概率论与数理统计第七章(1).ppt

ch7-1,1,第七章,参数估计,ch7-1,2,参数估 计问题,假设检 验问题,点 估 计,区间估 计,ch7-1,3,什么是参数估计？,参数是刻画总体某方面概率特性的数量.,参数估计就是:当某个参数未知时,从总体抽出一个样本，用某种方法对这个未知参数进行的估计.,例如，X N ( , 2),若, 2未知, 通过构造样本的函数, 给出 它们的估计值或取值范围就是参数估计 的内容.,ch7-1,4,参数估计的类型,点估计 估计未知参数的值,区间估计 估计未知参数的取值范围， 并使此范围包含未知参数 真值的概率为给定的值.,ch7-1,5,1 点估计方法,点估计的思想方法: 设总体X 的分布函数F(x)的形式已知, 但其中含有一个或多个未知参数：1,2, ,k,设 X1, X2, Xn为总体的一个样本,构造与未知参数1,2, ,k有关的k 个统计量：,随机变量,ch7-1,6,当测得样本值(x1, x2, xn)时,代入上述统计量，即可得到 k 个数：,数 值,如何构造统计量？,如何评价估计量的好坏？,对应统计量,ch7-1,7,点估计的常用方法,ch7-1,8,方法,用样本 k 阶矩作为总体的 k 阶矩的估计量, 建立含有待估参数的方程, 从而解出待估参数,矩估计法,ch7-1,9,设有k个待估计的参数为,设总体的前 k 阶矩存在，记为,样本 X1, X2, Xn 的 r 阶矩为,令, 含未知参数 1,2, ,k 的方程组,r =1,2,k,ch7-1,10,解方程组 , 得 k 个统计量：,未知参数 1, ,k 的矩估计量,代入一组样本值得 k 个数:,未知参数 1, ,k 的矩估计值,ch7-1,11,事实上，当X为连续的，设其概率密度为f (x; 1, 2, k )，则有,若X为离散的，设其分布律PX=xj=p (xj; 1, 2, k)，j=1,2,.则有,而样本矩为：,建立方程组：r=Ar, r=1,2,k，求解，得到 r 即为r的矩估计值。,ch7-1,12,例1 设总体X的概率密度为：,其中1是未知参数,（X1, X2,Xn）是取自X的样本,求参数的矩估计.,解:待估的未知参数只有一个，只须计算总体的一阶原点矩，即X的数学期望：,从中解得：,用,代替上式中的1,即得的矩估计：,ch7-1,13,例2 设总体 X U (a, b), a, b 未知, X1, X2, Xn为总体的样本,求参数 a, b 的 矩法估计量.,解 总体矩：,令,ch7-1,14,解得,ch7-1,15,例3 设总体 X N ( , 2 ), X1, X2, Xn为 总体的样本, 求 , 2 的矩法估计量.,解,总体矩：,令,样本矩：,得,解得,ch7-1,16,例4 设总体X服从参数为的指数分布，即 X E(), X1, X2, Xn为总体的样本, 求 的矩法估计量.,解,令,故,ch7-1,17,例6 设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机 抽取10只灯泡，测得其寿命为(单位:小时) 1050, 1100, 1080, 1120, 1200 1250, 1040, 1130, 1300, 1200 试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均 寿命及寿命分布的方差.,解,ch7-1,18,一般, 不论总体服从什么分布, 若总体期望 与方差 2 存在, 则它们的矩估计量分别为,ch7-1,19,事实上，按矩法原理，令,ch7-1,20,极大似然估计法,思想方法：一次试验就出现的事件有较大的概率,例如: 有两外形相同的箱子,各装100个球 一箱 99个白球 1 个红球 一箱 1 个白球 99个红球,现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球, 结果所取得的球是白球.,答: 第一箱.,问: 所取的球来自哪一箱？,ch7-1,21,设离散总体X的分布律P X=x; 的形式已知，是待估的未知参数, .又设( X1,X2,Xn)是取自总体X的一个样本，(x1,x2,xn)是样本的一组观测值. 记pi()=PXi=xi; ,i=1,2,n,那么这组样本观测值出现的概率为：,取不同值时，这个概率一般是不相同的，即这组样本观测值（x1,x2,xn）出现的可能性大小是随着的不同而变化的，L()是参数的函数.我们知道，如果在一次观察中某个事件A出现了，那么可认为事件A出现的可能性（概率）比较大.现在事件X1=x1,X2=x2,Xn=xn在一次观察中出现了,那么由(*)式表示的这个事件的概率应该比较大.,(*),ch7-1,22,定义7.1.1 设总体X为连续随机变量，其概率密度为f(x; )；或X为离散随机变量，其分布律为PX=x; , ，(x1,x2,xn)是来自总体X的一组样本观测值.当X为连续的，记,当X为离散的，记,称L()为似然函数.,若存在的估计 ， 使,则称 是的最大似然估计，简记为MLE,ch7-1,23,极大似然估计方法,1） 写出似然函数 L,ch7-1,24,可得未知参数的极大似然估计值,然后, 再求得极大似然估计量.,若L是 1,2, k的可微函数,解似然方程组,L()与ln L()在同一处取到最大值，因此求的最大似然估计也常常使用对数求导的方法解决。即令,ch7-1,25,例 设总体X服从参数为p的0-1分布，求p的最大似然估计. 解:设（x1,x2,xn）是样本( X1,X2,Xn)的一组观测值.由 0-1分布的分布律：,可得似然函数为,对数似然函数为,对上式关于p求导并令其为0:,ch7-1,26,解得,此 即为 p 的最大似然估计值 ，p 的最大似然估计量为,ch7-1,27,例2 设总体X的概率密度为：,其中1是未知参数,（X1, X2,Xn）是取自X的样本,求参数的最大似然估计.,解: 似然函数,令,解得,ch7-1,28,例 设总体 X N (, 2), x1, x2, xn 是 X 的样本值, 求 , 2 的极大似然估计.,解,ch7-1,29, 2 的极大似然估计量分别为,似然 方程 组为,ch7-1,30,极大似然估计的不变性,设 是 的极大似然估计值, u u( ),( )是 的函数, 且有单值反函数, = (u), uU 则 是 u( ) 的极大似然估计值.,极大似然估计的不变性,ch7-1,31,如 在正态总体N (, 2)中, 2的极大似然估计值为,是 2的单值函数, 且具有单值反函数，,故 的极大似然估计值为,lg 的极大似然估计值为,ch7-1,32,2 点估计的评价标准,对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题,常用 标准,(1) 无偏性,(3) 相合性,(2) 有效性,ch7-1,33,则称,是 的无偏估计量.,定义,我们不可能要求每一次由样本得到的估计值与真值都相等，但可以要求这些估计值的期望与真值相等.,定义的合理性,存在，且,ch7-1,34,例 设总体 X 的期望 与方差2存在, X 的,样本为 (n 1) .,(1) 是 的无偏估计量;,(2) 是 2的无偏估计量.,证明,(3) 不是 2 的无偏估计量;,ch7-1,35,证,（1）因为,所以 是 的无偏估量;,ch7-1,36,(2),所以S2是 D( X )的无偏估量.,ch7-1,37,由于,证毕.,ch7-1,38,都是总体参数 的无偏估计量, 且,则称 比 更有效.,定义,设,有效性,ch7-1,39,例 设总体X的数学期望E(X)=, 方差 Var(X)= 2，(X1,X2,Xn）（n1）是来自总体X的样本.考查 的以下几个点估计量得有效性,ch7-1,40,ch7-1,41,比,都有效.,ch7-1,42,所以,比,更有效.,是 的无偏估计量,问哪个估计量更有效？,由例3可知, 与 都,为常数,例 设总体 X 的密度函数为,解 ，,ch7-1,43,定义 设 是总体参数,则称,是总体参数 的相合 (或一致)估计量.,的估计量. 若对于任意的 , 当n 时,相合性,依概率收敛于 , 即,相合性估计量仅在样本容量n 足够大时,才显示其优越性.,ch7-1,44,关于相合性的两个常用结论,1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的相合性估计量.,是 的相合估计量.,由大数定律证明,用切贝雪夫不 等式证明,矩法得到的估计量一般为相合估计量；在一定条件下, 极大似然估计具有相合性。,2. 设 是 的无偏估计 量, 且 , 则,ch7-1,45,作业 P.192 2, 3，4, 5 P.197 2，3,ch7-1,46,练习,设总体XB(8,p)，其中p为未知参数，X1，X2，Xn是来自X的样本。,1）求p的最大似然估计量,2）,是无偏估计量吗？,解 1)因为XB(8, p)，所以PX=x=C8xpx(1-p)8-x,ch7-1,47,ch7-1,48,例6 设总体 X 服从0-1分布,且P (X = 1) = p, X1, X2, Xn为总体的样本用极大似然法求 p 的估计值.,解,总体 X 的概率分布为,设 x1, x2, xn为总体样本X1, X2, Xn的样本值,则,ch7-1,49,对于不同的 p , L (p)不同, 见右下图,现经过一次试验，事件,发生了，,则 p 的取值应使这个事件发生的概率最大,ch7-1,50,在容许范围内选择 p ，使L(p)最大,注意到，ln L(p)是 L 的单调增函数,故若 某个p 使ln L(p)最大, 则这个p 必使L(p)最大。,所以,为所求 p 的估计值.,ch7-1,51,一般, 设 X 为离散型随机变量, 其分布律为,则样本 X1, X2, Xn的概率分布为,或,称 L( ) 为样本的似然函数,ch7-1,52,为参数 的极大似然估计值,称统计量,为参数 的极大似然估计量,称这样得到的,极大似然法的思想,ch7-1,53,若 X 连续, 取 f (xi, )为Xi 的密度函数,似然函数为,注1,注2,未知参数可以不止一个, 如1, k,设X 的密度(或分布)为,则定义似然函数为,ch7-1,54,为似然方程组,若对于某组给定的样本值 x1, x2, xn， 参数 使似然函数取得最大值, 即,则称,为1, k 的极大似然估计值,ch7-1,55,显然，,称统计量,为1, 2, k 的极大似然估计量,ch7-1,56,2基于截尾样本的最大似然估计,ch7-1,57,1. 寿命分布的定义,产品寿命T 是一个随机变量,它的分布称为寿命分布.,2. 完全样本的定义,(一种典型的寿命试验),几个概念,ch7-1,58,如果不能得到完全样本, 就考虑截尾寿命试验.,3. 两种常见的截尾寿命试验,(1) 定时截尾寿命试验,ch7-1,59,(2) 定数截尾寿命试验,ch7-1,60,基于截尾样本的最大似然估计,1. 定数截尾样本的最大似然估计,设产品的寿命分布是指数分布,其概率密度是,设有n个产品投入定数截尾试验, 截尾数为m,得定数截尾样本,ch7-1,61,为了确定似然函数, 观察上述结果出现的概率.,ch7-1,62,上述观察结果出现的概率近似地为,ch7-1,63,取似然函数为,对数似然函数为,ch7-1,64,2. 定时截尾样本的最大似然估计,设定时截尾样本,与上面讨论类似,ch7-1,65,得似然函数为,ch7-1,66,例,设电池的寿命服从指数分布,其概率密度为,随机地取50只电池投入寿命试验, 规定试验进行到其中有15只失效时结束试验, 测得失效时间(小时)为115, 119, 131, 138, 142, 147, 148, 155, 158, 159, 163,