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文档简介

最优解的证明最优解的含义：在满足约束条件的情况下，可使目标函数取极（大或小）值的可行解。贪心解是可行解，故只需证明：贪心解可使目标函数取得极值。1）最优解证明思路：l 比较贪心解x与任一最优解yl 若x与y不等，则寻找第一个不同元素的位置，假设为xil 替换最优解y的元素yi为xi，得到新的最优解zl 证明: z与y相比，目标函数值没有变化l 反复以上这种代换，直到新产生的最优解与贪心解x相等，即贪心解即最优解2）定理3.1及其证明定理3.1 如果p1/w1 p2/w2 pn/wn,则算法GREEDY-KNAPSACK对于给定的背包问题实例生成一个最优解。证明：设X=(x1, x2, , xn)是GRDDDY-KNAPSACK所生成的贪心解。 如果x1 = x2 = = xn = 1，则显然为最优解，得证。 否则，则存在Y=(y1, y2, , yn)是背包问题的最优解，且有：= MStep 1 找到X与Y第一个不等的元素所在的位置k，并将yk 替换为 xk12knXx1x2xkxnYy1y2ykynZz1z2zkznxi = yi = zi (i= pk+1/wk+1 = pn/wn) = + wk (zk-yk) (pk/wk) wk+1 (yk+1-zk+1) (pk/wk)+.+wn (yn-zn) (pk/wk) = + (pk/wk)wk (zk-yk) Step3 分析上式：如果能证明zkyk，则yk增加到zk，那么必须从（yk+1，yn）中减去同样多的量，保证总容量仍然是M。从而有wk (zk-yk) =，即wk (zk-yk) =0Step4证明zkyk，即：xkyk由贪心解算法，X的序列形式如下：j是使得xj 1的最小下标，0=xj112j-1jj+1nX1111xj000Y111ykynY21111ykyk+1ynY31111xj0ykynY1、Y2、Y3分别为j和k相对位置不同的三种情况：1) kj；xk=1，xkyk，0=ykyk得证。2) k=j；M=w1x1+wj-1xj-1+wjxjM=w1x1+wj-1xj-1+wjyj+wnyn如果xjM，不成立只有xjyj成立3) kj；则xk=0，yk=0，ykxk，因此，ykxkM=w1x1+wj-1xj-1+wjxjM=w1x1+wj-1xj-1+wjxj+wkyk+wnxn同样M，不成立，因此得证。Ste
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