2019版高考数学第9章平面解析几何8第8讲曲线与方程教案理.docx

第8讲曲线与方程1曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线2曲线的交点设曲线C1的方程为F1(x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点3求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系建立适当的坐标系；(2)设点设轨迹上的任一点P(x，y)；(3)列式列出动点P所满足的关系式；(4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简；(5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0，y0)0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)0上的充要条件()(2)方程x2xyx的曲线是一个点和一条直线()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的()(4)方程y与xy2表示同一曲线()(5)ykx与xy表示同一直线()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (教材习题改编)曲线C：xy2上任一点到两坐标轴的距离之积为()A1B2C.D4解析：选B.设M(x，y)是曲线xy2上任一点，则M到两坐标轴的距离之积为|x|y|xy|2，故选B. 已知点P是直线2xy30上的一个动点，定点M(1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|MQ|，则Q点的轨迹方程是()A2xy10B2xy50C2xy10D2xy50解析：选D.由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(2x，4y)，代入2xy30得2xy50. (教材习题改编)已知方程ax2by22的曲线经过点A和B(1，1)，则曲线方程为_解析：由题意得解得所以曲线方程为x2y22，即x2y21.答案：x2y21 平面上有三个不同点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_解析：，由，得0，即2x0，所以动点C的轨迹方程为y28x(x0)答案：y28x(x0)定义法求轨迹方程 典例引领 已知A(5，0)，B(5，0)，动点P满足|，|，8成等差数列，则点P的轨迹方程为_【解析】由已知得|8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，且a4，b3，c5，所以点P的轨迹方程为1(x4)【答案】1(x4)若将本例中的条件“|，|，8”改为“|，|，8”，求点P的轨迹方程解：由已知得|8，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且a4，b3，c5，所以点P的轨迹方程为1(x4)定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程；(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制 通关练习1(2018豫北名校联考)已知ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|3，则顶点A的轨迹方程为_解析：设A(x，y)，由题意可知D.又因为|CD|3，所以9，即(x10)2y236，由于A、B、C三点不共线，所以点A不能落在x轴上，即y0，所以点A的轨迹方程为(x10)2y236(y0)答案：(x10)2y236(y0)2(2018江西红色七校模拟)已知动圆C过点A(2，0)，且与圆M：(x2)2y264相内切求动圆C的圆心的轨迹方程解：圆M：(x2)2y264，圆心M的坐标为(2，0)，半径R8.因为|AM|4|AM|.所以圆心C的轨迹是中心在原点，焦点为A，M，长轴长为8的椭圆，设其方程为1(ab0)，则a4，c2.所以b2a2c212.所以动圆C的圆心的轨迹方程为1.直接法求轨迹方程(高频考点)直接法求点的轨迹方程是求轨迹方程的一种重要方法，也是高考考查的重要内容直接法求点的轨迹方程，在高考中有以下两个命题角度：(1)已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹)；(2)无明确等量关系求轨迹方程 典例引领 角度一已知动点满足的关系式求轨迹方程(或判断轨迹) 已知点F(0，1)，直线l：y1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且，则动点P的轨迹C的方程为()Ax24yBy23xCx22yDy24x【解析】设点P(x，y)，则Q(x，1)因为，所以(0，y1)(x，2)(x，y1)(x，2)，即2(y1)x22(y1)，整理得x24y，所以动点P的轨迹C的方程为x24y.【答案】A角度二无明确等量关系求轨迹方程 (2018河北衡水中学调研)已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0)求：直角顶点C的轨迹方程【解】法一：设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，所以kACkBC1，又kAC，kBC，所以1，化简得x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0)法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)直接法求曲线方程的一般步骤(1)建立合理的直角坐标系；(2)设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程；(3)化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性提醒对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x，y的取值范围 通关练习1已知|AB|2，动点P满足|PA|2|PB|，则动点P的轨迹方程为_解析：如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1，0)，B(1，0)设P(x，y)，因为|PA|2|PB|，所以2，整理得x2y2x10，即y2.所以动点P的轨迹方程为y2.答案：y22如图，过点P(2，4)作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴非负半轴于A点，l2交y轴非负半轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程解：设点M坐标为(x，y)因为M(x，y)为线段AB中点，所以点A，B的坐标分别为A(2x，0)，B(0，2y)当x1时，因为l1l2，且l1，l2过点P(2，4)，所以kPAkPB1，即1(x1)，化简得x2y50(x1)当x1时，A，B分别为(2，0)，(0，4)，所以线段AB的中点为(1，2)，满足方程x2y50(x0，y0)综上得M的轨迹方程为x2y50(x0，y0)相关点法(代入法)求轨迹方程 典例引领 (2017高考全国卷节选)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：y21上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.求点P的轨迹方程【解】设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，(xx0，y)，(0，y0)由 得x0x，y0y.因为M(x0，y0)在C上，所以1.因此点P的轨迹方程为x2y22. 设F(1，0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且2，当点P在y轴上运动时，点N的轨迹方程为_解析：设M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，(x0，y0)，(1，y0)，所以(x0，y0)(1，y0)0，所以x0y0.由2得(xx0，y)2(x0，y0)，所以即所以x0，即y24x.故所求的点N的轨迹方程是y24x.答案：y24x 求轨迹方程的常用方法(1)直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含x，y的等式就得到曲线的轨迹方程(2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量，求出动点的轨迹方程(3)相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程 易错防范(1)轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围)(2)求轨迹方程时易忽视轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响 1方程(xy)2(xy1)20表示的曲线是()A一条直线和一条双曲线B两条双曲线C两个点D以上答案都不对解析：选C.(xy)2(xy1)20故或2到点F(0，4)的距离比到直线y5的距离小1的动点M的轨迹方程为()Ay16x2By16x2Cx216yDx216y解析：选C.由条件知：动点M到F(0，4)的距离与到直线y4的距离相等，所以点M的轨迹是以F(0，4)为焦点，直线y4为准线的抛物线，其标准方程为x216y.3已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是()A圆B椭圆C抛物线D双曲线解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(a，0)，B(a，0)，则N(x，0)因为2，所以y2(xa)(ax)，即x2y2a2，当1时，轨迹是圆；当0且1时，轨迹是椭圆；当4|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a6，2c4，即a3，c2，b.因此其轨迹方程为1(y0)(2)设圆P的半径为r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a1，2c4，即a，c2，b，因此其轨迹方程为4x2y21.(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4.因此其轨迹方程为y28x.10(2018郑州市第一次质量预测)已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|5|MQ|.(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；(2)记(1)中轨迹为C，过点N(2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程解：(1)由题意，得5，即5，化简，得x2y22x2y230，所以点M的轨迹方程是(x1)2(y1)225.轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆(2)当直线l的斜率不存在时，l：x2，此时所截得的线段长度为28，所以l：x2符合题意当直线l的斜率存在时，设l的方程为y3k(x2)，即kxy2k30，圆心(1，1)到直线l的距离d，由题意，得4252，解得k.所以直线l的方程为xy0，即5x12y460.综上，直线l的方程为x2或5x12y460.1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是()A直线B圆C双曲线D抛物线解析：选D.在平面ABCD内过点P作PFAD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FEA1D1，垂足为E，连接PE，则有PEA1D1，即PE为点P到A1D1的距离由题意知|PE|2|PM|21，又因为|PE|2|PF|2|EF|2，所以|PF|2|EF|2|PM|21，即|PF|2|PM|2，即|PF|PM|，所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，所以点P的轨迹为抛物线2.如图，已知ABC的两顶点坐标A(1，0)，B(1，0)，圆E是ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C的轨迹为曲线M.则曲线M的方程为_解析：由题知|CA|CB|CP|CQ|AP|BQ|2|CP|AB|4|AB|，所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点)设曲线M：1(ab0，y0)，则a24，b2a23，所以曲线M：1(y0)为所求答案：1(y0)3(2018唐山模拟)已知P为圆A：(x1)2y28上的动点，点B(1，0)线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)当点P在第一象限，且cosBAP时，求点M的坐标解：(1)圆A的圆心为A(1，0)，半径等于2.由已知|MB|MP|，于是|MA|MB|MA|MP|22|AB|，故曲线是以A，B为焦点，以2为长轴长的椭圆，即a，c1，b1，所以曲线的方程为y21.(2)由cosBAP，|AP|2，得P.于是直线AP的方程为y(x1)由整理得5x22x70，解得x11，x2.由于点M在线段AP上，所以点M坐标为.4(2018安徽安庆模拟)已知抛物线x22py(p0)，F为其焦点，过点F的直线l交抛物线于A、B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示(1)求点C的轨迹M的方程；(