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动态规划解最长公共子序列问题 2009-05-30 21:28 36702人阅读 评论(36) 收藏 举报 c算法动态规划法 经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。 为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列 问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，xm-1”，序列Y=“y0，y1，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列，使得对所有的j=0，1，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。 考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，am-1”，B=“b0，b1，bm-1”，并Z=“z0，z1，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质： （1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，zk-2”是“a0，a1，am-2”和“b0，b1，bn-2”的一个最长公共子序列； （2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，zk-1”是“a0，a1，am-2”和“b0，b1，bn-1”的一个最长公共子序列； （3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，zk-1”是“a0，a1，am-1”和“b0，b1，bn-2”的一个最长公共子序列。 这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，am-2”和“b0，b1，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，am-2”和“b0，b1，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，am-1”和“b0，b1，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。 求解：引进一个二维数组c，用cij记录Xi与Yj 的LCS 的长度，bij记录cij是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。我们是自底向上进行递推计算，那么在计算ci,j之前，ci-1j-1，ci-1j与cij-1均已计算出来。此时我们根据Xi = Yj还是Xi != Yj，就可以计算出cij。问题的递归式写成： 回溯输出最长公共子序列过程：算法分析：由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为(m + n)。 代码：#include#include#defineMAXLEN100voidLCSLength(char*x,char*y,intm,intn,intcMAXLEN,intbMAXLEN).inti,j;for(i=0;i=m;i+)ci0=0;for(j=1;j=n;j+)c0j=0;for(i=1;i=m;i+).for(j=1;j=cij-1).cij=ci-1j;bij=1;else.cij=cij-1;bij=-1;voidPrintLCS(intbMAXLEN,char*x,inti,intj).if(i=0|j=0)return;if(bij=0).PrintLCS(b,x,i-1,j-1);printf(%c,xi-1);elseif(bij=1)PrintLCS(b,x,i-1,j);elsePrintLCS(b,x,i,j-1);intmain(intargc,char*argv).charxMAXLEN=.ABCBDAB;charyMAXLEN=.BDCABA;intbMAXLENMAXLEN;intcMAXLENMAXLEN;intm,n;m=strlen(x);n=strlen(y);LCSLength(x,y,m,n,c,b);PrintLCS(b,x,m,n);return0;最长公共子序列(动态规划法解决)最长公共子序列(动态规划法解决)(网上转载，该文章分析的不错)给定两个序列X=x1,x2,.,xmY=y1,y2,.,yn求X和Y的一个最长公共子序列举例X=a,b,c,b,d,a,bY=b,d,c,a,b,a最长公共子序列为LSC=b,c,b,a分析：最长公共子序列问题具有最优子结构性质设X=x1,.,xmY=y1,.,yn及它们的最长子序列Z=z1,.,zk则1、若xm=yn，则zk=xm=yn，且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列2、若xm!=yn，且zk!=xm,则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列3、若xm!=yn,且zk!=yn,则Z是Yn-1和X的最长公共子序列由性质导出子问题的递归结构当i=0,j=0时,cij=0当i,j0;xi=yi时,cij=ci-1j-1+1当i,j0;xi!=yi时,cij=maxcij-1,ci-1j/这种分析方法我总得比较有用，值得保存，所以就从book-计算机机算法设计与分析电子工业出版社中摘录出来，如果不明白，可以看一看原作。/书中只有关键部分的代码，现在已经补全/源程序#includeiostream.h#includeiomanip.h#definemax100voidLCSLength(intm,intn,char*x,char*y,char*b)inti,j,k;intcmaxmax;for(i=1;i=m;i+)ci0=0;for(i=1;i=n;i+)c0i=0;for(i=1;i=m;i+)for(j=1;j=cij-1)cij=ci-1j;k=i*(n+1)+j;bk=|;elsecij=cij-1;k=i*(n+1)+j;bk=-;voidLCS(inti,intj,char*x,char*b,intwidth)if(i=0|j=0)return;intk=i*(width+1)+j;if(bk=)LCS(i-1,j-1,x,b,width);coutxiendl;elseif(bk=|)LCS(i-1,j,x,b,width);elseLCS(i,j-1,x,b,width);voidmain()charxmax=a,b,c,b,d,a,b;charymax=b,d,c,a,b,a;intm=7;intn=6;charbmax=0;LCSLength(m,n,x,y,b);LCS(m,n,x,b,n);coutendlendl;/参考资料：计算机算法分析与设计电子工业出版社整理了下：LCS(LongestCommonSubsequences)最长公共子序列用一般的动态规划时间复杂度O(N2),但经过优化可以达到O(NlogN),下面是转载集训队某人的最长递增子序列解题报告。先回顾经典的O(n2)的动态规划算法，设Ai表示序列中的第i个数，Fi表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设Fi=0(i=1,2,.,len(A)。则有动态规划方程：Fi=maxFi,Fj+1(j=1,2,.,i-1,且AjAi)。现在，我们仔细考虑计算Fi时的情况。假设有两个元素Ax和Ay，满足(1)xyi(2)AxAyAi(3)Fx=Fy此时，选择Fx和选择Fy都可以得到同样的Fi值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择Ax还是应该选择Ay呢？很明显，选择Ax比选择Ay要好。因为由于条件(2)，在Ax+1.Ai-1这一段中，如果存在Az，AxAzay，则与选择Ay相比，将会得到更长的上升子序列。再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F的值进行分类。对于F的每一个取值k，我们只需要保留满足Fi=k的所有Ai中的最小值。设Dk记录这个值，即Dk=minAi(Fi=k)。PS：k长上升子序列最小的值,以便获得更长的上升子序列注意到D的两个特点：(1)Dk的值是在整个计算过程中是单调不上升的。(2)D的值是有序的，即D1D2D3.Dlen，则将Ai接在Dlen后将得到一个更长的上升子序列，len=len+1，Dlen=Ai；否则，在D1.Dlen中，找到最大的j，满足DjAi。令k=j+1，则有DjAi=Dk，将Ai接在Dj后将得到一个更长的上升子序列，同时更新Dk=Ai。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D1.Dlen查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D的特点(2)，我们在D中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！这个算法还可以扩展到整个最长子序列系列问题，整个算法的难点在于二分查找的设计，需要非常小心注意。PS：搞的时候可以初始化D数组值为0./*读者的code*/#includeusingnamespacestd;/*功能:求最长子序列nlogn算法a表示输入序列n序列长度序列下标1开始flag:LIS_UP严格上升LIS_NOTDOWN非下降call:printf(%dn,LIS_UP(a,n,LIS_UP);严格上升call;printf(%dn,LIS_UP(a,n,LIS_NOTDOWN);非下降*/typedefintElementType;#defineLIS_UP0/严格上升#defineLIS_NOTDOWN1/非下降intLIS(ElementType*a,intn,intflag)inti;ElementType*d=newElementTypen+1;for(i=0;i=n;i+)di=0;intlen=1;d1=a1;for(i=2;i=n;i+)intl=0,h=len;if(flag=LIS_NOTDOWN)if(dlenlen)len+;deleted;returnlen;最长公共子序列向最长递增子序列退化：设有序列A，B。记序列A中各个元素在B中的位子(降序排列)，然后按在A中的位置依次列出然后求A