不等式的性质及应用.doc

一. 教学内容：3.1 不等关系与不等式3.2 均值不等式二. 教学目的1. 理解不等号的意义和不等式概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系。理解实数大小与实数运算的关系，会用比差法比较两个实数的大小关系。2. 能根据实数的基本性质得出不等式的基本性质，并会证明。 会运用不等式的基本性质进行推理和变形。3. 探究成立的条件和证明方法，等号成立的条件和几何解释，会用这个基本不等式解决简单问题。4. 通过实例学会运用基本不等式求最值的方法。理解用不等式求最值的条件，并能求实际问题的最大值或最小值。三. 教学重点、难点重点：（1）用比差法比较两个实数的大小关系；（2）不等式的性质及其应用；（3）理解不等式和的意义，应用这些不等式解决简单问题；（4）运用基本不等式求最值。难点：不等式的性质及其应用；运用基本不等式求最值。四. 知识分析（一）不等关系与不等式 1. 用数学符号“”、“”、“”、“”、“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。3. 对于任意两个实数a和b，在三种关系中有且只有一种关系成立。4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差的符号来确定。5. 若a、bR，则这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通过判断它们的商与“1”的大小关系来确定。（二）不等式的性质不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a（或代数式），结果有三种：（1）当a0时，得同向不等式。（2）当a0时，得等式。（3）当a0时，得异向不等式。2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。若或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于小数减大数。”3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。若，这个结论也常用。不妨记为：“大正数除以小正数大于小正数除以大正数。”4. 不等式性质有.不能忽略a、b均为正数这个条件，即由是不一定成立的。5. 由成立。但不一定成立。反过来也不一定成立。事实上。（三）均值不等式1. 对于任意实数a，b都有，当且仅当a b时等号成立。 2. 对于任意正实数a，b都有，当且仅当a b时等号成立。3. 对于任意正实数a, b都有，当且仅当a b时等号成立。4. 不等式的几何解释：如图，AB是O的直径，C是AB上任意一点，DE是过C点垂直于AB的弦。若ACa, BC b则ABab，O的半径，RtACDRtBCD，,。考虑到CDr，当且仅当C点与O点重合时，CDr，即。5. 设x，y是正实数（1）若xy s（和s为定值），则当x y时，积xy有最大值为；（2）若xy p（积p为定值），则当x y时，和x y有最小值为2；6. 利用基本不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足：（1）x，y必须是正数；（2）求积的最大值时，和必须为定值；求和的最小值时，积必须为定值；（3）重要不等式中的等号必须成立，且等号成立的条件是x y。即：利用基本不等式求最值必须满足一正、二定、三相等三个条件，并且和为定值时，积有最大值，积为定值时，和有最小值。两次使用重要不等式求最值时，必须使两次等号成立的条件同时成立，否则不可。 3. 使用重要不等式求最值时，若等号不成立，应改用单调性法，如，可令：t ，此时在上是增函数；故。【典型例题】 例1. 已知，试比较的大小 解析： 当时， 故 当ab时， 故 点评：比较法是证明不等式中最基本最重要的方法，其步骤为：作差（或n次方作差）变形确定符号得出结论。其中，作差是依据，变形是手段，确定差的符号是目的，至于证题的思路体现了数学中的转化思想。这里，关键的步骤是对差式的变形，常用的变形方法有：配方法、因式分解法及通分等，从而将差变形为常数，或变形为常数与几个平方和的形式，或变形为几个因式积的形式。总之，变形到能确定出差的符号即可。对于不等式两边都是正数的情形，尤其是指数型的问题，也常常用作商法比较，步骤为：作商变形与1比较得出结论。 例2. 已知，试将下列各数按从大到小的顺序排列。 。 解析： 由二次函数性质得 综上可得 点评：在已知多个条件判断实数大小时要注意各个条件相互结合起来，一步一步探求问题的结论，如本题可根据a的范围，取特殊值时，这时，猜想CABD，然后用比较法证明猜想的正确性，这种从特殊到一般的推理形式是很重要的。 例3. 对于实数a、b、c，有下列命题 若，则； 若，则； 若，则； 若，则； 若。 其中真命题的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 解析：c的正、负或是否为零未知，因而判断ac与bc大小缺乏依据，故该命题是假命题。 由，是真命题。 ， 。故该命题为真命题。 两边同乘以，得。 又。 故该命题为真命题。 由已知条件知： 又。故该命题为真命题。 综上可知，命题、都是真命题。 故选C。 点评：通过本题的练习，可以使我们熟悉不等式的基本性质，更好地掌握各性质的条件和结论。在各性质中，乘法性质的应用最易出错，即在不等式的两边同乘（除）以一个数时，必须能确定该数是正数、负数或零，否则结论不确定。另外，若要判断命题是真命题，应说明理由或进行证明，推理过程应紧扣有关定理、性质等，若判断命题是假命题只需举一反例。 例4. 证明下列不等式 已知求证：。 若，求证：。 解析：，两边同乘以正数， 得。 故。 点评：对于不等式的性质，关键是要正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论，性质 4 及推论均有较强的条件，在运用时要特别注意。 例5. 已知，求证： 解析： 又， 又 点评：应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣基本不等式成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则。 例6. 已知，探求不等式的证明方法。 解析：证法一 ，对任意成立。 令也成立。 即。 证法二 对成立。 证法三 ，即 证法四 要证成立，根据不等式的性质， 只要证： 只要证： 只要证： 对于任意都成立。 对于任意都成立。 即时有 证法五 如图所示RtABC，C为直角，O为斜边AB中点，作CDAB于D。 则RtABCRtBCD，从而 令0 则 连接OC，则 点评：本例从五个角度对基本不等式给予证明，证法一是换元法，即借用，通过换元得证；证法二是综合法，即从，这一事实出发，通过恒等变形得证；证法三是比较法，即通过作差变形、变号得证；证法四是分析法，即通过逐步寻求使不等式成立的充分条件得证，证法五是几何法，即利用直角三角形的平面几何性质获得证明，除此之外，还可探求其三角证法和解析法。 例7. 设。 比较A、G、H、Q的大小。 解析： 又 点评：本题证明方法很多，可以探求其它证明方法，注意充分运用基本不等式及其变形。 例8. 甲、乙二人沿同一条道路同时从A地向 B 地出发，甲用速度 vl与v2（vlv2）各走一半路程，乙用vl 与v2各走全程所需时间的一半，试判断甲、乙两人谁先到达B地？证明你的结论。 解析：设全程为2s，则甲走完全程所用时间 乙走完全程所用时间为t2， 则 又 ，即 即 所以，乙先到达B地。 点评：从实际问题中抽象出数学表达式，再用基本不等式比较大小，也可以作差比较大小，即由 得 例9. 已知，求函数的最大值。 解析：解法一 当且仅当，即时，等号成立。 时，函数取最大值。 解法二 当且仅当，即时，等号成立。 当时，y取最大值为。 点评：如果一个函数的解析式可看成关于自变量的两个式子的积的形式，并且通过变形能够满足“一正、二定、三相等”条件则可用基本不等式求其最大值，解题的关键是构造和为定值这个条件，本题可用二次函数求最值，即，当。 例10. 已知，且，求的最小值。 解析：解法一 。 当且仅当，即时，取等号。 又 当x4，y12时，取最小值16。 解法二 由 得 当且仅当，即y12时，取等号，此时，x4， 当x4，y12时，xy取最小值16。 解法三 由，得 当且仅当x1y9时取等号。又， 当时，取最小值16。点评：本题给出了三种解法，都用到了基本不等式，且都对式子进行了变形，配凑出基本不等式满足的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察学会变形。另外解法二，通过消元，化二元问题为一元问题，要注意根据被代换的变量的范围对另一个变量范围的影响。 例11. 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成。 （l）现有可围 36m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ （2）若使每间虎笼面积为 24m2 ，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 解析：（1）设每间虎笼长x m，宽为y m，则由条件知：4x6y36，即2x3y18。设每间虎笼面积为S，则Sxy。 解法一 由于， ，得 即，当且仅当时，等号成立。 由，解得。 故每间虎笼长为4.5m，宽为3m时，可使面积最大。 解法二 由，得 当且仅当，即时，等号成立，此时。 故每间虎笼长4.5m，宽3m时，可使面积最大。 （2）由条件知 设钢筋网总长为l，则 解法一 当且仅当时，等号成立。 由，解得 故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小。 解法二 由 当且仅当y，即y4时，等号成立，此时x6。 故每间虎笼长6m，宽4m时，可使钢筋网总长最小。 点评：在使用极值定理，求函数的最大值或最小值时要注意：x,y都是正数；积xy（或和xy）为定值；x与y必须能够相等，特别情况下，还要根据条件构造满足上述三个条件的结论。【模拟试题】1. （ ）A. ab0 B. ab0a D. a0b2. 若a0且a1，p，则p、q的大小关系是（ ）A. pq B. pq C. pq D. pq3. 已知1x lgx2 lglgx B. lglgx lgx2 lg2xC. lgx2 lg2x lglgx D. lg2x lglgx lgx24. 设ba0，且ab1，则此四个数，2ab，a2b2，b中最大的是（ ）A. b B. a2b2 C. 2ab D. 5. ab没有最大值的条件是（ ）A. a2b2 为定