2018_2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.4用向量讨论垂直与平行训练案北师大版.docx

2.4 用向量讨论垂直与平行A.基础达标1已知A(1，2，11)，B(4，2，3)，C(6，1，4)，则ABC的形状是()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形解析：选C.(5，1，7)，(2，3，1)，由于0且|，所以BCCA，故选C.2已知空间三点A(0，2，3)，B(2，1，6)，C(1，1，5)若|a|，a分别与，垂直，则向量a为()A(1，1，1)B(1，1，1)C(1，1，1)或(1，1，1)D(1，1，1)或(1，1，1)解析：选C.设a(x，y，z)，(2，1，3)，(1，3，2)，由题意得得或3在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABACAA1，ABAC，E是BC的中点，则A1E与平面AB1C1的位置关系是()A相交但不垂直 BA1E平面AB1C1CA1E平面AB1C1 DA1E平面AB1C1解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系取|AB|1，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，E(，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)，(，1)，(1，0，1)，(0，1，1)，由于0，0，故选A.4.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A相交 B平行C垂直 D不能确定解析：选B.建立如图坐标系，A1(a，a，0)，B(a，0，a)，A(a，a，a)，C(0，0，a)，M(a，a，a)，N(a，a，a)，则(a，0，a)，(0，a，0)0，故，又因为平面BB1C1C，所以平面BB1C1C，所以MN平面BB1C1C.5已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等给出下列结论：A1MD1P；A1MB1Q；A1M平面DCC1D1；A1M平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A1 B2C3 D4解析：选C.设a，b，c，则ca，ca，即，故A1MD1P.因为cb，所以与不共线，故A1M和B1Q不平行，因为A1MD1P，D1P平面DCC1D1，D1P平面D1PQB1，所以A1M平面DCC1D1，A1M平面D1PQB1，故正确6已知点A(2，4，0)，B(1，3，3)，则直线AB与平面yOz交点C的坐标是_解析：令C的坐标为(0，y，z)，则由，得解得答案：(0，2，6)7设平面的一个法向量为(3，2，1)，平面的一个法向量为(2，k)，若，则k等于_解析：因为，所以(3，2，1)(2，k)，即，解得k.答案：8已知空间三点A(0，0，1)，B(1，1，1)，C(1，2，3)，若直线AB上一点M，满足CMAB，则点M的坐标为_解析：(1，1，0)，因为，所以(，0)，故M的坐标为(，1)，(1，2，4)，因为，所以0，即，故M的坐标为(，1)答案：(，1)9.如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD底面ABCD，E、F分别为AB、SC的中点证明：EF平面SAD.证明：建立如图所示的空间直角坐标系设A(a，0，0)，S(0，0，b)，则B(a，a，0)，C(0，a，0)，E，F，.取SD的中点G，连接AG，则.因为，所以EFAG，又AG平面SAD，EF平面SAD，所以EF平面SAD.10在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M平面EFB1.证明：分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，E，M(1，1，m)所以(1，1，0)，又E、F分别为AB、BC的中点，所以.又因为，(1，1，m1)，因为D1M平面FEB1，所以D1MEF且D1MB1E.即0，且0.所以所以m.故取B1B的中点M就能满足D1M平面EFB1.B.能力提升1已知平面内有一点A(2，1，2)，它的一个法向量为n(3，1，2)，则下列点P中，在平面内的是()A(1，1，1) B(1，3，)C(1，3，) D(1，3，)解析：选B.要判断点P是否在平面内，只需判断向量与平面的法向量n是否垂直，即判断n是否为0即可，因此，要对各个选项进行逐个检验对于选项A，(1，0，1)，则n(1，0，1)(3，1，2)50，故排除A；对于选项B，(1，4，)，则n(1，4，)(3，1，2)0，故选B.2设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足0，0，0，则BCD是()A钝角三角形 B锐角三角形C直角三角形 D不确定解析：选B.因为()()20，所以，为锐角同理可得，均为锐角，故BCD为锐角三角形3已知向量b(2，1，1)，点A(3，1，4)，B(2，2，2)若在直线AB上，存在一点E，使得b(O为原点)，则点E的坐标为_解析：(1，1，2)，因为，所以(，2)，故(3，1，24)，又因为b，所以b(3，1，24)(2，1，1)0，得，故E点的坐标为(，)答案：(，)4已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果(2，1，4)，(4，2，0)，(1，2，1)对于结论：APAB；APAD；是平面ABCD的法向量；.其中正确的是_(填序号)解析：因为(1，2，1)(2，1，4)0，所以，所以APAB；因为(1，2，1)(4，2，0)0，所以，所以APAD.故是平面ABCD的法向量，.因此正确的序号为.答案：5.如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，BB1，M是线段B1D1的中点(1)求证：BM平面D1AC；(2)求证：D1O平面AB1C.证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O(1，1，0)，D1(0，0，)，所以1(1，1，)，又点B(2，2，0)，M(1，1，)，所以(1，1，)，所以，又因为OD1与BM不共线，所以OD1BM.又OD1平面D1AC，BM平面D1AC，所以BM平面D1AC.(2)连接OB1.因为(1，1，)(1，1，)0，(1，1，)(2，2，0)0，所以，即OD1OB1，OD1AC，又OB1ACO，所以D1O平面AB1C.6(选做题)在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，C1B1的中点，G为CC1上任一点，tanECD4.(1)求证：AGEF；(2)在CC1上是否存在点G，使AG平面CEF，并说明理由解：因为ABCDA1B1C1D1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，设其边长为2a，ECD是EC与底面所成的角而ECDCEC1，所以CC14EC14a.以A为原点，AB，AD，AA1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系则A(0，0，0)，B(2a，0，0)，C(2a，2a，0)，D(0，2a，0)，A1(0，0，4a)，B1(2a，0，4a)，C1(2a，2a，4a)，D1(0，2a，4a)，E(a，2a