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高一数学必修1 各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1. 集合的含义2. 集合的中元素的三个特性:(1)元素的确定性(2)元素的互异性(3)元素的无序性3.集合的表示: 注意:常用数集及其记法:非负整数集(即自然数集) 记作:N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1) 列举法:a,b,c2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x|x-323) 语言描述法:例:不是直角三角形的三角形4) Venn 图:4、集合的分类:(1) 有限集含有有限个元素的集合(2) 无限集含有无限个元素的集合(3) 空集不含任何元素的集合例:x|x2=5二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集注意:A B有两种可能(1)A是B 的一部分,;(2)A 与B是同一集合。反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A/B 或B/A2“相等”关系:A=B (55,且55,则5=5)实例:设A=x|x2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集合相等”即: 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果AB,且A B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A B(或B A)如果AB, BC ,那么AC第2 页共12 页 如果AB 同时BA 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 有n 个元素的集合,含有2n 个子集,2n-1个真子集三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集 记作A B(读作A交B ),即A B=x|xA,且xB由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合, 叫做A,B 的并集记作:A B(读作A 并B),即A B =x|xA,或xB)设S 是一个集合,A 是S 的一个子集,由S 中所有不属于A 的元素组成的集合,叫做S 中子集A 的补集(或余集)记作C A S ,即CSA=x | xS,且xA韦恩图示A B1A B2SAS第3 页共12 页性质A A=AA =A B=B AA B AA B BA A=AA =AA B=B AA B A B B(CuA) (CuB)= Cu (A B)(CuA) (CuB)= Cu(A B)A (CuA)=UA (CuA)= 例题:1.下列四组对象,能构成集合的是( )A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2.集合a,b,c 的真子集共有个3.若集合M=y|y=x2-2x+1,xR,N=x|x0,则M 与N 的关系是.4.设集合A=x 1 x 2,B=x x a ,若AB,则a的取值范围是5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有40 人,化学实验做得正确得有31 人,两种实验都做错得有4 人,则这两种实验都做对的有人。6. 用描述法表示图中阴影部分的点( 含边界上的点) 组成的集合M= .7.已知集合A=x| x2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若BC,AC=,求m 的值二、函数的有关概念第4 页共12 页1函数的概念:设A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A 中的任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:AB 为从集合A 到集合B 的一个函数记作: y=f(x),xA其中,x叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域;与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域注意:1定义域:能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被开方数不小于零;(3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零,(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);定义域一致(两点必须同时具备)(见课本21 页相关例2)2值域: 先考虑其定义域(1)观察法(2)配方法(3)代换法3. 函数图象知识归纳(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数y=f(x) , (xA)中的x 为横坐标,函数值y 为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y 为坐标的点(x,y),均在C 上.(2) 画法A、描点法:B、图象变换法常用变换方法有三种1) 平移变换2) 伸缩变换3) 对称变换第5 页共12 页4区间的概念(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间(2)无穷区间(3)区间的数轴表示5映射一般地,设A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A 中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f:A B为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象) B(象)”对于映射f:AB 来说,则应满足:(1)集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个;(3)不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。6.分段函数(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。(2)各部分的自变量的取值情况(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集补充:复合函数如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则y=fg(x)=F(x)(xA)称为f、g 的复合函数。二函数的性质1.函数的单调性(局部性质)(1)增函数设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x1 , x2 , 当x1x2 时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D 上是增函数.区间D 称为y=f(x)的单调增区间.如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1x2 时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D 称为y=f(x)的单调减区间.注意:函数的单调性是函数的局部性质;(2) 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是第6 页共12 页下降的.(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法:1任取x1,x2D,且x11,且n N * 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作n 0 = 0。当n是奇数时,n a n = a ,当n是偶数时,2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定:a n = n a m (a 0,m,n N * ,n 1) 0 的正分数指数幂等于0,0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质(1) ar ar = ar +s(a 0,r,s R);(2) (ar )s = ars(a 0,r ,s R);(3)(ab)r = ar a s(a 0,r ,s R)(二)指数函数及其性质1、指数函数的概念:一般地,函数y = a x (a 0,且a 1)叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a 0且a 1) 值域是f (a), f (b) 或f(b),f (a);(2)若x 0,则f (x ) 1;f (x)取遍所有正数当且仅当x R;(3)对于指数函数f (x ) = a x (a 0且a 1),总有f (1) = a;二、对数函数(一)对数1对数的概念:一般地,如果a x = N (a 0,a 1),那么数x叫做以. a为. 底. N 的对数,记作:x N a = log (a 底数,N 真数, N a log 对数式)说明:1 注意底数的限制a 0,且a 1;2a N a N xx = log = ;3注意对数的书写格式两个重要对数:1常用对数:以10为底的对数lg N ;2自然对数:以无理数e = 2.71828 为底的对数的对数ln N 指数式与对数式的互化幂值真数ab N loga N b底数指数对数(二)对数的运算性质如果a 0,且a 1,M 0,N 0,那么:1 M a log ( N) = M a log N a log ;log a M = n M a log (n R )利用换底公式推导下面的结论(二)对数函数1、对数函数的概念:函数y = log x(a 0 a ,且a 1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+)注意:(1) 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,y = x 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数(2)对数函数对底数的限制:(a 0,且a 1)2、对数函数的性质:(三)幂函数1、幂函数定义:一般地,形如y = x (a R)的函数称为幂函数,其中 为常数2、幂函数性质归纳(1)所有的幂函数在(0,+)都有定义并且图象都过点(1,1);(2) 0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间0,+)上是增函数特别地,当 1时,幂函数的图象下凸;当0 1时,幂函数的图象上凸;第11 页共12 页(3) 0时,幂函数的图象在区间(0,+)上是减函数在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y轴正半轴,当x趋于+ 时,图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念:对于函数y = f (x )(x D),把使f (x ) = 0成立的实数x叫做函数y = f (x )(x D)的零点。2、函数零点的意义:函数y = f (x )的零点就是方程f (x ) = 0实数根,亦即函数y = f (x )的图象与x轴交点的横坐标。即:方程f (x ) = 0有实数根函数y = f (x )的图象与x轴有交点函数y = f (x )有零点3、函数零点的求法:1(代数法)求方程f (x) = 0的实数根;2(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以
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