曲线和方程（第三课时）.doc

袁肂蚀羇膀肁莀螀肆膀蒂羆羂腿薅蝿袈膈螇薁芆膈蒆袇膂膇蕿蚀肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿芃薅蚆肅节蚈袂羁节莇蚅羇芁薀羀袃芀蚂螃膂艿莂羈肇芈蒄螁羃芇薆羇衿莆虿蝿膈莆莈薂肄莅薀螈肀莄蚃蚁羆莃莂袆袂莂蒅虿膁莁薇袄肇莀虿蚇羃蒀荿袃衿葿蒁蚅膇蒈蚄袁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅肃薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆膀蒂羆羂腿薅蝿袈膈螇薁芆膈蒆袇膂膇蕿蚀肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿芃薅蚆肅节蚈袂羁节莇蚅羇芁薀羀袃芀蚂螃膂艿莂羈肇芈蒄螁羃芇薆羇衿莆虿蝿膈莆莈薂肄莅薀螈肀莄蚃蚁羆莃莂袆袂莂蒅虿膁莁薇袄肇莀虿蚇羃蒀荿袃衿葿蒁蚅膇蒈蚄袁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅肃薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆膀蒂羆羂腿薅蝿袈膈螇薁芆膈蒆袇膂膇蕿蚀肈膆蚁袅羄膅莁蚈袀膄蒃袃腿芃薅蚆肅节蚈袂羁节莇蚅羇芁薀羀袃芀蚂螃膂艿莂羈肇芈蒄螁羃芇薆羇衿莆虿蝿膈莆莈薂肄莅薀螈肀莄蚃蚁羆莃莂袆袂莂蒅虿膁莁薇袄肇莀虿蚇羃蒀荿袃衿葿蒁蚅膇蒈蚄袁膃蒇螆螄聿蒆蒆罿羅肃薈螂袁肂蚀羇膀肁莀螀肆膀蒂羆羂腿薅蝿袈膈螇薁芆膈蒆袇膂膇蕿蚀肈膆蚁袅羄膅莁 曲线和方程(第三课时)一直线方程的概念以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解。这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线就叫做这个方程的直线。二以我们以前所学的抛物线(曲线)方程为例：yy=x2O x 这条抛物线是所有以方程y=x2的解为坐标的点组成的。 抛物线上的点的集合可以写成：(x,y)|y=x2,x,yR 抛物线方程实质上是一个关于x,y的二元方程。f(x,y)=x2-y=0一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线。特别地，如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P(x0,y0)在曲线上C的主要条件是f(x0,y0)=0。三求曲线方程的五个步骤1 平面解析几何研究的主要问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程，研究平面曲线的性质。2 求曲线方程的五个步骤(1)建立适当的坐标系，用有序实数对例如(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；(建系设点)(2)写出适合条件P的点M的集合M|p(M); (求几何点集)(3)用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (几何代数化)(4)化方程f(x,y)=0为最简形式；(化简方程)(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。注意：一般地，化简前后的方程的解集都是相同的，故步骤五可以省略不写。如有特殊情况，再适当予以说明。 第五步可简述为：查漏除杂3.曲线C关于点A(或直线l)对称 如果曲线C上任意一点关于点A(或直线l)的对称点仍然在曲线C上，则称曲线C关于点A(或直线l)对称。4.曲线C1与曲线C2关于点A(或直线l)对称 如果曲线C1上任意一点关于点A(或直线l)的对称点在曲线C2上，曲线C2上任意一点关于点A(或直线l)的对称点也在曲线C1上，则称曲线C1与曲线C2关于点A(或直线l)对称重点题型回顾1方程表示什么曲线？并画出图形。解由已知方程得或x=1.yxo(1,0)2抛物线P：y=ax2+bx+c(a0)过两点(1,2),(-2,-1)(1)用a的代数式表示,则b= c= ，(2)对任意a0，抛物线P均不过点(m,m2+1),则m= 。解：(1)(2)由(1)知y=ax2+bx+c=ax2+(a+1)x+(1-2a),因为对任意a0，抛物线P均不过点(m,m2+1)，所以am2+(a+1)m+(1-2a)m2+1对一切a0都成立,即关于a的方程(m2+m-2)a+(m-m2)=0无非零解,其充要条件是，即m=-2；y当只有零解时，充要条件是，即m=0。所以m=-2或m=0。3.若“坐标满足方程F(x,y)=0的点都在曲线C上”是假命题，那么下面的命题中，正确的是( )A.一定有不在曲线C上的点的坐标能满足方程F(x,y)=0；B.坐标能满足方程F(x,y)=0的点有些在C上，有些不是；C.坐标满足方程F(x,y)=0的点都不在曲线C上；D.一定有曲线C上的点的坐标不满足方程F(x,y)=0。4. 如果点P(x,y)在直线l上，那么点Q(x-y,y-4x)也在直线上，求直线l的方程。解法一设l的方程为Ax+By+C=0(A、B不同时为0)因点P、Q均在l上，故有整理得若,这是不可能的，故C=0。由，故所求的直线方程为.f解法二本题可以看作是给出了一个点集到其自身的一个映射f.即显然，原点O(0,0)符合这样的映射，故原点必在所求直线上。又设P(x,y)为异于原点的任意一点，由O、P、Q三点共线可得：，化简并整理得：x(y-4x)=y(x-y),即y2=4x25已知数列an是公差为d(d0)的等差数列，其前n项和为Sn。(1)求证:点在同一直线l1上；(2)若过点M1(1,a1), M2(1,a2)的直线为l2, l1、l2的夹角为，求证：。证明(1)设所以点都在直线上。同类对比1若不等式x2-2x+5(x+3)a当x-1,1 时恒成立，求实数a的取值范围。同类对比2若不等式x2-2x+5(x+3)a当a-1,1 时恒成立，求实数x的取值范围。同类对比3已知两直线l1:a1x+b1y+4=0和l2:a2x+b2y+4=0的交点为P(2,3)，求过两点A(a1,b1)和B(a2,b2)的直线方程。6xyoA(-1,0)B(2,0)M(x,y)点A(-1,0),B(2,0),动点M满足2MAB=MBA,求点M的轨迹方程。解(1)当点M在x轴上方时，设点M(x,y),MAB=,则MBA=2，根据二倍角的正切公式得：。化简得：y(3x2-y2-3)=0, 即：y=0或3x2-y2-3=0(y0)2MAB=MBA,|AM|BM, x1;当MBA为直角时，MB的斜率不存在，此时MBA为等腰直角三角形，点M(2,3)或M(2,-3)在曲线上且符合题意；当点M为线段AB内分点时，满足题设2MAB=MBA,y=0(-1x0)上运动，作MM1x轴于点M1，求线段MM1中点P的轨迹。解：设中点P(x,y)，点M(x1,y1)，则M1 (x1,0)。根据中点公式有，点M在圆上x2+y2=a2(a0)上运动，x12+y12=a2，转移代换得x2+(2y)2=a2中点P的轨迹方程是x2+4y2=a2。变式一定点A(a,0)(a0)，动点P在抛物线y=x2上，点A关于点P的对称点为Q，求点Q的轨迹。解：设点Q(x,y),P(x1,y1), 点P在抛物线上则有y1=x12，根据对称法则得转移代换得即。yBAMPO x变式二如右图，过圆x2+y2=r2的一定点P(m,n)作弦AB，求AB中点M的轨迹方程。提示设A(x1,y1)，B(x2,y2)，中点M(x,y)。(x2+x1)(x2-x1)+(y2+y1)(y2-y1)=02x(x2-x1)+2y(y2-y1)=0=.又，所求方程是x2+y2-mx-ny=0.变式三直线L过定点P(1,2)，则L被曲线C：y2=2x所截弦AB中点M的轨迹方程是 .yP(1,2)A(x1,y1)B(x2,y2)M(x,y)解由于点A，B均在曲线y2=2x上，所以，两式相减得y22-y12=2(x2-x1), 若x2x1，则有， 注意两个代换：(1) (共线)；(2)y2+y1=2y(中点)于是可得化简并整理得(y-1)2=x.当过点P的直线与y轴平行(即x2=x1)时，由A(1,1),B(1,-1)知此时弦AB中点坐标为(1,0)符合方程(y-1)2=x.故所求轨迹方程为(y-1)2=x.3.交轨法：在求两直线(或曲线)的交点轨迹方程时，可恰当地引进参数，写出两动直线(或曲线)的方程，然后消去参数，得到所求的交点的轨迹方程。yxA(-a,0)A(a,0)oM(x,y)P(0,t)P(0,)例3.已知线段AA=2a(a0),直线l垂直平分AA于O，在l上取两点P、P，使有向线段满足，求两直线AP，AP的交点M的轨迹方程。提示点M的坐标满足方程组： 即：例4. 求两直线ax+y=1与x-ay-1=0的交点轨迹方程。提示由ax+y=1 得ax=1-y, axy=y-y2 由x-ay-1=0得ay=x-1, axy=x2-x 联立和并消去axy得x2-x=y-y2,得x2+y2-x-y=0。L2P(1,3)ABL1yO xM例5过点P(1,3)作两条互相垂直的直线L1和L2，它们分别与x轴、y轴交于A、B两点，求线段中点的轨迹方程。提示设点M(x,y)，则A(2x,0),B(0,2y),当L1和L2斜率都存在时有，化简得x+3y-5=0.容易检验L1和L2斜率不存在时AB中点M的坐标也符合x+3y-5=0，所以线段中点M的轨迹方程为x+3y-5=0。针对性练习1在ABC中边BC=2a(a0),若三角形三内角满足sinC-sinB=sinA,求点A的轨迹方程。B(-a,0) O C(a,0) xA(x,y)cb2ay提示由已知得2RsinC-2RsinB=(2RsinA),根据正弦定理得c-b=a.即|AB|-|AC|=|BC|所以移项得，平方并化简得2直线y=x+b和曲线有两个不同交点，则b的取值范围是 .y=x+y=x+1y-1 O 1 x答案: 1b.变式一 解不等式解：不等式可化为1123 x变式二 已知关于x的不等式m(x2-1)2x-1，其中，求满足不等式的所有x值的集合。提示 设f(m)=(x2-1)m-(2x-1)，它的定义域为，它是m的一次函数或常数函数，故它是单调函数或常数函数,为使f(m)0，需且仅需变式三如果只有一个实数满足x2+ax+54,则a= .提示原题相当于不等式x2+ax+10的解只有一个，则二次函数f(x)= x2+ax+1的图象与x轴相切,如右图所示：此时=0,即a2-4=0,a=2.变式四 若抛物线y=x2+mx+2与以A(0,1),B(2,3)为端点的线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围。提示线段AB的方程为y=x+1(0x2)联立方程组，消去y得： x2+(m-1)x+1=0(0x2). 2xyo原题则相当于：当方程x2+(m-1)x+1=0在区间0,2上有两个相异实根时实数m的取值范围。令f(x)=x2+(m-1)x+1,则有解得：yxoA(3,0)P(x1,y1)M(x,y)313.已知定点A(3,0),P是单位圆x2+y2=1上的动点，AOP的平分线交PA于M，求M点的轨迹方程。解答设M(x,y), P(x1,y1)，x12+y12=1。由角平分线性质可知：点M分的比=3。，代入x12+y12=1得：yxoAB300300PQ300。4.如右图,射线OA、OB分别与x轴、y轴所成的角均为300,已知线段PO的长度为2,并且保持线段的端点P(x1,y1)在射线OA上, Q(x2,y2)在射线OB上运动。(1)试求动点M(x1,x2)的轨迹C的方程；(2)求轨迹C上的动点N到直线x-y-3=0的距离的最大值和最小值。CCyxAB1BoPC15.动直线l过定点A(2,0)且与抛物线y=x2+2相交于不同的两点B和C，点B和C在x轴上的射影分别是B1和C1。如右图P是线段BC上的点并满足关系式|BP|: |PC|=|BB1|: |CC1|,求POA的重心G的轨迹方程。6.设点P(x,y)(x0)为平面直角坐标系xoy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M(,0)的距离比点P到y轴的距离大。(1)求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线；(2)若直线l与点P的轨迹相交于A、B两点,且OAOB,点O到直线l的距离为，求直线l的方程。ACDEFBTyxo(B)7.有一张长为8，宽为4的矩形纸片ABCD，按图示方法进行折叠，使每次折叠后点B都在AD边上，此时将B记为B，过B作BT/CD交EF于T点，求T点的轨迹方程。提示如图建立坐标系，则A(0,4),B(0,0),设T(x,y),|BE|=t(2t4)则|BE|=t,|AE|=4-t,又EF为BB的中垂线，所以直线EF方程为： 又BT方程为： 则由消去t得：8ABC顶点A(0,3),BC边在x轴上滑动，|BC|=2,求(1)ABC外心M的轨迹方程；yA(0,3)B(t,0)C(t+2,0)xx=t+1M(x,y)(2)过点P(0,2)且被轨迹截得弦长为的直线的方程。y提示(1)AB的中垂线方程：yxoPABBC的中垂线方程：x=t+1代入消去参数t即可得：(2)显然所求直线的斜率是存在的设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB斜率为k,则AB：y=kx+2.联立方程组消去y得：x2-6kx-4=0.根据韦达定理得：，由两点间距离公式可得： 9 1 化简得：9分析方程(2x+3y-5)()=0,并在平面直角坐标系中作出该方程所表示的曲线。yo 1 2 3 4 x分析原方程等价于：2x+3y-5=0(x3)或x=4。 蚁袄芇蒆袇节芇虿蚀膈芆螁羅肄芅蒁螈羀芄薃羃袆芃蚅螆膅莂莅羂肁莁蒇螄羇莁蕿羀袃莀螂螃芁荿蒁蚆膇莈薄袁肃莇蚆蚄罿莆莆衿袅蒅蒈蚂膄蒅薀袈肀蒄蚃蚀肆蒃蒂袆羂蒂薅蝿芁蒁蚇羄膆蒀蝿螇肂葿葿羂羈膆薁螅袄膅蚄羁膃膄莃螄腿膃薅聿肅膃蚈袂羁膂螀蚅芀膁蒀袀膆膀薂蚃肂艿蚄袈羈芈莄