2019届高考数学二轮复习专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形学案理.docx

第2讲三角恒等变换与解三角形高考定位1.三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换，“角”的变换是三角恒等变换的核心；2.正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题.真 题 感 悟 1.(2018全国卷)在ABC中，cos ，BC1，AC5，则AB()A.4 B.C. D. 2解析因为cos ，所以cos C2cos2 121.于是，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos C521225132.所以AB4.答案A2.(2017全国卷)已知，tan 2，则cos _.解析，且tan 2，sin 2 cos ，又sin 2cos21，所以sin ，cos .所以cos(cos sin ).答案3.(2018全国卷)在平面四边形ABCD中，ADC90，A45，AB2，BD5.(1)求cosADB；(2)若DC2，求BC.解(1)在ABD中，由正弦定理得，即，所以sinADB.由题设知，ADB90，所以cosADB.(2)由题设及(1)知，cosBDCsinADB.在BCD中，由余弦定理得BC2BD2DC22BDDCcosBDC25825225.所以BC5.4.(2018浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P .(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值.解(1)由角的终边过点P ，得sin ，所以sin()sin .(2)由角的终边过点P ，得cos ，由sin()，得cos().由()得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .考 点 整 合1.三角函数公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式：sin()sin cos cos sin ；cos()cos cos sin sin ；tan().(2)二倍角公式：sin 22sin cos ，cos 2cos2sin22cos2112sin2.(3)辅助角公式：asin xbcos xsin(x)，其中tan .2.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式(1)正弦定理在ABC中，2R(R为ABC的外接圆半径)；变形：a2Rsin A，sin A，abcsin Asin Bsin C等.(2)余弦定理在ABC中，a2b2c22bccos A；变形：b2c2a22bccos A，cos A.(3)三角形面积公式SABCabsin Cbcsin Aacsin B.热点一三角恒等变换及应用【例1】 (2018江苏卷)已知，为锐角，tan ，cos().(1)求cos 2的值；(2)求tan()的值.解(1)因为tan ，tan ，所以sin cos .因为sin2cos21，所以cos2，因此，cos 22cos21.(2)因为，为锐角，所以 (0，).又因为cos()，所以sin()，因此tan()2.因为tan ，所以tan 2，因此，tan()tan2().探究提高1.三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.2.解决条件求值问题的三个关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.(3)求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小.【训练1】 (1)(2018广西三市联考)已知x(0，)，且cossin2x，则tan等于()A. B. C.3 D.3(2)若cos(2)，sin(2)，0，则的值为_.解析(1)由cossin2x得sin 2xsin2x，又x(0，)，则tan x2，故tan.(2)因为cos(2)且2，所以sin(2).因为sin(2)且2，所以cos(2).所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2).因为，所以.答案(1)A(2)热点二正弦定理与余弦定理考法1利用正(余)弦定理进行边角计算【例21】 (2018潍坊一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知(a2c)cos Bbcos A0.(1)求B；(2)若b3，ABC的周长为32，求ABC的面积.解(1)由已知及正弦定理得(sin A2sin C)cos Bsin Bcos A0，(sin Acos Bsin Bcos A)2sin Ccos B0，sin(AB)2sin Ccos B0，又sin(AB)sin C，且C(0，)，sin C0，cos B，0B，B.(2)由余弦定理，得9a2c22accos B.a2c2ac9，则(ac)2ac9.abc32，ac2，ac3，SABCacsin B3.【迁移探究1】 若本题第(2)问条件变为“若b3，SABC”，试求ac的值.解由SABCacsin B，ac，则ac3.由余弦定理，得b2a2c22accos B(ac)2ac，所以(ac)2b2ac9312，故ac2.【迁移探究2】 在第(2)问中，保留条件b3，删去“条件ABC的周长为32”，试求ABC面积的最大值.解由b2a2c22accos Ba2c2ac，则9a2c2ac2acacac，所以ac9(当且仅当ac3时，取等号)，故SABCacsin B9sin，所以ABC面积的最大值为.探究提高1.高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口.【训练2】 (2017全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC面积为2，求b.解(1)由题设及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B).上式两边平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)，cos B.(2)由cos B及B为三角形一内角，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，则ac.由余弦定理及ac6得b2a2c22accos B(ac)22ac (1cos B)3624.所以b2.考法2应用正、余弦定理解决实际问题【例22】 (2018衡水质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处(点C在水平地面下方，O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A，B两地相距100米，BAC60，其中A到C的距离比B到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为OAC15，A地测得最高点H的仰角为HAO30，则该仪器的垂直弹射高度CH为()A.210()米 B.140米C.210米 D.20()米解析由题意，设ACx米，则BC(x40)米，在ABC内，由余弦定理：BC2BA2CA22BACAcosBAC，即(x40)2x210 000100x，解得x420(米).在ACH中，AC420米，CAH301545，CHA903060，由正弦定理：.可得CHAC140(米).答案B探究提高1.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.2.实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【训练3】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.解析由题意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300(m).在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m).答案100热点三与解三角形有关的创新交汇问题【例3】 (2018郑州质检)已知向量m(2sin x，cos2xsin2x)，n(cos x，1)，其中0，xR.若函数f(x)mn的最小正周期为.(1)求的值；(2)在ABC中，若f(B)2，BC，sin Bsin A，求的值.解(1)f(x)mn2sin xcos xcos2xsin2xsin 2xcos 2x2sin.因为f(x)的最小正周期为，所以T.又0，所以1.(2)由(1)知f(x)2sin.设ABC中角A，B，C所对的边分别是a，b，c.因为f(B)2，所以2sin2，即sin1，由于0B，解得B.因为BC，即a，又sin Bsin A，所以ba，故b3.由正弦定理，有，解得sin A.由于0A，解得A.所以C，所以ca.所以cacos Bcos .探究提高1.破解平面向量与“三角”相交汇题的常用方法是“化简转化法”，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧“化简”；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为“对应坐标乘积之间的关系”；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化.2.这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件“脱去向量外衣”，转化为三角函数的相关知识进行求解.【训练4】 已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR).(1)求f(x)的最小正周期；(2)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(A)2，c5，cos B，求ABC中线AD的长.解(1)f(x)cos 2xsin 2x2sin.T.函数f(x)的最小正周期为.(2)由(1)知f(x)2sin，在ABC中f(A)2，sin1，2A，A.又cos B，sin B，sin Csin(AB)，在ABC中，由正弦定理，得，a7，BD，在ABD中，由余弦定理得，AD2AB2BD22ABBDcos B5225，AD.1.对于三角函数的求值，需关注：(1)寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式；(2)注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用；(3)对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法.2.三角形中判断边、角关系的具体方法：(1)通过正弦定理实施边角转换；(2)通过余弦定理实施边角转换；(3)通过三角变换找出角之间的关系；(4)通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论；(5)若涉及两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)求解.3.解答与三角形面积有关的问题时，如已知某一内角的大小或三角函数值，就选择Sabsin C来求面积，再利用正弦定理或余弦定理求出所需的边或角.一、选择题1.(2018全国卷)若sin ，则cos 2()A. B.C. D.解析cos 212sin212.答案B2.在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知bc，a22b2(1sin A)，则A()A. B. C. D.解析由已知得cos Asin A.在ABC中，A.答案C3.(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.解析因为SABCabsin C，所以absin C.由余弦定理a2b2c22abcos C，得2abcos C2absin C，即cos Csin C.所以在ABC中，C.答案C4.(2018合肥质检)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C，bcos Aacos B2，则ABC的外接圆面积为()A.4 B.8C.9 D.36解析由题意及正弦定理得2Rsin Bcos A2Rsin Acos B2Rsin(AB)2(R为ABC的外接圆半径).即2Rsin C2.又cos C及C(0，)，知sin C.2R6，R3.故ABC外接圆面积SR29.答案C5.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC为锐角三角形，且满足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos A sin C，则下列等式成立的是()A.a2b B.b2aC.A2B D.B2A解析等式右边2sin Acos Ccos Asin Csin Acos Csin(AC)sinAcos Csin B.等式左边2sin Bcos Csin B，则2sin Bcos Csin Bsin Acos Csin B，因为角C为锐角三角形的内角，所以cos C不为0.所以2sin Bsin A，根据正弦定理，得a2b.答案A二、填空题6.(2018全国卷)已知sin cos 1，cos sin 0，则sin()_.解析sin cos 1，cos sin 0，sin2cos22sin cos 1，cos2sin22cos sin 0，得sin2cos2sin2cos22(sin cos cos sin )1，sin().答案7.(2018东北三省四校模拟)已知角的终边经过点P(4a，3a)(a0)，则25sin 7tan 2的值为_.解析由题意知tan ，sin .tan 2，25sin 7tan 225739.答案398.(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Ccsin B4asin Bsin C，b2c2a28，则ABC的面积为_.解析由bsin Ccsin B4asin Bsin C得sin Bsin Csin Csin B4sin Asin Bsin C，因为sin Bsin C0，所以sin A.因为b2c2a28，所以cos A，所以bc.所以SABCbcsin A.答案三、解答题9.(2018济南二模)在ABC中，ACBC2，AB2，.(1)求BM的长；(2)设D是平面ABC内一动点，且满足BDM，求BDMD的取值范围.解(1)在ABC中，AB2AC2BC22ACBCcos C，代入数据，得cos C.，CMMAAC1.在CBM中，由余弦定理知：BM2CM2CB22CMCBcos C7，所以BM.(2)设MBD，则DMB，.在BDM