高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 1_1 椭圆及其标准方程课件 北师大版选修1-1

第二章 1 椭 圆,1.1 椭圆及其标准方程,学习目标 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.,题型探究,问题导学,内容索引,当堂训练,问题导学,思考1,知识点一 椭圆的定义,给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板能画出椭圆吗？,固定两个图钉，绳长大于图钉间的距离是画出椭圆的关键.,答案,思考2,在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？,笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长.,答案,梳理,把平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于 的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点F1，F2间的距离叫作椭圆的焦距.,常数(大于|F1F2|),知识点二 椭圆的标准方程,思考1,椭圆方程中，a、b以及参数c有什么几何意义，它们满足什么关系？,答案,椭圆方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点 间距离之和的一半，可借助图形帮助记忆， a、b、c(都是正数)恰构成一个直角三角 形的三条边，a是斜边，c是焦距的一半. a、b、c始终满足关系式a2b2c2.,思考2,椭圆定义中，为什么要限制常数|PF1|PF2|2a|F1F2|?,答案,只有当2a|F1F2|时，动点M的轨迹才是椭圆；当2a|F1F2|时，点的轨迹是线段F1F2；当2a|F1F2|时，满足条件的点不存在.,梳理,F1(c，0)，F2(c，0),F1(0，c)，F2(0，c),c2a2b2,题型探究,类型一 求椭圆的标准方程,命题角度1 焦点位置已知求椭圆的方程 例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在x轴上，ab21，c ；,解答,又由ab21，得a2b， 代入，得4b2b26，解得b22，a28. 又焦点在x轴上，,解答,2a12，即a6. c4，b2a2c2624220， 方法二 由题意可设椭圆的标准方程为,解得11或21(舍去)，,用待定系数法求椭圆的标准方程的基本思路：首先根据焦点的位置设出椭圆的方程，然后根据条件建立关于待定系数的方程(组)，再解方程(组)求出待定系数，最后写出椭圆的标准方程.,反思与感悟,跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别是(0，2)，(0，2)，并且椭圆经过点( )；,解答,椭圆的焦点在y轴上，,由椭圆的定义知，,b2a2c26.,(2)焦点在x轴上，且经过两个点(2，0)和(0，1).,解答,椭圆的焦点在x轴上，,又椭圆经过点(2，0)和(0，1)，,命题角度2 焦点位置未知求椭圆的方程,解答,方法一 若焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为,同理，得a24，b28，而a2b2，与焦点在y轴上矛盾.,方法二 设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB).,如果不能确定焦点的位置，那么求椭圆的标准方程有以下两种方法：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上设出椭圆的标准方程，再解答；二是设出椭圆的一般方程Ax2By21(A0，B0，AB)，再解答.,反思与感悟,解答,这与ab相矛盾，故应舍去.,方法二 设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，mn).,类型二 椭圆方程中参数的取值范围,答案,解析,解得1m2，,故选A.,(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.,反思与感悟,跟踪训练3 已知x2sin y2cos 1(0)表示焦点在x轴上的椭圆.求的取值范围.,解答,x2sin y2cos 1，,类型三 椭圆定义的应用,例4 如图所示，点P是椭圆 1上的一点，F1和F2是焦点，且F1PF230，求F1PF2的面积.,解答,又P在椭圆上，,由余弦定理知，|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 30 |F1F2|2(2c)24， 式两边平方，得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|20， ,引申探究 在例4中，若图中的直线PF1与椭圆相交于另一点B，连接BF2，其他条件不变，求BPF2的周长.,解答,由椭圆的定义，可得BPF2的周长为|PB|PF2|BF2| (|PF1|PF2|)(|BF1|BF2|),(1)对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|PF1|(或|PF2|)的方程求得|PF1|(或|PF2|)；有时把|PF1|PF2|看成一个整体，运用公式|PF1|2|PF2|2(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|及余弦定理求出|PF1|PF2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量. (2)焦点三角形的周长等于2a2c.设F1PF2，则焦点三角形的面积为b2tan .,反思与感悟,解答,从而|F1F2|2c2. 在PF1F2中，由勾股定理可得|PF2|2|PF1|2|F1F2|2，即|PF2|2|PF1|24. 又由椭圆定义知|PF1|PF2|224，所以|PF2|4|PF1|. 从而有(4|PF1|)2|PF1|24.,当堂训练,2,3,4,5,1,1.已知F1，F2是定点，|F1F2|8，动点M满足|MF1|MF2|8，则动点M的轨迹是 A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段,|MF1|MF2|8|F1F2|， 点M的轨迹是线段F1F2.,答案,解析,2,3,4,5,1,2.已知椭圆4x2ky24的一个焦点坐标是(0，1)，则实数k的值是 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,3.“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,答案,解析,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,4.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距 为2 ，则此椭圆的标准方程为_.,b2a2c216151，,答案,解析,2,3,4,5,1,5.已知椭圆 1上一点P与椭圆两焦点F1、F2的连线夹角为直角， 则|PF1|PF2|_.,48,答案,解析,由于PF1PF2，所以由勾股定理得|PF1|2|PF2|2|F1F2|2， 即|PF1|2|PF2|2100. 又由椭圆定义知|PF1|PF2|2a14， 所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|100， 即1962|PF1|PF2|100.解得|PF1|PF2|