2018_2019学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.1.2椭圆的简单性质（一）训练案北师大版.docx

3.1.2 椭圆的简单性质A.基础达标1已知椭圆1及以下3个函数：f(x)x；f(x)sin x；f(x)cos x，其中函数图像能等分该椭圆面积的函数个数有()A1个B2个C3个 D0个解析：选B.过原点连续的奇函数等分椭圆面积易知f(x)x，f(x)sin x为奇函数，f(x)cos x为偶函数，故满足要求2已知椭圆1(ab0)的两个顶点在直线xy4上，则此椭圆的焦点坐标是()A(5，0) B(0，5)C(，0) D(0，)解析：选C.直线xy4在坐标轴上的截距为4、3，所以a4，b3，所以c，故椭圆的焦点坐标为(，0)3.如图，A、B、C分别为椭圆1(ab0)的顶点与焦点，若ABC90，则该椭圆的离心率为()A. B.1C. D.1解析：选A.因为RtAOBRtBOC，所以，即b2ac，又b2a2c2，所以a2c2ac，即c2aca20，所以e2e10，又e(0，1)，所以e.4如图，已知ABCDEF是边长为2的正六边形，A、D为椭圆1(ab0)长轴的两个端点，BC、EF分别过椭圆两个短轴的端点，则椭圆的方程是()A.1 B.1C.y21 D.y21解析：选A.因为a|AO|2，b2.故该椭圆的方程为1.5设AB是椭圆1(ab0)的长轴，若把线段AB分为100等份，过每个分点作AB的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，P99，F1为椭圆的左焦点，则|F1A|F1P1|F1P2|F1P99|F1B|的值是()A98a B99aC100a D101a解析：选D.设F2为椭圆的右焦点，|F1Pi|F2Pi|2a(i1，2，99)，P1，P2，P99关于y轴成对称分布，（|F1Pi|F2Pi|）2a99198a，| F1Pi|(|F1Pi|F2Pi|)99a.又因为|F1A|F1B|2a，所以|F1A|F1P1|F1P2|F1P99|F1B|99a2a101a.6已知椭圆的长轴长为20，离心率为，则该椭圆的标准方程为_解析：由题意知，2a20，a10，e，所以c6，b2a2c264.故椭圆的标准方程为1或1.答案：1或17椭圆(m1)x2my21的长轴长是_解析：将椭圆化为标准方程为1，则必有m0.因为m1m0，所以0)的离心率e，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标解：椭圆方程可化为1，因为m0，所以m，即a2m，b2，c.由e得 ，所以m1.所以椭圆的标准方程为x21.所以a1，b，c.所以椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为(，0)，(，0)；四个顶点坐标分别为(1，0)，(1，0)，(0，)，(0，)10(1)已知椭圆E经过点A(2，3)，对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e.求椭圆E的方程(2)如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率解：(1)设椭圆E的方程为1(ab0)由e，即，得a2c，b2a2c23c2，所以椭圆方程可化为1.将A(2，3)代入上式，得1，解得c24，所以椭圆E的方程为1.(2)设椭圆的方程为1(ab0)如题图所示，则有F1(c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为xc，代入方程1，得y，所以P.又PF2AB，所以PF1F2AOB.所以，所以，所以b2c.所以b24c2，所以a2c24c2，所以.所以e.B.能力提升1已知直线xt与椭圆1交于P，Q两点，若点F为该椭圆的左焦点，则使取得最小值时，t的值为()A BC. D.解析：选B.若P在x轴上方，则P(t，)，Q(t，)，所以(t4，)，(t4，)，t28t7，t(5，5)，其对称轴为t(5，5)，故当t时，取最小值2已知椭圆1(ab0)，B为上顶点，F为左焦点，A为右顶点，且右顶点A到直线FB的距离为b，则该椭圆的离心率为()A. B2C.1 D.解析：选C.由题意知，A(a，0)，直线BF的方程为1，即bxcybc0，由题意得b，即，1，1，所以e1.3设椭圆1(ab0)的离心率e，右焦点为F(c，0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)与圆x2y22的位置关系是_解析：由已知得e，则c.又x1x2，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x22，因此点P(x1，x2)必在圆x2y22内答案：点P(x1，x2)在圆x2y22内4已知椭圆1(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴，直线AB交y轴于点P.若2，则椭圆的离心率为_解析：由，得a2c.故e.答案：5设椭圆C：1(ab0)过点A(0，1)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若点P是椭圆上的一点，求|AP|的最大值解：(1)因为过点A(0，1)，所以b1，又因为离心率为，所以a2，c，所以椭圆C的方程为y21.(2)设点P(x0，y0)，则满足y1，得x4(1y)，所以|AP|2x(y01)24(1y)(y01)2，整理得|AP|23y2y053(y0)2，所以当y0时，|AP|max.6(选做题)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，F1PF2120.(1)求椭圆离心率的范围；(2)求证：F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关解：(1)设椭圆方程为1(ab0)，|PF1|m，|PF2|n，则mn2a.在PF1F2中，由余弦定理可知，4c2m2n22mncos