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2.6 条件分布与条件数学期望一、 条件分布我们知道随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计规律，如果要同时研究两个随机变量，就需要他们的联合分布列，设二维随机变量（）的可能取值为（）i.j=1.2,为了计算联合分布列，利用乘法公式：其中 是表示在“” 的条件下”的条件概率，常常记作 j=1.2容易验证这时有1） i=1.22）这说明 具有分布列的两个性质，事实上因而确是一个分布列 ，它描述了在”的条件下，随机变量的统计规律，当然一般来说这个分布列与 原来的分布列 不同，称为条件分布列。如果（）的联合分布列已知，则边际分布列为：从而由对称性，同时还有反过来，如果已知 ， （或 ， ）也可求得联合分布列。设 与 相互独立显然当 与 相互独立时 ，。二、 条件数学期望 既然 是一个分布列，当然可以对这个分布列求数学期望；1、 定义定义：设随机变量在“”条件下的条件分布列为， 又 ， 则称 为在“”条件下的条件数学期望，简称条件期望，记作。例1：某射手进行射击，每次击中目标的概率为p(0p1)，射击进行到击中目标两次时停止，令表示第一次击中目标时的射击次数，表示第二次击中目标时的射击次数，试求：联合分布列, 条件分布列, 及条件期望。解： 其中于是条件分布列为：这时。在这个例子中，条件期望的意义是很直观的，如果已知第二次击中发生在第n次射击，那么第一次击中目标的可能性在第一，第二、第n-1次，并且发生在第次的概率都是 ，因为也就是说在已知 的条件下， 的取值为1，2，n-1是等可能的，从而它的均值为。2、 条件数学期望的性质条件期望具有与普通数学期望相类似的性质，例如有：1）若 ，则存在，且有。 特别地，当c为一个常数时，；2）若是两个常数，又 , 存在则 存在，且 =+ ；前面考察了在固定“” 的条件下条件期望的性质，由条件期望定义可知，当给定时，对于的每一个可能取值 就有一个确定的实数与之对应，因而 是 的单值函数，当 时，这个函数值就等于，记这个函数为。3） 而 由此刻可知，随机变量
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