浙江省2020版高考数学大一轮复习正弦定理和余弦定理夯基提能作业.docx

4.7正弦定理和余弦定理A组基础题组1.在ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a,b,c成等差数列,B=30,ABC 的面积为32,则b=() A.1+32B.1+3C.2+32D.2+3答案B由条件知12acsin B=32,得ac=6,又a+c=2b,则由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac-3ac,即b2=4b2-12-63,解得b1=b2=1+3.2.如图,正三棱锥P-ABC的所有棱长都为4.点D,E,F分别在棱PA,PB,PC上,则满足DE=EF=3,DF=2的DEF的个数是()A.1B.2C.3D.4答案C令PD=x,PE=y,PF=z,则x2+y2-xy=9,y2+z2-zy=9,z2+x2-xz=4,当x=z时,x=z=2,y=1+6,当xz时,有两解.3.(2017浙江镇海中学模拟)在ABC中,BC=2,AC=22,则A的最大值是()A.30B.45C.60D.90 答案B由余弦定理,知cos A=c2+8-42c22=142c+4c22(当且仅当c=2时,取等号),故A的最大值为45,故选B.4.(2017浙江台州调研)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b-3c=2acos C,sin C=32,则ABC的面积为()A.32B.34C.32或34D.3或32答案C由正弦定理知,2sin B-3sin C=2sin Acos C,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以cos A=32,故A=30.因为sin C=32,所以C=60或C=120.当C=60时,B=90,由asinA=csinC,得c=3,故S=12311=32;当C=120时,B=30,此时b=a=1,故S=1211sin 120=34.故选C.5.(2018杭州高三期末)设点P在ABC的BC边所在的直线上从左到右运动,设ABP与ACP的外接圆面积之比为,当点P不与B,C重合时()A.先变小再变大B.当M为线段BC中点时,最大C.先变大再变小D.是一个定值答案D设ABP与ACP的外接圆半径分别为r1,r2,则2r1=ABsinAPB,2r2=ACsinAPC,因为APB+APC=180,所以sinAPB=sinAPC,所以r1r2=ABAC,所以=r12r22=AB2AC2.故选D.6.已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边,其面积满足SABC=14a2,则cb的最大值为()A.2-1B.2C.2+1D.2+2答案C根据题意,有SABC=14a2=12bcsin A,应用余弦定理,可得b2+c2-2bccos A=2bcsin A,令t=cb,于是t2+1-2tcos A=2tsin A.于是2tsin A+2tcos A=t2+1,所以22sinA+4=t+1t,从而t+1t22,解得t的最大值为2+1.7.(2017浙江测试)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a=23,C=3,tan A=34,则sin A=,b=.答案35;4+3解析由tan A=34得sin A=35,cos A=45,由正弦定理,得c=sinCsinAa=5,又sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,b=acos C+ccos A=4+3.8.(2017浙江名校协作体)已知在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S为ABC的面积.若a=4,b=5,C=2A,则c=,S=.答案6;1574解析由题意可知,asinA=bsinB=bsin(-3A)=bsin3A,所以asin 3A=bsin A,即4(3sin A-4sin3A)=5sin A,整理得7=16sin2A,从而cos2A=916,即cos A=34.由正弦定理得,c=sinCsinAa=2cos Aa=6.S=12bcsin A=125674=1574.9.(2018杭州七校高三联考)设ABC的三个内角A、B、C所对的边依次为a、b、c,若ABC的面积为S,且S=a2-(b-c)2,则sinA1-cosA=.答案4解析因为ABC的面积为S,且S=a2-(b-c)2=a2-b2-c2+2bc=12bcsin A,所以由余弦定理可得-2bccos A+2bc=12bcsin A,所以4-4cos A=sin A,所以sinA1-cosA=4-4cosA1-cosA=4.10.(2017浙江稽阳联谊学校联考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知csin A=3acos C,则C=;若c=31,ABC的面积为332,则a+b=.答案3;7解析由正弦定理可得sin Csin A=3sin Acos C,因为sin A0,所以tan C=3,所以C=3.由12absin C=332,得ab=6.又由余弦定理得(31)2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以a+b=7.11.(2017浙江台州质量评估)已知在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=2a,3cos B=2cos A,c=3+1,则ABC的面积为.答案3+12解析由3cos B=2cos A,得3a2+c2-b22ac=2b2+c2-a22bc,又b=2a,c=3+1,所以上式可化简为a2=3-13+1c2=2,所以a=2,b=2.所以cos B=a2+c2-b22ac=22,所以sin B=1-cos2B=22.故ABC的面积S=12acsin B=122(3+1)22=3+12.12.(2017浙江宁波期末)已知ABC的三边分别为a,b,c,且a2+c2=b2+ac,则边b所对的角B为;此时,若b=23,则ABAC的最大值为.答案3;6+43解析由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=12,B=3,由正弦定理得c=bsinCsinB=4sin C.ABAC=bccos A=83sin Ccos A,又C=23-A,ABAC=8332cosA+12sinAcos A=12cos2A+43sin Acos A=6(1+cos 2A)+23sin 2A=6+43sin2A+3.0A23,32A+30,所以sin B=32,因为三角形ABC为锐角三角形,所以B=3.(2)已知b=3,则3=a2+c2-2accos3=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac,所以a+c=23,所以三角形ABC的周长为33.15.已知f(x)=sin x(cos x+sin x)-1,xR.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)在锐角ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知f(A)=0,a=1,求a2+b2+c2的取值范围.解析(1)f(x)=sin xcos x+sin2x-1=12sin 2x+1-cos2x2-1=22sin2x-4-12.令2+2k2x-42k+32(kZ),得38+kxk+78(kZ).故函数f(x)的单调递减区间为38+k,78+k(kZ).(2)由f(A)=0得sin2A-4=22.A0,2,2A-4-4,34,2A-4=4,A=4.易得bc=asinA2sin Bsin C=2sin Bsin C=cos(B-C)-cos(B+C)=cos(B-C)-cos(-A)=22+cos(B-C),又在锐角ABC中,A=4,故B-C-4,4,bc2,1+22,又cos A=b2+c2-a22bc,b2+c2-a2=2bc,a2+b2+c2=2bc+2(4,3+2.B组提升题组1.(2018金华东阳二中高三调研)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若3bcos A=ccos A+acos C,则tan A的值是() A.-22B.-2C.22D.2答案C在ABC中,由余弦定理得ccos A+acos C=cb2+c2-a22bc+aa2+b2-c22ab=b.所以3bcos A=ccos A+acos C=b,两边约去b,得3cos A=1,所以cos A=130,所以A为锐角,且sin A=1-cos2A=223,因此,tan A=sinAcosA=22.2.若满足条件AB=3,C=3的三角形ABC有两个,则边BC的长的取值范围是()A.(1,2)B.(2,3)C.(3,2)D.(2,2)答案C设BC=a,C=3,AB=3,由正弦定理得ABsinC=BCsinA,即332=asinA,sin A=a2.由题意得,当A3,23且A2时,满足条件的ABC有两个,32a21,解得3a2,即BC的取值范围是(3,2).3.(2017浙江镇海中学模拟)在锐角ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且acos B+bcos A=c2,C=3,则a+b的取值范围是()A.1,2B.(1,2 C.3,2 D.(3,2 答案D由正弦定理,知sin Acos B+sin Bcos A=sin Cc,即sin(A+B)=csin C,所以c=1.又asinA=bsinB=csinC,所以a+b=sinAsinC+sinBsinCc=23sinA+sin23-A=2332sinA+32cosA=2sinA+6.因为0A2,023-A2,所以6A2,所以3A+623,所以a+b(3,2,故选D.4.(2017浙江绍兴质量检测)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知A=4,b=6,ABC的面积为3+32,则c=,B=.答案1+3;3解析由三角形的面积公式,知3+32=12622c,所以c=1+3.由正弦定理得,sinCsinB=cb,即sin34-BsinB=cb,所以622cosB+22sinB=(1+3)sin B,所以3cos B=sin B,即tan B=3,所以B=3.5.(2017浙江杭州二模)设a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,且SABC=12c2.若ab=2,则a2+b2+c2的最大值是.答案4解析由SABC=12c2,知12absin C=12c2,所以c2=2sin C;由c2=a2+b2-2abcos C,可知a2+b2=c2+2abcos C=2sin C+22cos C.所以a2+b2+c2=22(sin C+cos C)=4sinC+44,当且仅当C=4时,取等号.故a2+b2+c2的最大值为4.6.已知在ABC中,M,N分别为AC,AB的中点,|AB|AC|=23,当ABC在上述条件下变化时,若|BM|CN|恒成立,则的最小值为.答案78解析设角A,B,C的对边分别为a,b,c,不妨设c=2,b=3,a=x(1x5).易求得|BM|2=a22+c22-b24,从而|BM|=2x2-12.同理,|CN|=2x2+142,2x2-12x2+14(1x5),从而78.7.已知ABC的面积为1,A的平分线交对边BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,kR,则当k=时,边BC的长度最短.答案2105解析由题可设在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则c=2b,AD=kb.由角平分线定理知,SACD=13=12sin A2kb2,又1=12b2bsin A,两式联立,消去b2,得cos A2=34k.又a2=b2+(2b)2-2b2bcos A=b2(5-4cos A)=5-4cosAsinA,所以a2sin A+4cos A=5,利用辅助角公式,知a4+16sin(A+)=5tan=4a2,所以a4+1625,即a23当sinA=35,cosA=45时,取等号,此时cos A2=1+cosA2=31010,故k=43cos A2=2510.8.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=7,b=2,A=60,则sin B=,c=.答案217;3解析本题考查正弦定理、余弦定理.由asinA=bsinB得sin B=basin A=217,由a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).9.(2017杭州四校期中)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos 2A+32=2cos A.(1)求角A的大小;(2)若a=1,求ABC的周长l的取值范围.解析(1)由题意得2cos2A+12=2cos A,即4cos2A-4cos A+1=0,(2cos A-1)2=0,cos A=12.又0A,A=3.(2)根据正弦定理asinA=bsinB=csinC,得b=23sin B,c=23sin C,l=1+b+c=1+23(sin B+sin C),A=3,B+C=23,l=1+23sinB+sin23-B=1+2sinB+6,0B23,6B+656,l(2,3.10.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知c=2,C=3.(1)若ABC的面积等于3,求a,b;(2)若sin C+sin(B-A)=3sin 2A,求ABC的面积.解析(1)在ABC中,由余弦定理及三角形面积公式得4=a2+b2-ab,3=12ab32,即4=a2+b2-ab,ab=4,解得a=b=2.(2)3sin 2A=sin C+sin(B-A)=si