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高等数学课程教学辅导摘要：引入微分后,导数也叫做微商,即函数的微分与自变量的微分之商.定积分在几何上的应用不定积分的概念 (1)原函数与不定积分定义 设是定义在.关键词：微分,几何类别：专题技术来源：牛档搜索（Niudown.COM）本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！高等数学课程教学辅导函数辅导学习要求1 理解函数的概念及基本性质。2 掌握函数的四则运算，理解复合函数的概念。3 了解反函数的概念及互为反函数的函数图像之间的关系。4 了解初等函数的概念及基本初等函数，如：多项式、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的图像和性质。内容指导1 函数概念函数概念是微积分的基础，也是本章的重点。理解函数概念需要把握以下几个方面：（1）对应法则（规律）和定义域是函数定义中的两个要素。在函数的定义中，包含这三个因素，即定义域、对应法则和值域，当定义域和对应法则确定后，对于定义域中每一个数，都可得到对应的函数值，从而函数值的范围（值域）就完全确定了，所以定义域和对应规律是两个要素。因此，两个函数仅当它们的对应规律和定义域都相同时，才是两个相同的函数。（2）关于由解析表达式给出的函数的定义域，分两种情况：在不考虑函数的实际意义时，约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集；在实际问题中，还需根据问题的实际意义来确定。（3）记号和，有着本质的区别。表示对应规律（也可以用，表示），而， 是表示根据对应规律 所取得对应于值的数 ，即处的函数值。由于历史的原因，习惯上把“定义域上的函数”说成是“是的函数”或“函数，”。教材与本书下面的叙述中，也沿用习惯上的说法。2. 函数的性质理解函数的基本性质是本章的另一个重点。（1）奇偶性奇函数、偶函数的定义中要求定义域关于原点对称。它们的图像特点是：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称。按函数的奇偶性对函数进行分类，可分为四类：既奇又偶的函数，只有；奇函数，如等；偶函数，如等；非奇非偶函数，如等。判断函数的奇偶性大致有下列三种方法：（）用奇、偶函数的定义，主要考察是否与-，相等。例如，=由于= =，故它是偶函数。（）利用一些已知函数的奇偶性及下列准则：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的代数和是偶函数；奇函数与偶函数的和既非奇函数，也非偶函数；两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；奇函数与偶函数的乘积是奇函数。例如，我们已经知道（常数函数），是偶函数，是奇函数，则用上列准则就容易得到是偶函数，是非奇非偶函数，而是奇函数。（2）单调性在函数单调性的定义中，需要注意:()在讨论的区间应当含在函数的定义域中，可能在其定义域内的不同区间内有不同的单调性。（），是应内任意两个数，且 ,总有()()(单调递增)或 ()()(严格单调递减)相应的区间成为的单调递增（或严格单调递增、或单调递减、或严格单调递减）区间。（）在内单调递增（严格单调递增），其图像特点是：沿的正向观察时，曲线不下降（上升），在内单调递减（严格单调递减）时，沿正向观察，曲线不上升（下降）。（）在定义域内单调递增（单调递减），则称为单调递增（单调递减）函数。单调递增、单调递减函数统称为单调函数。例如， 都是单调函数；而不是单调函数，因为它在区间（-，0）内单调递减，在（0，+）内单调递增。讨论一个具体函数，特别是基本初等函数的单调性，可以借助于图像，依据图像的特点来判断、理解其单调性。为此，要求学员熟记主要的几种基本初等函数的图像。3. 反函数反函数的实质是它所表示的对应规律，至于用什么字母来表示反函数中的自变量与因变量是无关紧要的。我们习惯于自变量用表示，因变量用表示，因此函数的反函数通常表示成。求反函数的步骤是：先从函数中解出，再置换与，就得反函数。函数的图像和它的反函数的图像关于直线是对称的。但要注意，与是同一条曲线。用这个结论可帮助我们记忆一些函数的图像。如，和互为反函数，它们的图像是关于对称的。4. 基本初等函数（1） 幂函数： 为实数 幂函数的定义域与的取值有关，例如，的定义域是 ，的定义域是00,，的定义域是0，等等。但不管取什么实数，不同的幂函数的定义域都有一个公共部分：0，函数值域也有公共部分0，且所有幂函数的图像都过点（1，1）。 读者应熟记经常遇到的幂函数 的图像，并能借助于图像理解他们的奇偶性、单调性和有界性等性质。对于其他幂函数，可先讨论每个幂函数的定义域及性质，再大致做出图像。（2） 指数和对数函数 指数函数： 对数函数： 只要，且，指数函数的定义域都是；对数函数的定义域都是；指数函数的图像都过点（0，1），对数函数的图像都过点（1，0）；且对于同一个，与互为反函数。指数函数与对数函数的图像都分成两类：一类是；另一类是.读者应熟记这两类图像的特点，并借助于图像理解它们的单调性。在高等数学中，最常用的指数函数与对数函数是以为底的，即与。这里，是一个无理数，=2.718 281（3）三角函数正弦函数： 余弦函数：正切函数： 余切函数：正割函数： 余割函数：它们统称三角函数。需要注意的是：（）自变量用实数（理解为弧度）。（）在六个三角函数中，着重研究前四个。读者应理解并掌握这四个三角函数的定义域，函数值域；周期与主值区间：函数 主值区间 并熟练的做出它们的图像。 （）除是偶函数外，其余的, , 都是奇函数；在主值区间上, , 单调递增，, 单调递减，从而在主值区间上，它们都有反函数，称为反三角函数。5 初等函数有常数与上述各类基本初等函数经过有限此次四则运算和有限次复合，并由一个式子表示的函数称为初等函数。6 四则运算和复合函数微积分主要研究的对象是初等函数，而初等函数是有基本初等函数经过四则运算和复合运算得到，因此，掌握函数的四则运算与复合运算是本章的又一个重点。（1）四则运算 设, 的定义域分别是与，若非空，则对于，称, , 为, 的和（差）、积、商。 对于商函数的定义域，要附加条件。例如：, 由得，因此，其定义域应从，1中除去，即（0，1）是的定义域。 （2）复合函数（复合运算）先看一个例子。设, 。考察, 时，能否构成复合函数。或者说，复合运算是否有意义？时，有，且的定义域，而的值域。由于非空，所以是复合函数，其定义域为，即-1,1。当时，有，, 但, 从而为空集。所以不是复合函数。上例表明：函数与函数可以复合成为函数，或者说，能作复合运算的前提是，的定义域与的值域之交集要非空；否则不能成为复合函数，或运算无意义。另外，在讨论复合函数时还要注意：1 两个以上函数的复合与两个函数复合过程相类似。2 分解一个复合函数，正好是将几个函数复合一个函数的相反过程。具体分解时，可以从复合函数的外层往里逐层分解。极限辅导学习要求1. 理解数列极限和函数极限的概念。2. 掌握极限的运算法则，了解级数概念。3. 了解函数连续的概念，知道闭区间上连续函数的性质。4. 会求一些数列和函数的极限。内容指导极限概念是微积分学中最重要、最基本的概念之一，也是微积分学的基础。理解了数列极限与函数极限的概念，掌握了极限运算，本章的其它一些概念，如函数的连续性等概念，也就容易了解它们的实质。因此，本章的重点是：理解数列极限和函数极限的概念，掌握极限的运算法则，而前者又是本章的难点。1 数列极限（1）数列的一些概念 依照某中对应法则排列着的一列数叫做数列，记作其中第项称为通项。知道了通项，该数列就容易写出，所以数列也可简表为 如果与函数概念联系起来，那么数列是一种特殊的函数，即其自变量只取正整数的函数，称为整标函数。因此，又可以记为将数列看成整标函数，有利于将数列极限的概念引申到函数极限的概念。与函数的单调性、有界性概念联系起来，容易得到数列的单调性，有界性概念。设数列如果数列的项满足（即）就称是单调递增数列；如果数列的项满足 （即）就 称 是 单 调 递 减 数 列。这两种数列统称为单调数列。如果数列的所有项的绝对值都小于某一个与无关的正数，即 （）就称为有界数列；否则，称它为无界数列。例如，数列是有界数列，因为对一切正整数 都有 又如，数列是单调有界数列。容易想象，当单调递增数列有界，或单调递减数列有界时，则在数轴上表示数列各项的点都朝着一个方向移动，而又不能超过某一界限，终究要聚集在某一点附近。于是，单调有界数列必定有极限。（2）理解数列极限的概念，可以遵循“几何直观描述定义精确定义”这样一个过程。例如，数列借助于图2.1看出：当项数无限增大时无限接近于1。我们就说，1为数列的极限，记作但是，观察的结果是否准确？需要用数量关系加以表达。否则，“无限增大”，“无限接近于1”都是含糊不清的。所谓当无限增大时无限接近1，无非是说，随着无限制的增大，距离将任意地小。也就是说，无论你举出一个多么小的正数来（准备同距离作比较），当充分大时，距离一定会变得比你所举出的那个正数更小些。譬如，拿小正数同距离比较吧，当充分大时，例如当时，就有不等式 倘若拿别的更小的正数同这个距离作比较，情况也是这样，当充分大时，例如当时，也有不等式 如此等等。所以概括地讲，所谓“充分大时，距离可以任意地小”，指的是：对于任意给定的一个正数，不管它多么小，当充分大时（例如，总可以找到正整数当时）不等式 恒成立。这样，数列的极限为1的含义就一步一步确切了：当无限增大时，无限接近于1.当充分大时，可以任意小.对于任意给定的正数，不管它多么小，总存在一个正整数，使得当时，恒有一般地，有下列定义。定义 如果对于无论怎样小的正数，总存在一个正整数，使得当时，不等式恒成立，则称常数是数列的极限，记作 或 如果为数列的极限，便说收敛于，一个数列如有极限，便说它是收敛的，否则称它为发散的。在定义中，和这两个量的作用在于：定量地刻画了（变量）和（常量）之间的接近程度。必须是任意的，并且一旦已经给定了，就要求一定存在一个相应的正整数，使时，不等式成立。因此，正整数是与正数相联系的。如果换成另一正数，那么，就要换成另一个正整数。一般来说，越小，与它相联系的就越大。（3）数列极限的几何意义我们先介绍邻域的概念。设与是两个实数，且把满足不等式的实数的全体叫做的邻域，点叫做邻域的中心，叫做邻域的半径。容易看出，点的邻域就是以点为中心，而长度为的开区间。的几何意义是：对的任意邻域，总可以找到这样一个（数列的项数），当时（即自项以后），所有的点都落在该邻域内，而只有有限个（至多只有个），在这邻域以外（图2.4）。也就是说，不管多么小，点几乎全部聚集在点的近旁。可见，数列极限的“”定义，精确的描述了当无限增大时无限接近于的这种变化趋势。因此，称它为精确定义。2 函数极限（1）时的极限如果把数列看作整标函数，那么，函数极限与数列极限的区别仅在于：在求极限时，函数的自变量取实数值，其值连续地无限增大；而数列的自变量只取正整数值，无限增大。例如，与的对应法则完全相同，只是自变量和取值范围不同。的含义是：函数的自变量取负实数值，且其绝对值无限增大时，函数无限接近于常数。当自变量取实数值，其绝对值无限增大时，函数无限接近于常数，就记作需要注意的是，包含了与这两种情况。因此，极限成立的充要条件是 例如，设则 成立的充要条件是 （2） 的极限包含了与两种情况。如图2.8所示，表示从的左侧趋向于，即，且；表示从的右侧趋向于，即，且。当从的左侧无限趋向于时，如果函数的值无限趋向于常数，则称为时函数的极限（也称为函数在处的左极限），记作 或 类似地，当从的右侧无限趋向于时，如果函数的值无限趋向于常数，则称为时函数的极限（也称为函数在处的右极限），记作 或 当从的左、右两侧同时无限趋向于时，如果函数的值无限趋向于常数，则称为时函数的极限，记作根据，的含义，以及左、右极限的定义，函数极限的充要条件是：左、右极限存在并且都为，即或写成3 无穷大与无穷小（1）无穷小在自变量的一定趋向下，如果函数的极限为，则称为无穷小量，简称无穷小。同样地，当数列 的极限为时，则是无穷小。为了讨论问题方便，把无穷小写成： 或 需要注意的是：无穷小是极限为的变量，决不能把任何一个很小的数，例如等等，说成是无穷小；可是为无穷小，但无穷小不是数；自变量的趋向不同，变量趋向也可能不同，如，则当时， （即为无穷小）当时， （不是无穷小）无穷小有两个性质：有限个无穷小的代数和、乘积仍是无穷小；有界变量与无穷小的乘积仍是无穷小。这两个性质为我们计算极限带来方便。例如，当时，所以 ， 又如，当时，而（即为有界变量），故两个无穷小比较的实质是：比较两个无穷小收敛于的“速度”的快慢。方法是计算它们比的极限。（2）无穷大在自变量的一定趋向下，函数（或 ）的极限可能存在，也可能不存在。例如，对，有 但时极限不存在。又如，对，当及时与的极限也不存在。在极限不存在的情况中又可分为两类：一类是函数值的绝对值无限增大，如；另一类是函数值在作摆动，如，。这两类中的前者，称为无穷大量，简称无穷大，记作或。需要说明的是：这里省略了自变量的趋向，主要是为了强调的趋向；记号不表明有极限，而是指无限增大；无穷大是指绝对值可以无限增大的变量，决不能与任何一个很大的数混为一谈。无穷大与无穷小有如下联系：在自变量的同一变化过程中，若，则；若，且，则。在自变量的某一趋向下，只取正值无限增大，或只取负值而绝对值无限增大，那么我们就称为正无穷大量或负无穷大量（简称正无穷大或负无穷大），记作 或 也可记作 或 例如， ，又如， ， 4 连续与间断的概念（1）函数的增量对于函数，当自变量由变化到，既有变化时，相应的函数有变化（图2.11）称它为函数在处的增量（或改变量）。若令，则函数增量的另一种写法为当时，在的右侧；而时，在的左侧。显然，若，则；若，则。（2）连续许多自然现象，如液体与气体的流动，气温的变化，以及动植物的生长等，都是随着时间在连续不断地变化着的。凡属连续变化的运动，在数量上它们有着共同的特点。拿气温的变化来看，一方面虽然在变化，但另一方面却是逐渐变化的。也就是说，在很短的一段时间内，其变化很小。因此，连续变化的概念，反映在数学上，就是当自变量的改变量很微小时，函数的相应改变量也很微小，即当自变量的改变量是无穷小（）时，函数的改变量也是无穷小（）。于是，当 时，我们就说函数在点处连续，或称为的连续点。若将写成，则就是 这样，在处连续，就是 或者说，当时，若函数的极限存在，且等于它在点处的函数值，则在点处连续。5 极限运算（1）极限的四则运算法则设 ， （这里自变量的趋向省略不写，表明各种趋向对下列各式均成立），则有. . 特别地，（为常量）. 其中法则、还可以推广到有限个函数的代数和与积的情形。如果将数列看成整标函数，则上述的极限运算法则对数列也完全适用。（2）两个重要极限在计算极限时，经常用到： 或 这里是一个无理数，取它的前15位小数是高等数学中，是一个十分重要的数，今后我们常取以为底的指数函数与对数函数：与导数和微分辅导学习要求1 理解导数的概念及其几何意义。2 能熟练地运用导数的基本公式与求导法则求函数的导数，知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。3 理解微分的概念及其几何意义，会运用微分作近似计算。4了解中值定理的条件和结论。5了解导数对函数的单调性、曲线的凹凸性、拐点、函数的极大极小与最大最小值。6知道洛必达法则。内容指导导数、微分以及它们的应用，统称微分学。1 导数概念导数概念是微积分最重要的概念之一，读者应从下列几方面加以理解。（1）导数定义的实质定义 设函数在点的某邻域内有定义，当自变量在处有改变量时，相应的函数有改变量；如果当时，比的极限存在，则称这个极限值为函数在处的导数，并说函数在处可导，记作或即 =也可以记作 或 上述定义中，比值是函数在区间上的平均变化率，而导数是函数在处的变化率（即瞬时变化率），它反映了函数在处相对于自变量变化的快慢程度。例如，变速直线运动的瞬时速度，反映了质点在时刻，位移相对于时间变化的快慢，在自然科学和工程技术的许多问题中，都要涉及到变化率的概念（即导数概念）。如果当时，的极限不存在，则称函数在处不可导或导数不存在。 （2）三种等价形式导数定义中，若令，则，且当时，有，从而 这就是函数在点处的导数的一种等价定义。另一种等价形式是，在导数定义中令，则就是。从而又有 的不同形式为讨论不同问题提供了多种手段。（3）导函数上面定义的是函数在点处的导数概念。如果函数在区间，内任意一点处都可导，就说函数在区间，内可导。这时，对于每一点，都有导数值与之对应，所以也是的函数，称为的导函数，也可记作 ，或计算导函数的公式为 显然，知道了导函数，要求函数在处的导数只要把代入导函数中去求值就行了。所以，函数在处的导数 实际上就是导函数在处的值。导函数也简称为导数。（4）导数的几何意义设、 为曲线上的两点（图1示）。当时，点沿着曲线趋向于点，这时，割线将绕点转动并转化为直线。直线叫做曲线在点的切线。若设割线和切线的倾角分别为和，则当时，割线的斜率必然转化为切线的斜率，即 这就是说，函数在处的导数就是曲线在对应点处的切线的斜率。根据上述导数的几何意义，得到曲线在点处的切线方程和法线方程分别为： 当时，法线平行于轴，其方程为 当曲线在点处的切线平行于轴时，法线平行与轴，其方程为 2 微分概念 （1）微分定义的实质在自然科学与工程技术中，常会遇到于导数密切相关的一种问题：在运动或变化过程中，当子变量有一个微小的改变量时，要计算相应的函数改变量。设随均匀变化，即，则函数的改变量与自变量的改变量之间成简单的线性（正比）关系： 对于一般的函数，与之间的关系是比较复杂的，但是能否用线性关系去近似呢？近似后所产生的误差有怎样呢？现在就可导函数来研究这个问题。当函数在可导时，有 或写成 上式表明，是当时的无穷小，因此写为 即 其中为当时的无穷小，可见，是由两项之和构成，其中第一项与成线性关系，且当，时，它是的同阶无穷小；而第二项，由于 （）故它是的高阶无穷小。这就表明：当充分小，且时，第二项的绝对值比第一项的绝对值要小得多。从而与成线性关系的构成了的主要部分，简称为的线性主部。由上面分析，可以看出，如果取作为的近似值，即不但得到了与之间的近似线性关系，而且还可以知道近似后的误差是的高阶无穷小。对于的线性主部（这就是微分定义的实质），有下面的定义。 定义 设函数在具有导数，则称为函数在（关于）的微分，记作（或），即=定义中的与是无关的，微分与及有关。通常把自变量的改变量称为自变量的微分，记作，即 =于是函数在的微分可以写成=当函数在有微分时，我们说在可微。当在区间内的每一点都可微时，我们就说在该区间内可微，这时，上述微分表达式中，的下标可以去掉，写成 =由微分定义可知，一个可微函数一定可导；同时，一个可导函数也一定可微，因为求出了导数后，只要乘上，就是相应的微分。因此，可导是可微的充要条件。引入微分后，导数也叫做“微商”，即函数的微分与自变量的微分之商。（2）微分的几何意义图2中，和是曲线上邻近的两点，是曲线在点处的切线，它的倾角为。由图容易得：=它表示，当自变量有改变量时，曲线在对应点的切线上纵坐标的改变量就是微分。从图还可以看出：它就是用微分近似代替改变量后所产生的误差。当比较大时，甚至可能比（主部）还大。但当很小时，比小得多。因此，当很小时，略去不计，用微分近似替代函数的改变量，在几何上表示在点附近用切线段近似代替曲线段。这种“以直代曲”的方法是微积分的基本思想。点出的直角三角形也成为微分三角形。3 导数与微分运算（1）显函数的微分法求显函数的导数或微分，只要直接应用和、差、积、商及复合函数的求导法（或微分法）即可。例如，求函数 的导数，有= =（2）复合函数微分法复合函数求导时，先要搞清复合关系，可以“由外往里层层剥”地设置中间变量。例如，求的导数，可设，。因此，当熟练后，可直接写成（省略中间变量的设置）：也可以一步写出结果：4 高阶导数函数的导数的导数，叫做的二阶导数，记作 ，或通常把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数。求高阶导数只要反复地用求一阶导数的方法。例如，已知，求。逐次求导： ，4导数的应用 前面我们研究了导数和微分概念，确立了微分法。这节将应用导数来研究函数及其图像的性质（包括函数的增减性、凹凸性、极值等），并运用这些性质解决最大（小）值问题。因此，它的重点是“应用”，应用时要注意各种条件与结论（包括必要条件、充分条件等），以及各类问题的解题步骤。我们知道，函数的导数表示函数在一点处（瞬时）随自变量变化快慢的程度。利用它，可以直接研究函数及其图像在一点处的变化性质（例如瞬时速度、切线斜率等）。为了应用导数研究函数在区间上的变化性质，先要熟悉微分学的中值定理。1 中值定理微分学中有费马引理、罗尔定理和拉格朗日中值定理。拉格朗日定理 如果函数满足：（）在闭区间，上连续；（）在开区间，内可导，则在，内至少存在一点，使 或由图3容易理解，当函数满足（）、（），即是条连续曲线并且在，内的每点处有切线时，那么在曲线上（只要把弦AB平行移动）至少有一点P（在图中是），使得曲线在该点处的切线与弦AB平行，也就是说，P点处的切线斜率和弦AB的斜率 相等。需要注意的是，拉格朗日定理并没有给出求值的具体方法，它只是肯定了值的存在，并且至少有一个。如图3中的函数，在，有与两个。拉格朗日定理的意义是：建立了函数在区间，上的改变量与函数在区间，内某一点处的导数之间的关系，从而为用导数去研究函数在区间上的性质提供了理论基础。2 用导数研究函数的性质为了使论述方便，我们将使用记号和，它们分别表示开区间，和闭区间，。现在我们利用导数来研究函数的单调性。设函数在上连续，在上可导。如果函数在上单调增加，那么，它的图形是一条沿轴正向上升的曲线，如图（a）所示，这时曲线上各点的切线斜率大于等于零（）；如果函数在上单调减少，那么，它的图形是一条沿轴正向下降的曲线，如图（b）所示，这时曲线上各点的切线斜率小于等于零（）。由此可见，函数的单调性与其导数的符号有着密切的联系。反过来，我们是否可以有导数的符号来判定函数的单调性呢？一阶导数的符号在上任取两点、，其中，在区间，上应用微分中值定理，得到 （）有上式可见，若，就有，于是，在区间上单调递增。同理可以说明在区间上单调递减。由此我们可以归纳出函数单调性的判别法。设在区间上连续且在区间上可导，则（1） 如果函数在区间上满足，则函数在区间为递增函数；（2） 如果函数在区间上满足 ，则函数在区间为递减函数。（3）如果函数在区间上满足 ，则函数在区间为常数。此外，导数的绝对值告诉我们变化率的大小。当绝对值较大时，函数曲线就陡峭一些；绝对值较小时，函数曲线就平坦一些。记住这些，你就可以从一个函数的导数情况判断出函数的一些性态。曲线的上下凹性设在某一区间内可微，一阶导数告诉我们，如果在某一区间内，那么在该区间式递增的；如果在某一区间内，那么在该区间式递减的。如果在某一区间内递增，则它的函数曲线向上弯曲或称为上凹，如果在某一区间内递减，则它的函数曲线向下弯曲或称为下凹。当向上弯曲时，曲线切线的斜率随着增加而增加，如图所示；当向下弯曲时，曲线切线的斜率随着增加而减少，如图所示。点为函数的拐点，即函数曲线在区域内点的左边向上凹，在点的右边向下凹，它是曲线由向上凹变为向下凹的分界点。如图所示。二阶导数的符号函数曲线的向上凹或向下凹、曲线的拐点可以用函数的二阶导数来确定。设在区间上连续且在区间上可导，则（1） 如果函数在区间上满足，则函数在区间为递增函数，函数曲线上凹；（2）如果函数在区间上满足 ，则函数在区间为递减函数，函数曲线下凹。局部极值性我们说在点达到极大值，指的是在的领域内为最大，如图所示。在点处达到极大值，虽然=在整个图像中不是最大，它只是在点领域内为最大，另一个最大值是B=，它只是函数在区间，端点的函数值，而=则是整个图像的最大值。同样，在点达到极小值，指的是在的领域内为最小，如图所示。在点处达到极小值，虽然=在整个图像中不是最小，它只是在点领域内为最小，另一个最小值是A=，它只是函数在区间，端点的函数值，而=则是整个图像的最小值。定义 设在区间上连续且在区间上可导，如果在点的领域内（点属于），对任意的（属于点的领域）有，则称是函数的一个极大值（或极小值），点是函数的极大值电（或极小值点）。函数的极大值或极小值统称为极值，极大值点或极小值点统称为极值点。函数的极大值和极小值概念是局部性的。如果是函数的一个极大值（或极小值），那只是就点附近一个局部范围来说，是函数的一个极大值（或极小值），如果就函数整个定义域来说，不见得是函数极大值（或极小值）。我们在微分中值定理一节曾经提到，如果函数可导，并且点是它的极值点，那么点必定是它的驻点，但是函数的驻点未必是它的极值点。如函数，点=0是它的驻点，但是在内函数是单调增加的，所以点=0不是它的极值点，可见，函数的驻点只是可能的极值点。此外，函数在它不可导点处也可能取得极值，如函数在点=0处不可导，但是在该点取得极小值。最大值与最小值在前面讨论极值的基础上我们进一步讨论函数在一个区间上的最大值与最小值的求法。最大值与最小值的应用很广泛，人们做任何事情，小到日常用具的制作，大至生产科研和各类经营活动，都要讲究效率，考虑怎样以最小的投入得到最大的产出，这类问题在数学上往往可以归纳为求某一函数在某个区间内的最大与最小值的问题。现在设函数在闭区间，上连续，在开区间，可导，根据闭区间上连续函数的性质可知，函数在闭区间，的最大值、最小值必定存在；其次，如果最大值或最小值在开区间，内的某一点取得，那么这个最大值或最小值必定是函数的一个极大值或极小值。于是，点必定为函数的驻点；最后，函数的最大值或最小值也可能是在或处取得。我们通过一个例子来看一看最大值或最小值的求法过程。例5 求函数在闭区间，上的最大值与最小值。解 首先求函数的导数。 可见，在，内是的驻点，又，是的不可导点。由于=2，=，=0，=，可见，在时取得最小值0，在时取得最大值。6洛必达法则如果（或）时， 两个函数与都趋于零或都趋于无穷大， 那么极限可能存在，也可能不存在，通常称这种类型的极限为未定式，并且分别记为或。在第三章中讨论的极限是未定式的一个例子，但是，除了个别情形之外，我们还不会求这种类型的极限。在本节中，我们将利用柯西中值定理得出一个求这些类型极限的简便而重要的方法。未定式定理1 设，在点的某去心邻域内可导，并且，又满足条件：(i) ；(ii) 极限存在或为，那么 =未定式定理2 设与在的某去心邻域内可导，并且，又满足条件：(i) , (ii)极限存在或为那么=用洛必达法则需注意几点：1 必须是未定式，不是未定式不能用洛必达法则；2 必须满足洛必达法则的条件才能用，否则不能用；3 用洛必达法则计算虽然很方便，但它不是万能的。有些未定式满足洛必达法则条件，极限也存在，可是用洛必达法则无法求出；4 用洛必达法则计算未定式时，最好与极限求法联合起来使用，这样使运算简捷。定积分与不定积分辅导学习要求：1 正确理解定积分的概念，掌握定积分的性质，能熟练地应用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分，掌握定积分在几何上的应用2 了解原函数与不定积分概念3 掌握直接积分法4 了解微分方程的有关概念内容：1定积分的概念2定积分的性质3牛顿-莱布尼茨公式4定积分的计算5定积分在几何上的应用6不定积分7不定积分基本积分公式8不定积分计算9可分离变量的微分方程内容指导：一元函数积分学中的另一个基本问题定积分问题。不定积分作为导数（或微分）的逆运算引入，而定积分概念是由实际需要，特别是几何、物理上的需要，而引进的。教材从计算曲线梯形的面积入手，引进了定积分概念。正确理解定积分概念是本章的重点之一。另外两个重点是：计算定积分与在几何上的应用。对于不定积分，重点是掌握不定积分的计算方法，特别是凑积分法。1 定积分的概念要正确理解定积分的概念，需要把握下列诸方面：（1）正确理解定积分的定义。定积分的定义，实质上是告诉我们一种解决问题的思想方法。它主要用于对区间，上某一量的计算。例如，底为区间， 、高为的曲边梯形面积的计算；作变速直线运动的物体，在某一时间区间，上路程的计算等等。定义采用：分割、代替、作和式与求极限四步，把要算的量归结为和式的极限： 当该极限存在时，就称此极限值为函数在区间，上的定积分，记作，即 =应当指出：分割是任意的，即极限值不依赖于分割的方式；代替是指，小区间上任意一点处的代替变动的，即“不变代变”；作和式是将有限项累加起来，它可作为所求量的近似值，且分割越细，其精确度越高；求极限，就是当每个子区间的长（此时，必有）时，和式的极限值即为所计算量的精确值。另外，关于定积分定义，还有如下补充说明：在定义中，我们只假定，对及 的情况，可补充定义 =，=0经过这样补充定义后，定积分的上、下限就没有什么限制了。（2）定积分存在的条件被积函数具备什么条件，和式的极限，即定积分存在呢？其充分条件是：如果函数在积分区间，上连续，那么定积分必定存在，今后，无特别声明，我们总假定被积函数在积分区间上连续。顺便指出，定积分存在的必要条件是：函数在，上有界。也就是说，当函数在，上无界时，定积分肯定不存在。（3）定积分的几何意义当函数时，我们已经知道，定积分在几何上表示以为曲边的曲边梯形面积，如图示。如果在区间，上，函数，那么曲边梯形位于轴的下方，如图示。在积分 =右端的和式中，由于，故每一项。从而积分也是一个负数（或零），这是它等于曲边梯形面积的负值，即 =-S 或 -=S如果函数在，有正有负时，则定积分就等于由曲线，直线与轴所围成的几个曲边梯形面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号。例如，对于下图，有 = 2 定积分的性质定积分的性质归纳起来可以和写为：=+ （为常数）称为定积分的线性性质。3 牛顿-莱布尼茨公式设是连续函数在区间a，b上的一个原函数，则 =这就是著名的牛顿-莱布尼茨公式，也叫做微积分基本公式。有了它，定积分的计算问题就转化为求不定积分的问题，从而提供了计算定积分的一种简便方法。应当注意，公式适用的条件是被积函数连续，但当被积函数分段连续时，可用定积分的性质把积分区间分成若干个子区间来计算。4 定积分的计算由牛顿-莱布尼茨公式可以把定积分计算归结为不定积分的计算，但定积分计算时，还需注意下列三个方面。（1）定积分的上、下限随积分变量的更换而更新。（2）奇、偶