埃博拉病毒的预测与研究.doc

2015年西安建筑科技大学数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了2015年西安建筑科技大学数学建模竞赛的规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们接受相应处理结果。我们允许西安建筑科技大学数学建模协会公布论文，以供同学之间学习交流，西安建筑科技大学数学建模协会以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。参赛队号：223队选题题号：B参赛队员 ：队员1： 队员2：队员3：参赛队号： 223 选题题号： B 埃博拉病毒的预测与研究摘要 埃博拉病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒包括马尔堡病毒属， 属和埃博拉病毒属，其中埃博拉病毒属有五个不同的病毒种。该病毒是能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒。埃博拉病毒有传染性，主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感，经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染，当前主流的认知是，埃博拉病毒主要通过接触传播，而非通过空气传播；只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段，埃博拉病毒可能不具有高度的传染性。但是，埃博拉病毒可能经过变异后可以通过呼吸传播！根据病毒的传播速度，种群中相互感染的规律，隔离治疗人群后的治愈率，以及各种疫情控制措施的严格执行和用药效果等。利用线性回归方程，线性相关性正态性的分析及线性回归方程的控制以及SIR模型等方法，优化了病毒传播规律，种群中相互传染规律及隔离治疗人群后的治愈率以及各种疫情控制措施的严格执行和用药效果等问题。 关键词：埃博拉病毒 传染病 接触传播 线性回归 SIR模型281、问题的重述埃博拉病毒（又译作伊波拉病毒）能引起人类和灵长类动物产生埃博拉出血热的烈性传染病病毒，其生物安全等级为4级（艾滋病为3级，SARS为3级，级数越大防护越严格）。它具有有传染性，主要是通过病人的血液、唾液、汗水和分泌物等途径传播。各种非人类灵长类动物普遍易感，经肠道、非胃肠道或鼻内途径均可造成感染，病毒的潜伏期通常只有5天至10天，感染后25天出现高热，69天死亡。发病后14天直至死亡，血液都含有病毒。埃博拉病毒感染者有很高的死亡率（在50%至90%之间），致死原因主要为中风、心肌梗塞、低血容量休克或多发性器官衰竭。当前主流的认知是，埃博拉病毒主要通过接触传播，而非通过空气传播；只有病人在出现埃博拉症状以后才具有传染性。在疾病的早期阶段，埃博拉病毒可能不具有高度的传染性，在此期间接触病人甚至可能不会受感染，随着疾病的进展，病人的因腹泻、呕吐和出血所排出的体液将具有高度的生物危险性；存在似乎天生就对埃博拉免疫的人，痊愈之后的人也会对入侵他们的那种埃博拉病毒有了免疫能力。假设某地区有20万居民和3000只猩猩。人能以一定的概率接触到所有的猩猩，当接触到有传播能力的猩猩后有一定概率感染病毒，而人发病之后与猩猩的接触可以忽略。人与猩猩的潜伏期都为2周。研究人员统计了前40周人类和猩猩的发病数量和死亡数量等信息，研究回答以下问题： 1、根据猩猩的发病数量和死亡数量，建立一个病毒传播模型，动态描述病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播，并预测接下来的在猩猩中的疫情变化，并给出“虚拟猩猩种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据； 2、建立“虚拟种群”相互感染的疾病传播模型，综合描述人和猩猩疫情的发展，并预测接下来疫情在这两个群体中的发展情况，并以下述格式给出 “虚拟人类种群”在第80周、第120周、第200周的相关数据； 3、 假设在第41周，外界的专家开始介入，并立即严格控制了人类与猩猩的接触，且通过某种特效药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%。请预测接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况，对比第2问的预测结果说明其作用和影响，给出“虚拟人类种群”在第45周、第50周、第55周的相关数据，数据格式同问题2； 4、 请依据前述数学模型，分析各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫药物、检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。2、问题的分析本题中关于埃博拉病毒的传播，潜伏的周期，发病数，死亡数，隔离数以及人与猩猩相互感染后的相关性等几个方面开展讨论和研究。 模型一1中根据题中提供的猩猩的发病数量和死亡数量，利用SPSS建立出了所需要的各个数量随周期变化的散点图，再根据散点图的分布情况拟合出接下来疫情在猩猩中的发展趋势图形，再根据图形求出所画线的线性回归方程。由发展趋势图形观察出病毒在“虚拟猩猩种群”中的传播规律并且由线性回归方程预测出接下来的在猩猩中的疫情变化的方程。 模型二2中假设在理想条件下首先利用线性相关性及变量的正态性后再结合相互感染的媒介传染病模型根据人与猩猩的疫情发展，建立出各个变量之间相关性的散点图。并由此分析出相互感染的QQ图。利用双变量和偏变量画图的方法，判断出人与猩猩的相关性并建立出人与猩猩疫情发展的模型，预测出接下来疫情在两个群体中的发展规律。并求出所需数据。 模型三中先算出用特殊药物将隔离治疗人群的治愈率提高到了80%后的人群治愈率，在利用线性回归方程计算出此时人与猩猩的相关性。结合第二题所用的方法和数据预测出了接下来疫情在“虚拟人类种群”的发展情况。 模型四中根据前面三道题所用到的模型及方法，在利用SIR模型列出方程式，得出结果，证明出各种疫情控制措施的严格执行和药物（包括防疫药物，检疫药物和治疗药物等）效果的提高等措施对控制疫情的作用。3、模型的假设3.1 一般线性回归方程的假设Y=0+1X+Yi=0+1Xi+i i=1.2.3.n回归分析的目的是要通过样本回归函数（模型）尽可能准确的估计总体回归函数（模型）。为保证参数估计量具有良好的性质，要对模型提出若干假设。（一）、对模型设定的假设假设1：回归模型是正确设定的。包括选择正确的变量；选择正确的函数形式。（二）、对解释变量的假设假设2：解释变量X是确定性变量，不是随机变量，再重复抽样中取固定值。假设3：解释变量X在所抽取的样本中具有变异性，而且随着样本容量的无线增加，解释变量X的样本方差区域一个非零的有限常数。（三）、对假设干扰项的假设假设4：随机干扰项具有给定X条件下的零均值、同方差和序列不相关性。假设5：随机干扰项与解释变量X之间不相关。以上假设也称为线性回归模型的假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型。但这些假设都是针对普通最小二乘法的在违背这基本假设的情况下，普通最小二乘法估计量就不再是最佳线性无偏估计量，因此使用普通最小二乘法进行估计已无多大意义。3.2 SIR模型的假设 对于埃博拉病毒的数学模型研究，在1996年，就用SIR模型模拟过两个时段埃博拉病毒的爆发。由此他们得到：基本再生率R满足范围1.72=R=8.60时，意味着埃博拉病毒的传播性不如以前那么厉害，可以使他们减少潜在的死亡。近年来，也有一些文献对埃博拉病毒做了研究，现在在这些文献的基础上建立埃博拉病毒感染数量的数学模型。假设：把研究对象当成理想人群，总人数保持在固定水平N，无迁入迁出及其他原因引起的死亡现象，假设患病之后，治好的人都具有长期免疫力，同时设传染病的潜伏期很短，可以忽略不计，即任何人患病后立即成为传染者。在这种情况下，把居民分成易感者（S），传染者（I)，及移出者（R）三类，分别记为S(t）,I(t），R(t).三者之和保持常数之和N即S(t)+I(t)+R(t)=N，病人的日接触率为，日治愈率为，传染期接触数为。4、符号说明符号说明Y被解释变量X解释变量0、1待估参数随机干扰项N总人数S易感者I传染者R移出者接触率日治愈率传染期接触数5、 模型的建立与求解及结果的分析与检测5.1第一题 “虚拟猩猩种群”群体数量预测结果（单位：只）潜伏群体处于发病状态累计自愈累计因病死亡第80周第120周第200周利用SPSS画出如图所示的散点图，建立回归方程模型，利用回归方程预测所需数据，解出答案。Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的处于发病45.9011.74040周数20.5011.69040分析：1、动物的处于发病状态的图Correlations猩猩的处于发病周数Pearson Correlation猩猩的处于发病1.000-.473周数-.4731.000Sig. (1-tailed)猩猩的处于发病.001周数.001.N猩猩的处于发病4040周数4040Variables Entered/RemovedbModelVariables EnteredVariables RemovedMethod1周数a.Entera. All requested variables entered.b. Dependent Variable: 猩猩的处于发病Model SummaryModelRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate1.473a.224.20310.480a. Predictors: (Constant), 周数ANOVAbModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regression1201.86911201.86910.942.002aResidual4173.73138109.835Total5375.60039a. Predictors: (Constant), 周数b. Dependent Variable: 猩猩的处于发病CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)55.6353.37716.473.000周数-.475.144-.473-3.308.002a. Dependent Variable: 猩猩的处于发病得出 Sxy=10.480 可求出回归方程表达式为：y=55.635-0.475X 由于sig=0.002=117时，y =0。 动物的累计因病死亡的模型Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的死亡196.88109.44040周数20.5011.69040Correlations猩猩的死亡周数Pearson Correlation猩猩的死亡1.000.998周数.9981.000Sig. (1-tailed)猩猩的死亡.000周数.000.N猩猩的死亡4040周数4040Variables Entered/RemovedbModelVariables EnteredVariables RemovedMethod1周数a.Entera. All requested variables entered.b. Dependent Variable: 猩猩的死亡Model SummaryModelRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate1.998a.996.9957.360a. Predictors: (Constant), 周数ANOVAbModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regression465046.0751465046.0758585.607.000aResidual2058.3003854.166Total467104.37539a. Predictors: (Constant), 周数b. Dependent Variable: 猩猩的死亡CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)5.3882.3722.272.029周数9.341.101.99892.659.000a. Dependent Variable: 猩猩的死亡得出Sxy=7.360 回归方程：y=5.388+9.341x sig=0.0000.01 所以有相关性X=80时，y=752.668。X=120时，y=1126.308。X=200，y=1873.588X=78时，y=733.986。X=118时，y=1107.626。X=198，y=1854.906动物的自愈的模型Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的自愈98.4354.69040周数20.5011.69040Correlations猩猩的自愈周数Pearson Correlation猩猩的自愈1.000.998周数.9981.000Sig. (1-tailed)猩猩的自愈.000周数.000.N猩猩的自愈4040周数4040Variables Entered/RemovedbModelVariables EnteredVariables RemovedMethod1周数a.Entera. All requested variables entered.b. Dependent Variable: 猩猩的自愈Model SummaryModelRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate1.998a.996.9953.713a. Predictors: (Constant), 周数ANOVAbModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regression116123.7831116123.7838421.315.000aResidual523.9923813.789Total116647.77539a. Predictors: (Constant), 周数b. Dependent Variable: 猩猩的自愈CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)2.7381.1972.288.028周数4.668.051.99891.768.000a. Dependent Variable: 猩猩的自愈得出Sxy=3.713 的回归方程y=2.738+4.668x sig=0.0000.01 所以相关性不大人的发病状态与星星的自愈之间的关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的自愈98.4354.69040人的处于发病40.2514.83240CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)5.70520.005.285.777人的处于发病2.304.467.6254.932.000a. Dependent Variable: 猩猩的自愈得出回归方程y=5.705+2.304x sig=0.7770.01所以相关性不大人的发病状态与猩猩的死亡之间的关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的死亡196.88109.44040人的处于发病40.2514.83240CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)11.33340.032.283.779人的处于发病4.610.935.6254.932.000a. Dependent Variable: 猩猩的死亡得出回归方程y=11.333+4.610x sig=0.7790.01 所以相关性不大人的治愈和猩猩的发病状态之间的关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的处于发病45.9011.74040人的治愈303.10226.89440efficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)53.7112.74419.577.000人的治愈-.026.007-.498-3.540.001a. Dependent Variable: 猩猩的处于发病得出回归方程y=53.711-0.026x sig=0.0010.01 所以有相关性人的治愈和猩猩的自愈之间关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的自愈98.4354.69040人的治愈303.10226.89440CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)26.0682.03712.798.000人的治愈.239.005.99044.174.000a. Dependent Variable: 猩猩的自愈得出回归方程y=26.068+0.239x sig=0.0000.01 所以有相关性人的治愈和猩猩死亡之间关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的死亡196.88109.44040人的治愈303.10226.89440CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)52.0744.06612.807.000人的治愈.478.011.99044.285.000a. Dependent Variable: 猩猩的死亡得出回归方程y=52.074+0.478x sig=0.0000.01 所以有相关性人的死亡和猩猩的处于发病状态之间关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的处于发病45.9011.74040人的死亡816.35576.57140CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)54.0932.86018.911.000人的死亡-.010.003-.493-3.492.001a. Dependent Variable: 猩猩的处于发病得出回归方程y=54.093-0.10x sig=0.0010.01 所以有相关性人的死亡和猩猩的自愈之间关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的自愈98.4354.69040人的死亡816.35576.57140CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)21.4441.65412.965.000人的死亡.094.002.99456.742.000a. Dependent Variable: 猩猩的自愈得出回归方程y=21.444+0.094x sig=0.0000.01 所以有相关性人的死亡和猩猩死亡之间的关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的死亡196.88109.44040人的死亡816.35576.57140CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)42.8213.29512.995.000人的死亡.189.003.99456.996.000a. Dependent Variable: 猩猩的死亡得出回归方程y=42.821+0.189x sig=0.0000.01所以相关性不大人的隔离和猩猩死亡之间关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN猩猩的死亡196.88109.44040人的隔离29.4510.43240CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)26.85944.336.606.548人的隔离5.7731.421.5504.063.000a. Dependent Variable: 猩猩的死亡得出回归方程y=26.859+5.773x sig=0.5480.01 所以相关性不大人的处于发病状态与周数关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN人的处于发病40.2514.83240周数20.5011.69040Correlations人的处于发病周数Pearson Correlation人的处于发病1.000.579周数.5791.000Sig. (1-tailed)人的处于发病.000周数.000.N人的处于发病4040周数4040Variables Entered/RemovedbModelVariables EnteredVariables RemovedMethod1周数a.Entera. All requested variables entered.b. Dependent Variable: 人的处于发病Model SummaryModelRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate1.579a.336.31812.247a. Predictors: (Constant), 周数ANOVAbModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regression2880.06112880.06119.202.000aResidual5699.43938149.985Total8579.50039a. Predictors: (Constant), 周数b. Dependent Variable: 人的处于发病CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)25.1813.9476.380.000周数.735.168.5794.382.000a. Dependent Variable: 人的处于发病得出回归方程y=25.181+0.735xX=80，y=83.981。X=120，y=113.381。X=200，y=319.181。X=78，y=82.511。X=118，y=229.911。X=198，y=170.711。X=45时，y=58.256。X=50时，y=61.931。X=55时，y=65.606。X=43时，y=56.786。X=48时，y=60.461。X=53时，y=64.136。人的治愈与周数关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN人的治愈303.10226.89440周数20.5011.69040Correlations人的治愈周数Pearson Correlation人的治愈1.000.996周数.9961.000Sig. (1-tailed)人的治愈.000周数.000.N人的治愈4040周数4040Variables Entered/RemovedbModelVariables EnteredVariables RemovedMethod1周数a.Entera. All requested variables entered.b. Dependent Variable: 人的治愈Model SummaryModelRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate1.996a.992.99220.247a. Predictors: (Constant), 周数ANOVAbModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regression1992171.11211992171.1124859.425.000aResidual15578.48838409.960Total2007749.60039a. Predictors: (Constant), 周数b. Dependent Variable: 人的治愈CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)-93.2276.525-14.288.000周数19.333.277.99669.710.000a. Dependent Variable: 人的治愈得出回归方程y=-93.227+19.333xX=80，y=1453.413。X=120，y=2226.733。X=200，y=3773.373。X=45时，y=776.758。X=50时，y=873.423。X=55时，y=970.088。人的死亡与周数关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN人的死亡816.35576.57140周数20.5011.69040Correlations人的死亡周数Pearson Correlation人的死亡1.000.998周数.9981.000Sig. (1-tailed)人的死亡.000周数.000.N人的死亡4040周数4040Variables Entered/RemovedbModelVariables EnteredVariables RemovedMethod1周数a.Entera. All requested variables entered.b. Dependent Variable: 人的死亡Model SummaryModelRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate1.998a.996.99635.854a. Predictors: (Constant), 周数ANOVAbModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regression1.292E711.292E710047.548.000aResidual48848.863381285.496Total1.296E739a. Predictors: (Constant), 周数b. Dependent Variable: 人的死亡CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)-192.80011.554-16.687.000周数49.227.491.998100.237.000a. Dependent Variable: 人的死亡得出回归方程y=-192.8000+49.227xX=80，y=3745.36。X=120，y=5714.44。X=200，y=9652.6X=45时，y=2022.415。X=50时，y=2268.55。X=55时，y=2514.685。人的隔离与周数关系Descriptive StatisticsMeanStd. DeviationN人的隔离29.4510.43240周数20.5011.69040Correlations人的隔离周数Pearson Correlation人的隔离1.000.505周数.5051.000Sig. (1-tailed)人的隔离.000周数.000.N人的隔离4040周数4040Variables Entered/RemovedbModelVariables EnteredVariables RemovedMethod1周数a.Entera. All requested variables entered.b. Dependent Variable: 人的隔离Model SummaryModelRR SquareAdjusted R SquareStd. Error of the Estimate1.505a.255.2359.124a. Predictors: (Constant), 周数ANOVAbModelSum of SquaresdfMean SquareFSig.1Regression1080.67511080.67512.982.001aResidual3163.2253883.243Total4243.90039a. Predictors: (Constant), 周数b. Dependent Variable: 人的隔离CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant)20.2192.9406.877.000周数.450.125.5053.603.001a. Dependent Variable: 人的隔离得出回归方程y=20.219+0.450XX=80时，y=56.219。X=120，y=74.219。X=200，y=110.219X=45时，y=40.469。X=50时，y=42.719。X=55时，y=44.969。QQ图看出个随机变量都符合正态分布双变量人与猩猩各种因素之间的相关性Correlations人的处于发病人的治愈人的死亡人的隔离猩猩的处于发病猩猩的自愈猩猩的死亡人的处于发病Pearson Correlation1.517*.544*.989*-.136.625*.625*Sig. (2-tailed).001.000.000.403.000.000N40404040404040人的治愈Pearson Correlation.517*1.999*.436*-.498*.990*.990*Sig. (2-ta