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质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零晋江一中物理组 庄新恭2013-6-5A1A1A1A2A2A2POr1r2证明如下：如图，质量均匀分布的球壳（绿色部分），在其内部任放一质点P，过P作一条直线A1A2，以这条直线为母线，以很小的为立体角旋转一周得两圆锥。两圆锥截得两块“球皮”A1A1和A2A2，现证明这两块“球皮”对质点P的引力的合力为零。 首先，由于两块“球皮”很小，而且立体角很小（或者说圆锥的顶角很小），所以由图易知，P所受两“球皮”的引力的方向必相反。故只须再证明P所受两“球皮”的引力大小相等。为此设P点所放质点的质量为m，两“球皮”的面积分别为S1和S2，球壳的质量面密度为，两“球皮”到P点的距离分别为r1和r2，由万有引力定律可得P点所放质点m受到的两个引力大小分别为和过P点沿两圆锥轴线作虚线（蓝色）分别交两“球皮”于A1和A2两点，这条直线与两半径的夹角均为（为什么），如图所示。现将S1投影到与直线A1A2垂直的平面上，即投影到图中过A1点且与直线A1A2垂直的平面上。因立体角圆锥顶角很小，所以投影平面面积与球冠面积相等。所以投影得到一球冠，面积为S1cos（为什么？自己想想！）。同样的，将S2投影到过A2点的平面上，得到另一球冠，它的面积为S2cos。根据球冠的面积公式可得与球冠对应（的圆锥的）立体角为。显然，这一立体角与球的半径R、球冠的高度h均无关，仅与圆锥的顶角的一半有关。对比平面弧度角与圆的半径无关，可以更好地加以理解。 万事具备，只欠因为两个圆锥的顶角相等，从而两个立体角相等，从而F1与F2大小相等。这样，我们就证明了两块“球皮”S1和S2对放在P点质点m的引力的合力为零；而整个球壳可分解成这样一对对的“球皮”，每一对“球皮”对放在任意点P的质点的引力的合力均为零；所以，质量均匀分布的球壳对球内任一质点的引力为零！OK呼呼附录：“球冠面积”与“立体角”，将下
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