2018年中考数学真题分类汇编（第三期）专题26图形的相似与位似试题（含解析）.docx

图形的相似与位似一.选择题1. （2018广西梧州3分）如图，AG：GD=4：1，BD：DC=2：3，则AE：EC的值是（）A3：2B4：3C6：5D8：5【分析】过点D作DFCA交BE于F，如图，利用平行线分线段成比例定理，由DFCE得到=，则CE=DF，由DFAE得到=，则AE=4DF，然后计算的值【解答】解：过点D作DFCA交BE于F，如图，DFCE，=，而BD：DC=2：3，=，则CE=DF，DFAE，=，AG：GD=4：1，=，则AE=4DF，=故选：D【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例2.（2018四川省攀枝花3分）如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，以AB为边作RtABC，使BAC=90，ACB=30，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）ABCD解：如图所示：过点C作CDy轴于点DBAC=90，DAC+OAB=90DCA+DAC=90，DCA=OAB又CDA=AOB=90，CDAAOB， =tan30，则=，故y=x+1（x0），则选项C符合题意故选C3（2018重庆市B卷）（4.00分）制作一块3m2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A360元B720元C1080元D2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可【解答】解：3m2m=6m2，长方形广告牌的成本是1206=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，扩大后长方形广告牌的面积=96=54m2，扩大后长方形广告牌的成本是5420=1080m2，故选：C【点评】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键4（2018辽宁省盘锦市）如图，已知在ABCD中，E为AD的中点，CE的延长线交BA的延长线于点F，则下列选项中的结论错误的是（）AFA：FB=1：2BAE：BC=1：2CBE：CF=1：2DSABE：SFBC=1：4【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，CDAB，CD=AB，DECAEF， =E为AD的中点，CD=AF，FE=EC，FA：FB=1：2，A说法正确，不符合题意；FE=EC，FA=AB，AE：BC=1：2，B说法正确，不符合题意；FBC不一定是直角，BE：CF不一定等于1：2，C说法错误，符合题意；AEBC，AE=BC，SABE：SFBC=1：4，D说法正确，不符合题意；故选C5. （2018乐山3分）如图，DEFGBC，若DB=4FB，则EG与GC的关系是（）AEG=4GCBEG=3GCCEG=GCDEG=2GC解：DEFGBC，DB=4FB，故选B6. （2018莱芜3分）如图，在矩形ABCD中，ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，BFE=90，连接AF、CF，CF与AB交于G有以下结论：AE=BCAF=CFBF2=FGFCEGAE=BGAB其中正确的个数是（）A1B2C3D4【分析】只要证明ADE为直角三角形即可只要证明AEFCBF（SAS）即可；假设BF2=FGFC，则FBGFCB，推出FBG=FCB=45，由ACF=45，推出ACB=90，显然不可能，故错误，由ADFGBF，可得=，由EGCD，推出=，推出=，由AD=AE，EGAE=BGAB，故正确，【解答】解：DE平分ADC，ADC为直角，ADE=90=45，ADE为直角三角形AD=AE，又四边形ABCD矩形，AD=BC，AE=BCBFE=90，BFE=AED=45，BFE为等腰直角三角形，则有EF=BF又AEF=DFB+ABF=135，CBF=ABC+ABF=135，AEF=CBF在AEF和CBF中，AE=BC，AEF=CBF，EF=BF，AEFCBF（SAS）AF=CF假设BF2=FGFC，则FBGFCB，FBG=FCB=45，ACF=45，ACB=90，显然不可能，故错误，BGF=180CGB，DAF=90+EAF=90+（90AGF）=180AGF，AGF=BGC，DAF=BGF，ADF=FBG=45，ADFGBF，=，EGCD，=，=，AD=AE，EGAE=BGAB，故正确，故选：C【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型7.（2018吉林长春3分）孙子算经是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A五丈B四丈五尺C一丈D五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论【解答】解：设竹竿的长度为x尺，竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，解得x=45（尺）故选：B【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键二.填空题1. （2018广西贺州3分）如图，正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，BE=8，过点E作EFBC，分别交BD.CD于G、F两点若点P、Q分别为DG、CE的中点，则PQ的长为 【解答】解：作QMEF于点M，作PNEF于点N，作QHPN交PN的延长线于点H，如右图所示，正方形ABCD的边长为12，BE=8，EFBC，点P、Q分别为DG、CE的中点，DF=4，CF=8，EF=12，MQ=4，PN=2，MF=6，QMEF，PNEF，BE=8，DF=4，EGBFGD，即，解得，FG=4，FN=2，MN=62=4，QH=4，PH=PN+QM，PH=6，PQ=，故答案为：22. （2018广西梧州3分）如图，点C为RtACB与RtDCE的公共点，ACB=DCE=90，连接AD.BE，过点C作CFAD于点F，延长FC交BE于点G若AC=BC=25，CE=15，DC=20，则的值为【分析】过E作EHGF于H，过B作BPGF于P，依据EHGBPG，可得=，再根据DCFCEH，ACFCBP，即可得到EH=CF，BP=CF，进而得出=【解答】解：如图，过E作EHGF于H，过B作BPGF于P，则EHG=BPG=90，又EGH=BGP，EHGBPG，=，CFAD，DFC=AFC=90，DFC=CHF，AFC=CPB，又ACB=DCE=90，CDF=ECH，FAC=PCB，DCFCEH，ACFCBP，=，=1，EH=CF，BP=CF，=，=，故答案为：【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例进行推算3.（2018云南省3分）如图，已知ABCD，若=，则=【分析】利用相似三角形的性质即可解决问题；【解答】解：ABCD，AOBCOD，=，故答案为【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型4（2018辽宁省沈阳市）（3.00分）如图，ABC是等边三角形，AB=，点D是边BC上一点，点H是线段AD上一点，连接BH、CH当BHD=60，AHC=90时，DH=【分析】作AEBH于E，BFAH于F，如图，利用等边三角形的性质得AB=AC，BAC=60，再证明ABH=CAH，则可根据“AAS”证明ABECAH，所以BE=AH，AE=CH，在RtAHE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到HE=AH，AE=AH，则CH=AH，于是在RtAHC中利用勾股定理可计算出AH=2，从而得到BE=2，HE=1，AE=CH=，BH=1，接下来在RtBFH中计算出HF=，BF=，然后证明CHDBFD，利用相似比得到=2，从而利用比例性质可得到DH的长【解答】解：作AEBH于E，BFAH于F，如图，ABC是等边三角形，AB=AC，BAC=60，BHD=ABH+BAH=60，BAH+CAH=60，ABH=CAH，在ABE和CAH中，ABECAH，BE=AH，AE=CH，在RtAHE中，AHE=BHD=60，sinAHE=，HE=AH，AE=AHsin60=AH，CH=AH，在RtAHC中，AH2+（AH）2=AC2=（）2，解得AH=2，BE=2，HE=1，AE=CH=，BH=BEHE=21=1，在RtBFH中，HF=BH=，BF=，BFCH，CHDBFD，=2，DH=HF=故答案为【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形也考查了全等三角形的判定与性质和等边三角形的性质5（2018辽宁省抚顺市）（3.00分）如图，AOB三个顶点的坐标分别为A（8，0），O（0，0），B（8，6），点M为OB的中点以点O为位似中心，把AOB缩小为原来的，得到AOB，点M为OB的中点，则MM的长为或【分析】分两种情形画出图形，即可解决问题；【解答】解：如图，在RtAOB中，OB=10，当AOB在第三象限时，MM=当AOB在第二象限时，MM=，故答案为或【点评】本题考查位似变换，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型6.（2018江苏常州2分）如图，在ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是3AP4【分析】分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围【解答】解：如图所示，过P作PDAB交BC于D或PEBC交AB于E，则PCDACB或APEACB，此时0AP4；如图所示，过P作APF=B交AB于F，则APFABC，此时0AP4；如图所示，过P作CPG=CBA交BC于G，则CPGCBA，此时，CPGCBA，当点G与点B重合时，CB2=CPCA，即22=CP4，CP=1，AP=3，此时，3AP4；综上所述，AP长的取值范围是3AP4故答案为：3AP4【点评】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等三.解答题1.（2018广西梧州10分）如图，AB是M的直径，BC是M的切线，切点为B，C是BC上（除B点外）的任意一点，连接CM交M于点G，过点C作DCBC交BG的延长线于点D，连接AG并延长交BC于点E（1）求证：ABEBCD；（2）若MB=BE=1，求CD的长度【分析】（1）根据直径所对圆周角和切线性质，证明三角形相似；（2）利用勾股定理和面积法得到AG、GE，根据三角形相似求得GH，得到MB.GH和CD的数量关系，求得CD【解答】（1）证明：BC为M切线ABC=90DCBCBCD=90ABC=BCDAB是M的直径AGB=90即：BGAECBD=AABEBCD（2）解：过点G作GHBC于HMB=BE=1AB=2AE=由（1）根据面积法ABBE=BGAEBG=由勾股定理：AG=，GE=GHABGH=又GHAB同理：+，得CD=【点评】本题是几何综合题，综合考察了圆周角定理、切线性质和三角形相似解答时，注意根据条件构造相似三角形2. （2018湖北十堰8分）如图，ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FGAC于点F，交AB的延长线于点G（1）求证：FG是O的切线；（2）若tanC=2，求的值【分析】（1）欲证明FG是O的切线，只要证明ODFG；（2）由GDBGAD，设BG=a可得=，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD.ODAB是直径，ADB=90，即ADBC，AC=AB，CD=BD，OA=OB，ODAC，DFAC，ODDF，FG是O的切线（2）解：tanC=2，BD=CD，BD：AD=1：2，GDB+ODB=90，ADO+ODB=90，OA=OD，OAD=ODA，GDB=GAD，G=G，GDBGAD，设BG=a=，DG=2a，AG=4a，BG：GA=1：4【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线或相似三角形解决问题，属于中考常考题型3. （2018乐山10分）如图，P是O外的一点，PA.PB是O的两条切线，A.B是切点，PO交AB于点F，延长BO交O于点C，交PA的延长交于点Q，连结AC（1）求证：ACPO；（2）设D为PB的中点，QD交AB于点E，若O的半径为3，CQ=2，求的值（1）证明：PA.PB是O的两条切线，A.B是切点，PA=PB，且PO平分BPA，POABBC是直径，CAB=90，ACAB，ACPO；（2）解：连结OA.DF，如图， PA.PB是O的两条切线，A.B是切点，OAQ=PBQ=90在RtOAQ中，OA=OC=3，OQ=5由QA2+OA2=OQ2，得QA=4在RtPBQ中，PA=PB，QB=OQ+OB=8，由QB2+PB2=PQ2，得82+PB2=（PB+4）2，解得PB=6，PA=PB=6OPAB，BF=AF=AB又D为PB的中点，DFAP，DF=PA=3，DFEQEA， =，设AE=4t，FE=3t，则AF=AE+FE=7t，BE=BF+FE=AF+FE=7t+3t=10t， =4. （2018莱芜9分）已知ABC中，AB=AC，BAC=90，D.E分别是AB.AC的中点，将ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度（090）得到ADE，连接BD、CE，如图1（1）求证：BD=CE；（2）如图2，当=60时，设AB与DE交于点F，求的值【分析】（1）首先依据旋转的性质和中点的定义证明AD=AE，然后再利用SAS证明BDACEA，最后，依据全等三角形的性质进行证明即可；（2）连接DD，先证明ADD为等边三角形，然后再证明ABD为直角三