2019届高考数学复习专题二数列名师.docx

1.2.2 数列求和及综合应用名校名师创新预测1.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,Sn=an,nN*,则S10=()A.50B.55C.100D.110【解析】选D.因为当n2时,Sn=(Sn-Sn-1),整理得=,所以S10=S1=2=110.2. 设x=1是函数f(x)=an+1x3-anx2-an+2x+1(nN+)的极值点,数列an中满足a1=1, a2=2,bn=log2an+1,若x表示不超过x的最大整数,则=()A.2 017B.2 018C.2 019 D.2 020【解析】选A.由题可知,f(x)=3an+1x2-2anx-an+2,则f(1)=3an+1-2an-an+2=0即an+2-3an+1+2an=0an+2-an+1=2(an+1-an),a2-a1=1,a3-a2=21=2,a4-a3=22=22,an-an-1=2n-2,累加得an=2n-1,故bn=n,+=2 018=2 018=2 018-=2 017+,所以=2 017.3.已知f(n)表示正整数n的所有因数中最大的奇数,例如:12的因数有1,2,3,4,6,12,则f(12)=3;21的因数有1,3,7,21,则f(21)=21,那么f(i)的值为()A.2 488B.2 495C.2 498D.2 500【解析】选D.因为f(n)表示正整数n的所有因数中最大的奇数,所以把正整数n分解为n=2mA,其中mN,A是奇数,所以分类讨论如下:当m=0时,即n为奇数时,f(i)=i,i=51,53,99,共25个正整数,当m=1时,f(i)=,i=54,58,98,共12个正整数,当m=2时,f(i)=,i=52,60,100,共7个正整数,当m=3时,f(i)=,i=56,72,88,共3个正整数,当m=4时,f(i)=,i=80,共1个正整数,当m=5时,f(i)=,i=96,共1个正整数,当m=6时,f(i)=,i=64,共1个正整数,所以f(i)=(51+53+99)+=1 875+456+133+27+5+3+1=2 500.4.在数列an中,a1=0,a2=2,且an+2-an=1+(-1)n(nN*),S100=_.【解析】当n为奇数时,an+2-an=0,所以an+2=an=0;当n为偶数时,an+2-an=2,所以an+2=an+2,即偶数项成公差为2的等差数列,所以S100=502+2=2 550.答案:2 5505.数列an为等差数列,an为正整数,其前n项和为Sn,数列bn为等比数列,且a1=3,b1=1,数列是公比为64的等比数列,b2S2=64.(1)求an,bn.(2)求证+.【解析】(1)设an的公差为d,bn的公比为q,因为an为正整数,所以d为正整数,an=3+(n-1)d,bn=qn-1.依题意有 由(6+d)q=64知q为正有理数,故d为6的因子1,2,3,6之一,解得d=2,q=8,故an=3+2(n-1)=2n+1,bn=8n-1.(2)Sn=3+5+(2n+1)=n(n+2)所以+=+=1-+-+-+-+-=0,所以bn+1-bn=1,所以数列bn是等差数列,且公差为d=1,设bn的前n项和为Bn,因为B7=7b1+1=42,所以b1=3,所以bn=3+(n-1)=n+2(nN*).(2)由(1)知cn=+=+=2+2,所以Tn=c1+c2+cn=2n+2=2n+2=2n+3-2,所以Tn-2n=3