浅析无理型函数值域的几种常规求法讲义.doc

1 浅析无理型函数值域的几种常规求法浅析无理型函数值域的几种常规求法 一观察法观察法:通过对函数定义域及其解析式的分析,从而确定函数值域 例 1.求函数 y=3+值域4 2 x 解:2,函数值域为5,+4 2 x) 二二 单调性法单调性法:如果函数在某个区间上具有单调性,那么在该区间两端点函数取得最值 例2.求函数 y=x-的值域 x21 解:函数的定义域为,函数 y=x 和函数 y=-在上均为单调递增函数, 2 1 ,(x21 2 1 ,( 故 y=, 2 1 21 2 1 2 1 因此,函数 y=x-的值域是(-,x21 2 1 三三 换元法换元法:通过代数换元法或者三角函数换元法,把无理函数转化为代数函数来求函 数值域的方法 例 3.求函数 y=x+的值域 x21 解:定义域为 x ,令 t= (t0),则 x= 2 1 ,(x21 2 1 2 t 于是 y=-(t-1)2+1,由 t0 知函数的值域为-,1 2 1 本题是通过换元将问题转化为求二次函数值域,但是换元后要注意新元的范围 对于形如“”的函数, 此法适用于根号内外自变量的次数相同的ymxnaxb 无理函数,一般令,将原函数转化为 t 的二次函数,当然也适用于“taxb ”的函数ymxnaxb 22 例 4. 求函数的值域yxx23134 解:令,则且,则tx134t 0xt 1 4 13 2 ()ytt 1 2 7 2 2 1 2 1 2 ()t 当,即时,当时,故函数值域为4t 1x 3ymax 4t y (，4 2 另外对于根号下的是 2 次的,我们同样可以处理: 例 5.求函数 y=x+的值域 2 1x 解:1-x20,-1x1,设 x=cos,0, 则 y=cos+sin=sin(+),2 4 0,+,sin(+)-,1, 4 4 4 5 4 2 2 sin(+)-1,函数 y=x+的值域为-1,2 4 2 2 1x2 其次如果有两个根号的话,我们也可以处理: 例 6. 求函数的值域yxx836 解:由,得 360 80 x x 28x 令且,x 102 2 sin ,0 2 则y 10302 10 6 cossinsin() 由,得, 66 2 3 1 26 1sin() 则,故函数的值域为102 10y102 10， 对于形如“”的函数, 此法适用于两根号内自变量ym axbn cxd ac()0 都是一次,且,此时函数的定义域为闭区间,如,则可作代换ac 0xx 12 ， ,且,即可化为型的函数xxxx()sin 21 2 1 0 2 ，yAsin() 四四 配方法配方法 :通过平方或换元化为形如 y=ax2+bx+c(a0)的函数,借助配方法求函数的值 域,要注意 x 的取值范围 例 7.求函数 y=的值域xx1 解:1-x0,且 x0, 0x1,又 y0, 3 y2=x+1-x+2=1+2xx 2 xx 2 令 t=-x2+x=-(x-)2+,0x1,0t,0,y21,2, 2 1 4 1 4 1 t 2 1 函数 y=的值域为1,xx12 五五 数形结合法数形结合法:利用函数解析式的几何意义,把求函数值域的问题转化为求直线的斜率 或距离的范围问题 例 8.求函数 f(x)=-的值域52 2 xx22 2 xx 解:f(x)=-=- 52 2 xx22 2 xx 22 2) 1(x 22 1) 1(x f(x)表示动点 P(x,0)到点 A(-1,2)与点 B(-1,1)的距离之差,求 f(x)的值域就转化为求 P(x,0)到点 A(-1,2)与点 B(-1,1)的距离之差的范围问题(如图), |PA|-|PB|AB|(当且仅当 PAB 共线时取等号),|PA|-|PB|1,即 f(x)1, f(x)=-的值域是52 2 xx22 2 xx 1 , 0( 高中数学高中数学无理函数值域的常见求法无理函数值域的常见求法 一形如“”的函数ymxnaxb 例 1. 求函数的值域yxx23134 解:令,则且,则tx134t 0xt 1 4 13 2 ()ytt 1 2 7 2 2 1 2 1 2 ()t 当,即时,当时,故函数值域为4t 1x 3ymax 4t y (，4 4 说明:此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数,一般令,将原函taxb 数转化为 t 的二次函数,当然也适用于“”的函数ymxnaxb 22 二形如“”的函数ymxnaxbxc abac， 22 040() 例 2. 求函数的值域yxxx21023 2 解:由令且xxx 2 102305252，得x 25sin ,则 22 ，y 2722 4 7sincossin() 由,得 44 3 4 2 24 1sin() 当时,;sin() 4 1ymax 9 当时,sin() 4 2 2 ymin72 故函数值域为729， 说明:这类函数根号内外自变量的次数不同,不适合第一类型的解法又且a 0 的函数定义域一定为闭区间,如,则可作三角代换为 0xx 12 ，x xx 21 2 sin 且,即可化为+k 型函数至于且及 xx 21 2 22 ，yAsin()a 0 0 其他类型,可自己分析一下 三形如“”的函数ym axbn cxd ac()0 例 3. 求函数的值域yxx836 解:由,得 360 80 x x 28x 令且,x 102 2 sin ,0 2 5 则y 10302 10 6 cossinsin() 由,得, 66 2 3 1 26 1sin()