连续型随机变量及其分布.ppt

一、连续型随机变量,二、几种常见的连续型随机变量,2.3 连续型随机变量的概念密度,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、连续型随机变量,定义1 对于随机变量X如果存在非负可积函数f(x)，使对于任意实数x有 F(x)= (1),则称X为连续型随机变量，称函数f(x)为X的概率密度函数,简称概率密度。,注:1) 由(1)式,在f(x)的连续点x上有 F(x)=f(x) (2),2) Px1Xx2 ,=F(x2)-F(x1),3) 当f(x)在x=x0连续时,利用定积分的性质知:,概率密度具有以下两个性质：,1) f(x)0,2),(6)式的几何意义:,4) 对任意实数a,PX=a=0 (5),(7)式的几何意义:,概率密度函数f(x)与分布函数F(x)的关系为,例1 设随机变量X的概率密度函数,求C的值,PX1以及X的分布函数.,解:由密度函数的性质2得,当x0时,=1,当x0时,=1,X的分布函数为,X的分布函数为,例2 设随机变量X的概率函数为,求 (1)X的分布函数F(x); (2)计算Px1,P0Xln2,解(1),(2),例3 设某种轮胎在损坏以前所能行驶的路程X(以万公里计)是一个随机变量，已知其概率密度为,今从中随机地抽取5只轮胎,试求至少有2只轮胎所能行驶的路程数不足30万公里的概率.,解:设一只轮胎运行不足30万公里地概率为p,则,分析:设一只轮胎运行不足30万公里地概率为p,Y为行驶的路程数不足30万公里的轮胎数.则YB(5, p).而目前未知,故由题意先求出p,例3 设某种轮胎在损坏以前所能行驶的路程X(以万公里计)是一个随机变量，已知其概率密度为,今从中随机地抽取5只轮胎,试求至少有2只轮胎所能行驶的路程数不足30万公里的概率.,解:则 YB(5, 0.9502),=0.99997,二、几种常见的连续型随机变量,1 、均匀分布,定义2 如果随机变量X的概率密度为,则称X服从区间a,b上的均匀分布。,例4 设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在900欧1100欧,求R的概率密度及R落在950欧1050欧的概率。,解:,R的密度:,P950R1050=,注: 均匀分布的特性:若X服从a,b区间上的均匀分布,则X落在a,b中任意等长度的子区间内的概率相同.即对于长度为l的子区间,概率只与子区间的长度有关，与子区间在a,b中的位置无关.,容易求出,均匀分布的分布函数是,其图形为,2、正态分布,定义3 设随机变量X的概率密度为,x (10),其中、 (0)为常数，则称X服从参数为、的正态分布或 高斯分布，记为XN(，2)。,正态分布密度函数的性质和特点：,1) f(x)的图形关于直线x=对称，即f(-x)=f(+x)，从而有 P-xX=PX+x,2) f(x)的各阶导数存在， f(x)在x=处有最大值,在点,处有拐点，曲线以ox轴为渐近线。,3) 参数决定f(x)的图形的中心位置，称为位置参数，参数2决定图形中峰的陡峭形状，称为尺度参数：当固定时，越小图形中峰越陡峭，因而X落在附近的概率越大。,4) 由定义知X的分布函数为:,*,*,定义4 当正态分布的参数0，1时称正态分布为标准正态分布，记为XN(0，1),其概率密度为:,x (12),其分布函数记为 :,性质：,定理：若XN(，2)，则,由此,若XN(，2),则,例5,解：,例6 设某商店出售的白糖每包的标准重量是500克,每包的重量X(以克记)是随机变量,服从正态分布，即XN(500,25),求:(1) 随机抽查一包，其重量大于510克的概率; ( (2) 随机抽查一包，其重量与标准重量之差的绝对值在8克以内的概率； (3) 求常数C,使每包的重量小于C的概率为0.05.,解,(1)所求概率为,例6 设某商店出售的白糖每包的标准重量是500克,每包的重量X(以克记)是随机变量,服从正态分布，即XN(500,25),求:(1) 随机抽查一包，其重量大于510克的概率; ( (2) 随机抽查一包，其重量与标准重量之差的绝对值在8克以内的概率； (3) 求常数C,使每包的重量小于C的概率为0.05.,解,(2)所求概率为,例6 设某商店出售的白糖每包的标准重量是500克,每包的重量X(以克记)是随机变量,服从正态分布，即XN(500,25),求:(1) 随机抽查一包，其重量大于510克的概率; ( (2) 随机抽查一包，其重量与标准重量之差的绝对值在8克以内的概率； (3) 求常数C,使每包的重量小于C的概率为0.05.,解,(3)由题意,即,即,查表得,解得,C=491.775,例7 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内,调节器整定在d0C,液体的温度X是一个随机变量，XN(d,0.52)。 (1)若d90，求X小于89的概率。 （2）若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99，问d至少为多少？,解：,（1） XN(90,0.52),解,例8 设某地区成年男子的体重X(公斤)服从正态分布 N( 2) 已知P(X65)05 P(X60)025 (1)求 2 (2)从该地区任抽了名男子 其体重在70公斤到75公斤之间的概率为多少？,(1),即得65,综合 解得65 74074,解,例8 设某地区成年男子的体重X(公斤)服从正态分布 N( 2) 已知P(X65)05 P(X60)025 (1)求 2 (2)从该地区任抽了名男子 其体重在70公斤到75公斤之间的概率为多少？,(1)由P(X65)05 P(X60)025 得65 74074,(2),(135) (0675),0911507501,01614,定义5 如果随机变量X的概率密度为:,则称X服从参数为的指数分布。,3、指数分布,例9 某人恰在你之前提起电话听筒拨号,试问(1)你要等待10分钟以上的概率是多少?(2)等待10至20分钟的概率是多少?(设打一次电话所占的时间X服从参数为10的指数分布),解:由题意,(1)PX10,(2)10X 20,例10 设某电话交换台等待第一个呼叫来到的时间X(以分计)是随机变量,服从参数为的指数分布， X的概率密度为,设已知第一