水厂供水收益问题数学建模.doc

2013届数模内部赛试题承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件网上咨询等）与队外的任何人（包括指导老师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B中选择一项填写）：我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：深圳职业技术学院参赛队员（打印并签名）：1杨杰 2位文豪3陈晓彦指导老师或指导教师组负责人（打印并签名）：数模组日期：2013年12月14日水厂供水规划的数学模型摘要 本文针对某水厂如何规划其子公司向十个地区供水并获得最大收益的问题进行了讨论，并且，通过对已知数据的分析，得出了引水管理费的差异是引起规划结果变化的关键因素。本文运用了线性规划和最优解等方法建立了模型，使问题得到较好的解决。针对问题（1），通过对题中数据的统计，四个子公司每天的总供水量可以解决十个地区每天的基本用水问题，但未能完全解决它们的额外用水问题。因此在列出线性规划方程组时，有必要明确约束条 件，再根据其函数关系进行定向分析，得出引水管理费的最优解。针对问题（2），对数据的分析可得，此时四个子公司每天的总供水量足以满足十个地区每天的基本用水总量和额外用水总量。因此，需要依情况明确约束条件以及其函数关系，即调整合理的供水方案，使得水厂的引水管理支出最少。最后，对模型的求解给出了误差分析和模型评价，总的来说，模型对应用于实际问题具有较好的指导意义。关键词：引水管理费差异 线性规划 最优解 一、问题的提出某水厂下属有A1、A2、A3、A4四个自来水子公司负责供应B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10十个地区的用水量，且四个子公司每天的供水量分别为300千吨、315千吨、450千吨、500千吨，而十个地区每天的基本用水和额外用水如下表所示（单位：千吨）：地 区B1基本用水110809010010530759011060额外用水8050170140130408013015075由于地理位置不同各子公司向各地区所付的管理费也不同，其费用如下：管理费B1B2B3B4B5B6B7B8B9B1OA14006090500004670680457A235905685670650389000A3200345038053065450005800A403683804125670387400368432注：“0”表示该子公司与该地区无管道连接，因此不用付管理费。(1)该水厂如何规划所属子公司向十个地区供水，使得在保证这十个地区的基本应用水情况下收益最大？（2）若这四个子公司的净水能力均提高一倍，该水厂又该如何调整供水方案？二、问题的分析 通过对题目数据的分析，该水厂的收益集中在引水管理费最低的运输途径上：即引水管理费的高低决定了水厂收益的高低。对于问题（1），四个子公司每天的总供水量（1565千吨）可以满足这十个地区每天的总的基本用水量(850千吨)，但是，未能满足它们的额外用水量。因此，可以利用线性规划的方法，找出其中的约束条件，通过建立模型进行求解。对于问题（2），四个子公司的净水能力提高了一倍，可以满足十个地区每天的基本用水量和额外用水量。此时，其中的约束条件已经发生了变化，需要重新分析数据，建立模型求解。三、基本假设（1）表中的数据真实有效。（2）管道的连接情况良好，子公司的供水量可以全部运输到与它连接的地区，无其他损耗因素。(3)子公司付出的引水管理费只与它所连接的地区的供水量有关，与管道的长度无关。（4）各地区的需水量在长期内不会发生变化。（5）输送到各地区的自来水只要在基本用水与额外用水量以内，各地区即全额付费。四、定义符号说明A1、A2、A3、A4分别表示四个自来水子公司；B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10分别表示十个不同地区；X1、X2、X3、X4、X5、X6、X7、X8、X9、X10，Y1、Y2、Y3、Y4、Y5、Y6、Y7、Y8、Y9、Y10，Z1、Z2、Z3、Z4、Z5、Z6、Z7、Z8、Z9、Z10，T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7、T8、T9、T10表示某一个地区供水量；U1、U2、U3、U4分别表示A1、A2、A3、A4的管理费，U表示四个子公司的总管理费。五、模型的分析、建立及求解1 模型的分析:该问题为典型的数学规划问题，决策变量、目标函数都较为明显，求解过程较为简单。2 模型的建立:设A1、A2、A3、A4各个自来水子公司向B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10十个地区的供水量如下:供水量B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10A1X1X2X3X4X5X6X7X8X9X10A2Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y8Y9Y10A3Z1Z2Z3Z4Z5Z6Z7Z8Z9Z10A4T1T2T3T4T5T6T7T8T9T10自来水子公司A1需要向十个地区付出的管理费为:U1=400X1+609X2+500X4+467X7+680X9+457X10自来水子公司A2需要向十个地区付出的管理费为:U2=359Y1+568Y3+567Y4+650Y6+389Y7自来水子公司A3需要向十个地区付出的管理费为:U3=200Z1+345Z2+380Z4+530Z5+654Z6+500Z7+580Z9自来水子公司A4需要向十个地区付出的管理费为:U4=368T2+380T3+412T4+567T5+387T7+400T8+368T9+432T10自来水公司需要付出的总管理费为:U=U1+U2+U3+U4限定条件如下:各区每天的供水量为:B1地区: 110X1+Y1+Z1110+80B2地区: 80X2+Z2+T280+50B3地区: 90Y3+T390+170B4地区: 100X4+Y4+Z4+T4100+140 B5地区: 105Z5+T5105+130B6地区: 30Y6+Z630+40B7地区: 75X7+Y7+Z7+T775+80B8地区: 90T890+130B9地区： 110X9+Z9+T9110+150B10地区： 60X10+T1060+75自来水子公司每天的供水量限定：自来水子公司A1X1+X2+X4+X7+X9+X10=300自来水子公司A2Y1+Y3+Y4+Y6+Y7=315自来水子公司A3Z1+Z2+Z4+Z5+Z6+Z7+Z9=450 自来水子公司A4T2+T3+T4+T5+T6+T7+T8+T9=5003 模型的求解:合并U1、U2、U3、U4 得到总的目标函数U：MaxU=400X1+609X2+500X4+567X7+680X9+457X10+359Y1+56Y3+567Y4+650Y6+389Y7+200Z1+345Z2+380Z4+530Z5+654Z6+500Z7+580Z9+368T2+380T3+412T4+567T5+387T7+400T8+360T9+432T10限定条件为：110X1+Y1+Z1110+8080X2+Z2+T280+5090Y3+T390+170100X4+Y4+Z4+T4100+140105Z5+T5105+13030Y6+Z630+40 75X7+Y7+Z7+T775+8090T890+130110X9+Z9+T9110+15060X10+T1060+75X1+X2+X4+X7+X9+X10=300Y1+Y3+Y4+Y6+Y7=315Z1+Z2+Z4+Z5+Z6+Z7+Z9=450T2+T3+T4+T5+T6+T7+T8+T9=500用Matlab写出线性规划程序求解（源程序详见附录）。因A矩阵，b矩阵的对应不等式为大于关系，为化为标准形式，故在linprog函数中A,b前加入负号。且linprog函数默认求解的是线性规划模型的标准形式，即最小量。故在取值范围允许的情况下，在f矩阵前加负号，以求得负最小值。最终结果fval取相反数后即为所得结果。4 结果分析：问题1的求解的结果如下：各自来水子公司给各地区的供水量为供水量B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10A12010040008007030A2550407008070000A34040080110501001200A408010010700401204050最小管理费为 687500 元。问题2的求解的结果如下：供水量B1B2B3B4B5B6B7B8B9B10A15040040003507080A28001207001070000A36050080110501001200A4030140501250402207055最小管理费为 803000 元。六 结果分析及模型检验对于问题（1）、（2），考虑到对数学模型的分析仍有不足之处，结果的准确性可能有些许的偏差。但是，通过对题中数据的全面分析、建立适当的模型以及严谨的计算，可以确定所得结果与最优结果在误差允许范围内是接近的。，七 模型的评价改进及推广优点该模型较为简单明了，易于理解，原理清晰。缺点程序的可重用性差。推广 在实际的供水问题中，各居民区的基本用水量在人口一定的情况下是满足小范围浮动规律的，但在满足基本供水的基础之上，各居民区的额外用水量亦应获得一定比例的满足。额外用水量的调控可简单地以各居民区申请额外用水量的比例来加以满足，亦可引入新的额外需求量浮动数据。另外，该模型未考虑在受不同的日期影响下，基本用水量的起伏情况（如节假日用水量的激增，与离乡务工潮等周期性的大规模人口迁移来临后用水量的变化情况），以及各区域水价差异的调控政策等因素，故还有较大的改进空间。八 附录Matlab 源程序: f=400,609,500,567,680,457,359,568,567,650,389,200,345,380,530,654,500,580,368,380,412,567,387,400,360,432 f = 400 609 500 567 680 457 359 568 567 650 389 200 345 380 530 654 500 580 368 380 412 567 387 400 360 432 A=1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 A = 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 b=110;80;90;100;105;30;75;90;110;60;-190;-130;-260;-240;-235;-70;-155;-220;-260;-135 b = 110 80 90 100 105 30 75 90 110 60 -190 -130 -260 -240 -235 -70 -155 -220 -260 -135 Aeq=1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0