶级数FS与其单脉冲的傅立叶变换FT的关系,由FS 取f(t)的一个周期 ，其FT为 所以,116,三、正余弦信号的傅立叶变换 用频移特性,117,118,三、正余弦信号的傅立叶变换 用极限方法,有限长余弦 看成矩形 乘 有限长余弦求极限，得到无限长余