实变函数泛函分析和拓扑学基础以及分形空间

Chapter 3,实变函数、泛函分析和拓扑学 基础以及分形空间,3.1 实变函数、泛函分析和拓扑学基础,在分形几何里，我们关注的是多种多样简单几何空间子集的结构，记这种空间为 ，我们研究和讨论的分形就在这 。 Definition 3.1 空间 是一个集合，空间中的点是该集合的元素。 例3.1 ，每个 “点 ”是实数或直线 轴上的点。 例3.2 ，Euclid平面，一对实数 ， 确定了 中的一个点， 常被写成 。,例3.3 ，取自变量在闭区间 到 的连续函数集，一个“点” 就是函数 ， 也能由图像表示。 例3.4 ，Riemann球， ，其中 为复平面， 的元素为复数。 例3.5 叫作空间 和空间 的Cartesian（笛卡儿）积，若 ，则 ，其中 ， ，比如 。,Def. 3.2 一个度量空间 就是空间 伴随实函数 ，令 ， ，函数 就是衡量 和 的距离， 必须满足如下公理： （1） ， ， ； （2） ， ， ， ； （3） ， ； （4） ， ， ， 。 这样的函数 称为度量。,简言之，集 中定义了某个度量（距离） ，则 称为度量（距离）空间。如果集 中给定了某个拓扑结构（topological structure） ，则 称为拓扑空间（topological space）。前者为后者的特殊情况。所以说，度量空间是一种拓扑空间，其上的拓扑由指定的一个距离决定。,典型的度量有 （1） （Euclid度量，或用Euclid-ean）， ， ； （2） （Euclid度量）， ， ； （3） （Manhattan度量）， ， ；（取名Manhattan可能与纽约市曼哈顿区整齐纵横的街道有关）。 （4）若 ， ，则 为Euclid度量。,分形几何关注于描述、分类、解析和观察度量空间 的子集。度量空间通常具有“简单”的几何特征，但其子集在几何上却是错综复杂的。 Def. 3.6 度量空间 中的一个点系列 称为是Cauchy （柯西）系列（又称基本列），如果对任意给定的 ，存在一个正整数 使得,Def. 3.7 度量空间 中的点系列 称为收敛于 ，如果对任意给定的 ，存在一个正整数 ，使得 记为 Theorem 3.1 如果度量空间 中的一个点系列 收敛于 ，则 是Cauchy序列。,Def. 3.8 如果 中每个Cauchy序列都有极限 ，则度量空间 称为是完备的，记 表示中心在 ，半径为 的开球，则对于收敛序列而言，当 大于某个 后，该球将包含所有的点 （ ）。,例3.6 下面的度量空间都是完备的： （1）（ ，Euclidean）; （2） （ ，Euclidean）; （3） （ ，Spherical）; （4） （ ， ）， 定义为,Theorem 3.2 设 和 是两个等价度量空间，若 是完备的，则 也是完备的。 Def. 3.9 设 是度量空间 的子集，点 称为 的极限点，如果存在点集 的一个序列 使得 。 Def. 3.10 设 是度量空间 的子集， 的闭包定义为 ，如果 包含它所有的极限点，则 是闭的，即 。如果 还等于它所有极限点的集合，则 是完备集。 三分Cantor集就是完备集。 两个集并的闭包等于它们的闭包之并： （此结论不能推广到无穷多个集之并）,Def. 3.11 设 是度量空间 的子集，如果 中的每个无穷序列 都有一个极限在 中的子序列，则 称为紧的。 Def. 3.12 设 是度量空间 的子集，如果存在一个点 和数 ，使 包含在开球 内，则称 是有界集。 收敛点集是有界的。,Def. 3.13（ 网） 设 是度量空间 的子集，如果对每一个 ，都存在一个有限点集 ，使得每当 总有某个 致 ，称 为 的一个 网。 显然 。,Definition 3.14（全有界） 集合 称为是全有界的，如果 ，都存在 一个有穷 网。 Theorem 3.3 设 是完备度量空间， ，则 是紧的当且仅当它是闭的和全有界的。 Definition 3.15 设 是度量空间 的子集，如果对每个 都存在 使得 ， 称 空集。 规定空集也是开集。 一个事实是，如果 是度量空间，则 “ ” 是开的与 “ ”是闭的是同一个意思。,Definition 3.16 设 是 的子集，点 是 的边界点，如果对每一个 ， 都包含有 和 的点，所有 边界点的集合称为 的边界并记之为 。 Definition 3.17 设 是度量空间 的子集，如果存在 ，使得对某个 有 ，则点 称为内点。所有 内点的集合称为 的内部。 显然，定义3.15中的开集 的每一个点都是 的内点。 Definition 3.18 集合 中的元素如果能与全体自然数一一对应，则 是可数集。,3.2 分形空间,Definition 3.19 设 为完备空间，则记 为由 的全体非空紧子集组成的空间，显然， 的元素是 的非空紧子集，即 的非空紧子集是 的一个单点。 分形几何的研究对象是分形集合，所以必须引入点与集合，集合与集合的度量关系。,Definition 3.20 设 为完备度量空间， ，集合 ，定义 称 为点 到集合 的距离。 考虑 为某一个城市， 为另一个省或另一个国家，则 就确定了该城市与那个省或那个国家的距离。,Definition 3.21 设 为完备度量空间，集合 ， ，定义 称 为集合 与集合 的距离。 若 是城市 所在地国家，则 表示了国家 与国家 的距离。 Definition3.22 对于度量空间 的映射 ，如果