高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9_7 抛物线课件 理 苏教版

9.7 抛物线,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,基础知识 自主学习,1.抛物线的概念 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离 的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的 ，定直线l叫做抛物线的 . 2.抛物线的标准方程与几何性质,知识梳理,相等,焦点,准线,1.抛物线y22px (p0)上一点P(x0，y0)到焦点 的距离PFx0 ，也称为抛物线的焦半径. 2.y2ax的焦点坐标为 ，准线方程为x . 3.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2 ，y1y2p2. (2)弦长ABx1x2p (为弦AB的倾斜角). (3)以弦AB为直径的圆与准线相切. (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ) (2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是( ，0)，准线方程是x .( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( ) (4)AB为抛物线y22px(p0)的过焦点F( ，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2 ，y1y2p2，弦长ABx1x2p.( ),考点自测,1.(2016四川改编)抛物线y24x的焦点坐标是_.,答案,解析,(1,0),对于抛物线y2ax，其焦点坐标为 ，,对于y24x，焦点坐标为(1,0).,2.过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则PQ_.,答案,解析,8,抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1. 根据题意可得，PQPFQFx11x21x1x228.,3.(2016苏州模拟)设坐标原点为O，抛物线y22x与过焦点的直线交于A、 B两点，则 _.,答案,解析,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知过焦点的直线斜率不为0，,设其直线方程为xky ，,则由 得y22ky10，,几何画板展示,4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.,答案,解析,y28x或x2y,设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0). 将P(2，4)代入， 分别得方程为y28x或x2y.,5.(2017南京月考)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_.,答案,解析,2,抛物线y22px(p0)的准线为x ，,圆x2y26x70，即(x3)2y216， 则圆心为(3,0)，半径为4. 又因为抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，,所以3 4，解得p2.,题型分类 深度剖析,题型一 抛物线的定义及应用 例1 设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则PBPF的最小值为_.,答案,解析,4,如图，过点B作BQ垂直准线于点Q， 交抛物线于点P1， 则P1QP1F.则有PBPFP1BP1QBQ4. 即PBPF的最小值为4.,几何画板展示,引申探究 1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求PBPF的最小值.,解答,由题意可知点(3,4)在抛物线的外部. 因为PBPF的最小值即为B，F两点间的距离，,即PBPF的最小值为 .,几何画板展示,2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.,解答,由题意知，抛物线的焦点为F(1,0). 点P到y轴的距离d1PF1，所以d1d2d2PF1. 易知d2PF的最小值为点F到直线l的距离，,故d2PF的最小值为,所以d1d2的最小值为 1.,几何画板展示,与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.,思维升华,跟踪训练1 设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_.,答案,解析,如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1， 由抛物线的定义知： 点P到直线x1的距离等于点P到F的距离. 于是，问题转化为在抛物线上求一点P， 使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小， 显然，连结AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，,此时最小值为,几何画板展示,题型二 抛物线的标准方程和几何性质 命题点1 求抛物线的标准方程 例2 已知双曲线C1： 1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_.,答案,解析,x216y, 1的离心率为2，,x22py(p0)的焦点坐标为 ， 1的渐近线方程为y ，,即y .,由题意得 2，p8.故C2的方程为x216y.,命题点2 抛物线的几何性质 例3 已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2p2，x1x2 ；,证明,由已知得抛物线焦点坐标为( ，0).,由题意可设直线方程为xmy ，代入y22px，,得y2 ，即y22pmyp20. (*),则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.,(2) 为定值；,证明,因为x1x2 ，x1x2ABp，代入上式，,(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.,证明,设AB的中点为M(x0，y0)， 分别过A，B作准线的垂线， 垂足为C，D， 过M作准线的垂线，垂足为N，,所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.,(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,思维升华,跟踪训练2 (1)(2016全国乙卷改编)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知AB ，DE ，则C的焦点到准线的距离为_.,答案,解析,4,不妨设抛物线C：y22px(p0)， 则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，,点A(x0， )在抛物线y22px上，82px0， 点A(x0， )在圆x2y2r2上， 8r2， 点 在圆x2y2r2上， 5 r2， 联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为4.,(2)抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N， 则 的最大值为_.,答案,解析,设AFa，BFb，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P. 由抛物线的定义知，AFAQ，BFBP， 在梯形ABPQ中，2MNAQBPab. AB2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab.,又ab( )2，所以(ab)2ab(ab)2 (ab)2 (ab)2，,题型三 直线与抛物线的综合问题 命题点1 直线与抛物线的交点问题 例4 已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若 0，则k_.,答案,解析,2,抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)， 与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2).,则x1x24 ，x1x24.,所以y1y2k(x1x2)4k ，y1y2k2x1x22(x1x2)416.,因为 (x12，y12)(x22，y22) (x12)(x22)(y12)(y22) x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80， 将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.,命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题 例5 (2016全国丙卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点. (1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；,证明,由题意知， ，设l1：ya，l2：yb，则ab0，,记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0. 由于F在线段AB上，故1ab0.,记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则,所以ARFQ.,几何画板展示,(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.,解答,设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，,由题意可得 ，所以x11，x10(舍去).,设满足条件的AB的中点为E(x，y).,当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得 (x1).,而 y，所以y2x1(x1).,当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)， 所以所求轨迹方程为y2x1(x1).,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式ABx1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,思维升华,跟踪训练3 (2016南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x24y的焦点为F，定点A( ，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FMMN_.,答案,解析,13,由题意得F(0,1)，直线AF的方程为 1，,将它与抛物线方程联立解得,M( )，准线方程为y1.,又交点在第一象限，,故易求得N( ，1).,由三角形相似性质得,典例 (16分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标； (2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值； (3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.,直线与圆锥曲线问题的求解策略,答题模板系列7,思维点拨,答题模板,(3)中证明 0.,规范解答,解 (1)抛物线C：x2 ，它的焦点F(0， ). 2分,(2)RFyR ，2 3，得m . 4分,(3)存在实数m，使ABQ定以Q为直角顶点的直角三角形.,联立方程 消去y，得mx22x20，,依题意，有(2)24m(2)0m . 7分,若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，,即2m23m20，m2或m ，,存在实数m2， 使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形. 16分,返回,解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤 第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程； 第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点)； 第三步：根据题目要求列出关于x1x2，x1x2(或y1y2，y1y2)的关系式，求得结果； 第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.,返回,课时作业,1.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果 12，那么抛物线C的方程为_.,答案,解析,y28x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为xmy ，,联立 消去x得y22pmyp20，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，,即抛物线C的方程为y28x.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,2.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_.,答案,解析,x1,y22px(p0)的焦点坐标为( ，0)，,过焦点且斜率为1的直线方程为yx ，,即xy ，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22p， p2，,抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,3.(2016苏北四市联考)设抛物线C：y23px(p0)的焦点为F，点M在C上，MF5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为_.,答案,解析,y24x或y216x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,抛物线C：y23px(p0)的焦点为F( ，0)，OF ，,以MF为直径的圆过点(0,2)， 设A(0,2)，连结AF，AM，可得AFAM，在RtAOF中，AF ，,根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A，,OAFAMF，可得在RtAMF中，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,C的方程为y24x或y216x.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,4.已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的值一定等于_.,答案,解析,4,若焦点弦ABx轴，则x1x2 ，x1x2 ，,y1p，y2p，y1y2p2， 4.,若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为yk(x )，,联立y22px，得k2x2(k2p2p)x 0，则x1x2 ，x1x2p ，,y1y2p2.故 4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,5.如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若BC2BF，且AF3，则此抛物线的方程为_.,答案,解析,y23x,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,如图，分别过A、B作AA1l于A1，BB1l于B1， 由抛物线的定义知：AFAA1，BFBB1， BC2BF，BC2BB1，BCB130， AFx60，连结A1F， 则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1， 则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，,抛物线方程为y23x.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,6.抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点 A(1,0)，则 的最小值是_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,抛物线y24x的准线方程为x1， 如图，过P作PN垂直直线x1于N， 由抛物线的定义可知PFPN，连结PA，,在RtPAN中，sinPAN ，,当 最小时，sinPAN最小，,即PAN最小， 即PAF最大， 此时，PA为抛物线的切线，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,设PA的方程为yk(x1)，,联立 得k2x2(2k24)xk20，,所以(2k24)24k40，,解得k1，所以PAFNPA45，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,7.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则AB_.,答案,解析,12,焦点F的坐标为 .,方法一 直线AB的斜率为 ，所以直线AB的方程为y ，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2 ，所以ABx1x2p 12.,方法二 由抛物线焦点弦的性质可得,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,8.(2016宿迁模拟)已知抛物线的方程为y22px(p0)，过抛物线上一点M(p， )和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则NFFM_.,答案,解析,12,由题意知直线l的方程为y ，,联立方程,得4x25pxp20，,NFFM12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,9.(2016徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y24x的焦点，该抛 物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为_.,答案,解析,抛物线y24x的准线为x1，焦点F(1,0)， 设点A(x0，y0)(x00，y00)， 由题意得x015，所以x04，所以 4x016，y04，,从而点A(4,4)，直线AF的斜率为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,10.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为 ，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则AB_.,答案,解析,6,抛物线y28x的焦点为(2,0)，准线方程为x2.,设椭圆方程为 1(ab0)，,由题意，c2， ，可得a4，b216412.,故椭圆方程为 1.,把x2代入椭圆方程，解得y3.从而AB6.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,11.已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,如图所示，由题意，可得OF1， 由抛物线的定义，得AFAM， AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比 为31，,AFAM3，,点A的坐标是(2， ).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,*12.设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_.,答案,解析,(2,4),1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,如图，,则,两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2).,当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条. 当k存在时，x1x2，,又y1y22y0，所以y0k2.,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,由CMAB，得k 1，,即y0k5x0，因此25x0，x03， 即M必在直线x3上. 将x3代入y24x，,得y212，则有,因为点M在圆上，所以(x05)2 r2，故r2 412416.,又 44(为保证有4条，在k存在时，y00)， 所以4r216，即2r4.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,13.(2016江苏苏北四市期中)已知抛物线C：x22py (p0)过点(2,1)，直线l过点P(0，1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A，连结AB. (1)求抛物线C的标准方程；,解答,将点(2,1)代入抛物线C的方程得2p4， 解得p2， 抛物线C的标准方程为x24y.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,