2019版高考数学复习第4章三角函数、解三角形7第7讲正弦定理与余弦定理教案理.docx

第7讲正弦定理与余弦定理1正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形形式a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；sin A，sin B，sin C；abcsin_Asin_Bsin_C；cos A；cos B；cos C2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)；(2)Sbcsin Aacsin_Babsin C；(3)S，其中p(abc) 判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形()(3)在ABC中，sin Asin B的充分不必要条件是AB.()(4)在ABC中，a2b2c2是ABC为钝角三角形的充分不必要条件()(5)在ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个()答案：(1)(2)(3)(4)(5) (教材习题改编)在ABC中，已知a5，b7，c8，则AC()A90B120C135D150解析：选B.cos B.所以B60，所以AC120. 在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形()A无解B有两解C有一解D解的个数不确定解析：选B.因为，所以sin Bsin Asin 45.又因为a0，cos B.又0B，所以B.答案：利用正弦、余弦定理解三角形 典例引领 (1)(2016高考全国卷)在ABC中，B，BC边上的高等于BC，则cos A()A.B.CD(2)(2017高考全国卷)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sin Bsin A(sin Ccos C)0，a2，c，则C()A.B.C. D.【解析】(1)设ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得acsin c，则ac.在ABC中，由余弦定理可得b2a2c2acc2c23c2c2，则bc.由余弦定理，可得cos A，故选C.(2)因为sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以sin(AC)sin Asin Csin Acos C0，所以sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得sin C(sin Acos A)0，因为sin C0，所以sin Acos A0，所以tan A1，因为A(0，)，所以A，由正弦定理得sin C，又0C，所以C.故选B.【答案】(1)C(2)B(1)正、余弦定理的选用解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断 通关练习1(2018张掖市第一次诊断考试)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c2a，bsin Basin Aasin C，则cos B为()A.B.C. D.解析：选B.由bsin Basin Aasin C，且c2a，得ba，所以cos B.2已知ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，若(2ac)cos Bbcos C0，则角B的大小为()A.B.C. D.解析：选C.法一：因为(2ac)cos Bbcos C0，所以(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C2sin Acos Bsin(BC)2sin Acos Bsin A0，因为sin A0，所以cos B，又B为ABC的内角，所以B.故选C.法二：因为(2ac)cos Bbcos C0，所以(2ac)b0，所以b2a2c2ac，所以cos B，所以B.3在ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，若a3，B2A，cos A，则b_解析：在ABC中，由cos A，B2A，可得sin A，sin Bsin 2A2sin Acos A2.再由正弦定理，可得，求得b2.答案：2利用正弦、余弦定理判定三角形的形状典例引领 (1)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D不确定(2)(2018山西怀仁月考)若a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形B等腰三角形C等腰直角三角形D等边三角形【解析】(1)由正弦定理得sin Bcos Ccos Bsin Csin2A，则sin(BC)sin2A，由三角形内角和，得sin(BC)sin Asin2A，即sin A1，所以A.即ABC为直角三角形(2)法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得，由2cos Asin Bsin C，有cos A.又由余弦定理得cos A，所以，即c2b2c2a2，所以a2b2，所以ab.又因为a2b2c2ab.所以2b2c2b2，所以b2c2，所以bc，所以abc.所以ABC为等边三角形法二：利用角的关系来判断：因为ABC180，所以sin Csin(AB)，又因为2cos Asin Bsin C，所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B，所以sin(AB)0.又因为A与B均为ABC的内角，所以AB，又由a2b2c2ab，由余弦定理，得cos C，又0C180，所以C60，所以ABC为等边三角形【答案】(1)A(2)D 若将本例(1)条件改为“2sin Acos Bsin C”，试判断ABC的形状解：法一：由已知得2sin Acos Bsin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B，即sin(AB)0，因为AB，所以AB，故ABC为等腰三角形法二：由正弦定理得2acos Bc，再由余弦定理得2aca2b2ab，故ABC为等腰三角形判定三角形形状的两种常用途径提醒“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系 通关练习1在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos A，则ABC为()A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D等边三角形解析：选A.已知cos A，由正弦定理，得cos A，即sin Csin Bcos A，所以sin(AB)sin Bcos A，即sin Bcos Acos Bsin Asin Bcos A0，所以cos Bsin A0.又sin A0，于是有cos B0，B为钝角，所以ABC是钝角三角形2在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解：(1)由题意知，根据正弦定理得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理得a2b2c22bccos A，故cos A，A120.(2)由得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C.又sin Bsin C1，故sin Bsin C.因为0B90，0C90，故BC.所以ABC是等腰钝角三角形与三角形面积有关的问题(高频考点)求解与三角形面积有关的问题是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题高考对正、余弦定理应用的考查有以下三个命题角度：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形；(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题典例引领角度一求三角形的面积 (2017高考全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积【解】(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理得284c24ccos，即c22c240.解得c6(舍去)，c4.(2)由题设可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD面积与ACD面积的比值为1.又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.角度二已知三角形的面积解三角形 (2018江西南昌十校模拟)在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若，sin B，SABC，则b的值为_【解析】由ac，由SABCacsin B且sin B得ac5，联立解得a5，c2，由sin B且B为锐角知cos B，由余弦定理知b225425214，b.【答案】角度三求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题 (2018沈阳市教学质量检测(一)已知ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，且满足4Sa2(bc)2，bc8，则S的最大值为_【解析】由题意得：4bcsin Aa2b2c22bc，又a2b2c22bccos A，代入上式得：2bcsin A2bccos A2bc，即sin Acos A1，sin1，又0A，所以A0，则cos B，故a5.(2)由(1)知，sin B，由Sacsin B9，得c6.由b2a2c22accos B13，得b.故ABC的周长为11.1(2018长沙市统一模拟考试)ABC中，C，AB3，则ABC的周长为()A6sin3B6sin3C2sin3D2sin3解析：选C.设ABC的外接圆半径为R，则2R2，于是BC2Rsin A2sin A，AC2Rsin B2sin，于是ABC的周长为2sin Asin32sin3.选C.2(2018安徽江南十校联考)设ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若ABC的三个内角大小满足ABC345，则的值为()A.B.C. D.解析：选D.在ABC中，ABC，又ABC345，所以A，B，C.由正弦定理2R(a、b、c为ABC中角A、B、C的对边，R为ABC的外接圆半径)可得，ac，bc，R.所以S1absin Cc2sin Csin Asin Bsin C，S2R2，所以，故选D.3如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则BC的长为_解析：在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos 60，整理得x210x960，解得x116，x26(舍去)在BCD中，由正弦定理：，所以BCsin 308.答案：84在ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，a，a2.若b1，3，则c的最小值为_解析：由a，得sin C由余弦定理可知cos C，即3cos Csin C，所以tan C，故cos C，所以c2b22b12(b)29，因为b1，3，所以当b时，c取最小值3.答案：35.(2018洛阳市第一次统一考试)如图，平面四边形ABDC中，CADBAD30.(1)若ABC75，AB10，且ACBD，求CD的长；(2)若BC10，求ACAB的取值范围解：(1)由已知，易得ACB45，在ABC中，BC5.因为ACBD，所以ADBCAD30，CBDACB45，在ABD中，ADB30BAD，所以DBAB10.在BCD中，CD5.(2)ACABBC10，cos 60(ABAC)21003ABAC，而ABAC，所以，解得ABAC20，故ABAC的取值范围为(10，206已知a，b，c分别是ABC中角A，B，C的对边，acsin A4sin C4csin A.(1)求a的值；(2)圆O为ABC的外接圆(O在ABC内部)，OBC的面积为，bc4，判断ABC的形状，并说明理由解：(1)