2016_2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程4抛物线学案苏教版.docx

2.4.1抛物线的标准方程1.了解抛物线的标准方程.2.会求抛物线的标准方程.(重点、难点)基础初探教材整理抛物线的标准方程阅读教材P47P48例1以上部分，完成下列问题.标准方程y22pxy22pxx22pyx22py图形焦点坐标准线方程xxyy开口方向向右向左向上向下1.判断正误：(1)标准方程y22px(p0)中p的几何意义是焦点到准线的距离.()(2)抛物线的焦点位置由一次项及一次项系数的正负决定.()(3)x22y表示的抛物线开口向左.()【解析】(1).抛物线y22px(p0)的焦点为，准线为x，故焦点到准线的距离是p.(2).一次项决定焦点所在的坐标轴，一次项系数的正负决定焦点是在正半轴或负半轴上，故该说法正确.(3).x22y表示的抛物线开口向下.【答案】(1)(2)(3)2.焦点坐标为(0,2)的抛物线的标准方程为_.【解析】由题意知p224，焦点在y轴正半轴上，方程为x224y，即x28y.【答案】x28y质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型求抛物线的标准方程分别求满足下列条件的抛物线的标准方程： (1)准线方程为2y40；(2)过点(3，4)；(3)焦点在直线x3y150上.【精彩点拨】确定抛物线的类型设出标准方程确定参数写出方程【自主解答】(1)准线方程为2y40，即y2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x22py(p0).又2，所以2p8，故抛物线的标准方程为x28y.(2)点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22p1y(p10).把点(3，4)的坐标分别代入y22px和x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即2p，2p1.所求抛物线的标准方程为y2x或x2y.(3)令x0得y5；令y0得x15.抛物线的焦点为(0，5)或(15,0).所求抛物线的标准方程为x220y或y260x.求抛物线方程的主要方法是待定系数法(1)若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可；(2)若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.注意：焦点在x轴上的抛物线方程可统一设成y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可统一设成x2ay(a0).再练一题1.(1)焦点在x轴上，且焦点在双曲线1上的抛物线的标准方程为_.(2)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线经过点(2,2)，则此抛物线的方程为_.【解析】(1)由题意可设抛物线方程为y22mx(m0)，则焦点为.焦点在双曲线1上，1，求得m4，所求抛物线方程为y28x或y28x.(2)设抛物线方程为y2mx(m0)，将(2,2)代入得m2，抛物线方程为y22x.【答案】(1)y28x或y28x(2)y22x由抛物线的标准方程求焦点坐标和准线方程求下列抛物线的焦点坐标准线方程：(1)yx2；(2)xy2(a0)【导学号：24830043】【精彩点拨】原方程化为标准形式求焦点坐标和准线方程【自主解答】(1)抛物线yx2的标准形式为x24y，所以p2，所以焦点坐标是(0,1)，准线方程是y1.(2)抛物线xy2的标准形式为y2ax，所以p，故焦点在x轴上，坐标为，准线方程为x.求抛物线焦点坐标和准线方程的步骤：再练一题2.求抛物线ay2x(a0)的焦点坐标与准线方程.【导学号：24830044】【解析】把抛物线ay2x(a0)方程化为标准形式为y2x，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为x.探究共研型抛物线的定义及标准方程的应用探究1抛物线定义是什么？能否用数学式表示抛物线的定义？【提示】平面内到一定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.设抛物线上任意一点P，点P到直线l的距离为PD，则抛物线的定义可表示为PFPD.探究2抛物线y22px(p0)上一点P的横坐标为x0，那么点P到其焦点F的距离是什么？【提示】抛物线y22px(p0)的准线方程为x，根据抛物线的定义可知抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离，所以点P到其焦点F的距离为PFx0x0.探究3探究2中得到的用点P的横坐标表示其到焦点的距离的公式称为抛物线的焦半径公式，对于其它三种形式的方程的焦半径公式是什么？【提示】设抛物线上一点P的横坐标为x0，对于抛物线y22px(p0)，PFx0；设抛物线上一点P的纵坐标为y0，对于抛物线x22py(p0)，PFy0y0；设抛物线上一点P的纵坐标为y0，对于抛物线x22py(p0)，PFy0.探究4通过以上探究，你得到了什么启示？【提示】当题目中涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般转化为抛物线上的点到准线的距离较为简单，这样就将两点间的距离转化为点到直线的距离，将二次问题转化为一次问题.已知抛物线的方程为y22x，F是其焦点，点A(4,2)，是否存在M，使MAMF取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.【精彩点拨】判断点A的位置把到焦点的距离转化为到准线的距离利用三点共线求最小值【自主解答】如图，由于点M在抛物线上，所以MF等于点M到其准线l的距离MN，于是MAMFMAMN，所以当A，M，N三点共线时，MAMN取最小值，亦即MAMF取最小值，这时M的纵坐标为2，可设M(x0,2)代入抛物线方程得x02，即M(2,2).1.此类题目的实质是抛物线定义的应用，将抛物线上的点到焦点的距离转化成到准线的距离，从而化曲为直，利用点到直线的距离求最小值.2.涉及抛物线上任意一点P与平面上的定点A以及抛物线焦点F的距离和PAPF的最小值问题，有以下处理思路：(1)若点A在抛物线外部，则直线FA与抛物线的交点P使得PAPF最小，其最小值为AF；(2)若点A在抛物线内部，则过A点作与准线l垂直的直线，它与抛物线的交点为P，则PAPF最小，其最小值为点A到准线l的距离.再练一题3.已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_.【解析】如图，由抛物线定义知PAPQPAPF，则所求距离之和的最小值转化为求PAPF的最小值，则当A、P、F三点共线时，PAPF取得最小值.又A(0,2)，F，(PAPF)minAF.【答案】构建体系1.抛物线x216y的焦点坐标是_.【解析】4，焦点在y轴上，开口向下，焦点坐标应为，即(0，4).【答案】(0，4)2.抛物线yx2的准线方程是_.【解析】由yx2得x24y，所以抛物线的准线方程是y1.【答案】y1 3.抛物线y22x上一点M到焦点的距离为1，则点M的横坐标是_. 【导学号：24830045】【解析】准线x，xM1，xM.【答案】4.(2016鄂州高二检测)顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，过点(2,3)的抛物线方程是_.【解析】点(2,3)在第二象限，设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0)，又点(2,3)在抛物线上，p，p，抛物线方程为y2x或x2y.【答案】y2x或x2y5.抛物线y22px(p0)上有一点M的横坐标为9，它到焦点的距离为10，求此抛物线方程和M点的坐标.【解】设焦点为F，M点到准线的距离为d，则d|MF|10，即910，p2，抛物线方程为y24x.将M(9，y)代入抛物线的方程，得y6.M点坐标为(9,6)或(9，6).我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十)抛物线的标准方程(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.抛物线y24x的准线方程为_.【解析】根据抛物线的几何性质得抛物线y24x的准线方程为x1.【答案】x12.抛物线y22px(p0)的焦点恰好与椭圆1的一个焦点重合，则p_.【解析】椭圆中a29，b25，c2a2b24，c2，F1(2,0)，F2(2,0)，抛物线y22px(p0)的焦点F与F1重合，2，p4.【答案】43.设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是_.【解析】由抛物线的方程得2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为426.【答案】64.抛物线yx2(a0)的焦点坐标为_.【解析】抛物线yx2的标准形式为x2ay，故焦点在y轴上，坐标为.【答案】5.(2016盐城高二检测)以双曲线1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程为_.【解析】由1知a24，b25，c2a2b29，双曲线右焦点为(3,0)，依题意，抛物线的焦点F(3,0)，3，p6，抛物线方程为y212x.【答案】y212x6.焦点在y轴上，且抛物线上一点A(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线的标准方程为_. 【解析】设抛物线方程为x22py(p0)，A(m,3)到焦点的距离为5，35，p4，抛物线为x28y.【答案】x28y7.已知开口向下的抛物线上一点Q(m，3)到焦点的距离等于5，则该抛物线的标准方程为_.【解析】Q(m，3)到焦点的距离等于5.Q到准线的距离也等于5.准线：y2，即2，p4.即：抛物线标准方程为：x28y.【答案】x28y8.(2016常州高二检测)抛物线yx2上的动点M到两定点(0，1)，(1，3)的距离之和的最小值为_.【解析】将抛物线方程化成标准方程为x24y，可知焦点坐标为F(0，1)，因为30)的焦点为F，点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)在抛物线上，且2x2x1x3，试给出FP1，FP2，FP3之间的关系式；(2)设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，求|.【解】(1)由抛物线方程y22px(p0)得准线方程为x，则由抛物线的定义得FP1x1，FP2x2，FP3x3，则FP1FP3x1x3x1x3p，因为x1x32x2，所以FP1FP32x2p22FP2，从而FP1，FP2，FP3之间的关系式为FP1FP32FP2.(2)设点A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，由题意知2p4，p2，F(1,0)，又0，则有xA1xB1xC10，即xAxBxC3.由抛物线的定义可知，|(xAxBxC)3336.能力提升1.对标准形式的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1).其中满足抛物线方程为y210x的是_.(要求填写适合条件的序号)【解析】抛物线y210x的焦点在x轴上，满足，不满足；设M(1，y0)是y210x上一点，则|MF|116，所以不满足；由于抛物线y210x的焦点为，过该焦点的直线方程为yk，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k2，此时存在，所以满足.【答案】2.设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足.如果直线AF的斜率为，那么PF_.【解析】由抛物线定义得PFPA，又由直线AF的斜率为可知，PAF60，所以PAF是等边三角形，即PFAF8.【答案】83.(2016驻马店高二检测)从抛物线y24x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且PM5，设抛物线的焦点为F，则MPF的面积为_. 【导学号：24830047】【解析】因为抛物线方程为y24x，则准线方程为x1.设P点坐标为P(x0，y0)，由图可知(图略)，PMx015.所以x04，把x04代入y24x，解得y04，所以MPF的面积为PMy05410.【答案】104.设P是曲线y24x上的一个动点.(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，点F是抛物线的焦点，求PBPF的最小值.【解】(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离，于是，问题转化为在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小.显然，连接AF交曲线于P点，故最小值为.(2)如图，自B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于P1，此时，P1QP1F，那么PBPFP1BP1QBQ4，即PBPF的最小值为4.2.4.2抛物线的几何性质1.了解抛物线的简单几何性质.(重点)2.会用抛物线的几何性质处理简单的实际问题.(难点)基础初探教材整理抛物线的几何性质阅读教材P49例1以上部分，完成下列问题.1.判断正误：(1)抛物线是中心对称图形.()(2)抛物线的范围是xR.()(3)抛物线是轴对称图形.()【解析】(1).在抛物线方程中，以x代x，y代y，方程发生了变化，故抛物线不是中心对称图形.(2).抛物线的方程不同，其范围就不同，如y22px(p0)的范围是x0，yR.(3).抛物线y22py(p0)的对称轴是x轴，抛物线x22py(p0)的对称轴是y轴.【答案】(1)(2)(3)2.抛物线y22px(p0)上一点M到焦点的距离是a，则点M的横坐标是_.【解析】由抛物线的定义知：点M到焦点的距离a等于点M到抛物线的准线x的距离，所以点M的横坐标即点M到y轴的距离为a.【答案】a质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型抛物线的方程及其几何性质(1)设O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若PF4，则POF的面积为_.(2)已知拋物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与拋物线交于A、B两点，O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此拋物线的标准方程. 【精彩点拨】(1)利用抛物线的对称性及等边三角形的性质求解；(2)设出抛物线的标准方程，根据抛物线的对称性表示出三角形的面积，解方程可得抛物线方程中的参数，即得抛物线的方程.【自主解答】(1)如图，设P(x0，y0)，由PFx04，得x03，代入抛物线方程得y4324.所以y02.所以SPOFOFy022. 【答案】2(2)由题意，设拋物线方程为y2ax(a0).焦点F，直线l：x，A、B两点的坐标分别为，ABa，OAB的面积为4，a4，a4，拋物线的方程为y24x.1.求抛物线的标准方程时，目标就是求解p，只要列出一个关于p的方程即可求解.2.求抛物线的标准方程要明确四个步骤：(1)定位置(根据条件确定抛物线的焦点位置及开口)；(2)设方程(根据焦点和开口设出标准方程)；(3)找关系(根据条件列出关于p的方程)；(4)得出抛物线的标准方程.再练一题1.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴重合于椭圆1短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为5，求抛物线的方程. 【导学号：24830048】【解】椭圆1的焦点在y轴上，椭圆1短轴所在的直线为x轴.抛物线的对称轴为x轴.设抛物线的方程为y2mx(m0).|5，m20.所求抛物线的方程为y220x或y220x.抛物线中的应用题河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？【精彩点拨】建系设方程求方程求出相关量解决问题【自主解答】如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x22py(p0)，由题意，将B(4，5)代入方程得p，抛物线方程为x2y.当船的两侧和拱桥接触时船不能通航.设此时船面宽为AA，则A(2，yA)，由22yA，得yA. 又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h|yA|2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航.1.本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题.2.以抛物线为数学模型的实例很多，如拱桥、隧道、喷泉等，应用抛物线主要体现在：(1)建立平面直角坐标系，求抛物线的方程.(2)利用已求方程求点的坐标.再练一题2.某隧道横断面由抛物线及矩形的三边组成，尺寸如241图所示，某卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3米，车与箱共高4.5米，问此车能否通过此隧道？说明理由. 图241【解】建立如图所示的平面直角坐标系，则B(3，3)，A(3，3).设抛物线方程为x22py(p0)，将B点的坐标代入，得92p(3)，p，抛物线方程为x23y(3y0).车与箱共高4.5 m， 集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.设抛物线上点D的坐标为(x0，0.5)，D的坐标为(x0，0.5)，则x3(0.5)，解得x0.|DD|2|x0|3，故此车不能通过隧道.探究共研型直线与抛物线的综合应用探究1直线l过抛物线y22px(p0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 AB的长是多少？【提示】由抛物线的定义可知AFx1，BFx2，所以ABAFBFx1x2x1x2p.探究2斜率为k的直线l与抛物线y22px(p0)交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB的长是多少？【提示】设直线l的方程为ykxm，则AB|x1x2|.这个公式称为弦长公式.(1)已知过抛物线y26x焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是_.(2)求顶点在原点，焦点在x轴上且截直线2xy10所得弦长为的抛物线方程.【导学号：24830049】【精彩点拨】(1)应用焦半径公式求解；(2)应用弦长公式求解.【自主解答】(1)抛物线的焦点为.设直线方程为yk，与方程y26x联立得：4k2x2(12k224)x9k20.设直线与抛物线交点为A(x1，y1)，B(x2，y2).x1x2，x1x23312.k21，k1.故弦所在直线的倾斜角是或.【答案】或(2)设所求抛物线方程为y2ax(a0)直线方程变形为y2x1设抛物线截直线得弦长为AB，将代入整理得4x2(4a)x10，则AB.解得a12或a4.故所求抛物线方程为y212x或y24x.直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线的斜率为k.(1)一般的弦长公式：|AB|x1x2|.(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y22px(p0)的焦点时，弦长|AB|x1x2p.(3)求弦长时，为简化计算常常借助根与系数的关系，这样可以避免分别求x1，x2的麻烦，如果是利用弦长求参数的问题，只需要列出参数的方程或不等式即可求解，而(x1，y2)或(y1，x2)一般是求不出来的.再练一题3.(2016徐州高二检测)已知直线l与抛物线y28x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8,8)，则线段AB的中点到准线的距离是_.【解析】抛物线的焦点坐标为(2,0)，直线l的方程为y(x2).由得B点的坐标为.ABAFBF282.AB的中点到准线的距离为.【答案】构建体系1.过抛物线y24x的焦点作直线与抛物线相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1x28，则PQ的值为_.【解析】PQx1x2210.【答案】102.如图242，已知等边三角形AOB的顶点A，B在抛物线y26x上，O是坐标原点，则AOB的边长为_.图242 【解析】设AOB边长为a，则A，6a.a12.【答案】123.(2016南昌高二检测)如图243所示是抛物线形拱桥，当水面在1时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽_米. 【导学号：24830050】图243【解析】设水面与拱桥的一个交点为A，如图所示，建立平面直角坐标系，则A的坐标为(2，2).设抛物线方程为x22py(p0)，则222p(2)，得p1.设水位下降1米后水面与拱桥的交点坐标为(x0，3)，则x6，解得x0，所以水面宽为2米. 【答案】24.设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则PBPF的最小值为_.【解析】将x3代入y24x得y2，22，故点(3,2)在抛物线内部.如图，过点B作BQ垂直于准线于Q，交抛物线于点P1，连P1F，由抛物线定义知P1FP1Q，则PBPFP1BP1QBQ314.即PBPF的最小值为4.【答案】45.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且AM，AF3，求此抛物线的标准方程.【解】设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，设A(x0，y0)，由题知M.AF3，y03，AM，x217，x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为x24y或x28y.我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_学业分层测评(十一)抛物线的几何性质(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.若抛物线y2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为 _.【解析】由定义知POPF，所以xP，yP.【答案】2.抛物线yax21与直线yx相切，则a等于_.【解析】由消y得ax2x10.直线yx与抛物线yax21相切，方程ax2x10有两相等实根.判别式(1)24a0，a.【答案】3.(2016济南高二检测)已知过抛物线y24x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，AF2，则BF_.【解析】y24x，p2，F(1,0)，又AF2，xA2，xA12，xA1.即ABx轴，F为AB的中点，BFAF2.【答案】24.边长为1的等边三角形OAB，O为原点，ABx轴，以O为顶点且过A、B的抛物线方程为 _.【解析】由题意可知，抛物线的对称轴为x轴，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为y22px(p0)，且A为x轴上方的点，则易求A，所以p，所以p，所以抛物线方程为y2x.同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为y2x.【答案】y2x5.设抛物线y22x与过焦点的直线交于A，B两点，则的值是_. 【导学号：24830051】【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，可知p1，则(x1，y1)(x2，y2)x1x2y1y2p2.【答案】6.设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0).直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为_.【解析】抛物线的方程为y24x，设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2，两式相减得，yy4(x1x2)，1，直线l的方程为y2x2，即yx.【答案】yx7.探照灯反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处.已知灯口直径是60 cm，灯深40 cm，则光源到反光镜顶点的距离是_.【解析】建立直角坐标系(图略)，设抛物线方程是y22px(p0).A(40,30)在抛物线上，3022p40，p，光源到反光镜顶点的距离为5.625 (cm).【答案】5.625 cm 8.设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是_.【解析】圆心到抛