全国版高考数学第五章数列5.1数列的概念与简单表示法课时提升作业理.docx

数列的概念与简单表示法(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列说法正确的是()A.数列1,3,5,7可表示为1,3,5,7B.数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列C.数列的第k项为1+D.数列0,2,4,6,可记为2n【解析】选C.根据数列的定义与集合定义的不同可知A,B不正确,D项2n中首项为2,故不正确,C中an=,所以ak=1+.【加固训练】已知数列的通项公式为an=n2-8n+15,则3()A.不是数列an中的项B.只是数列an中的第2项C.只是数列an中的第6项D.是数列an中的第2项或第6项【解析】选D.令an=3,即n2-8n+15=3,解得n=2或6,故3是数列an中的第2项或第6项.2.(2016武汉模拟)数列0,的一个通项公式为()A.an=(nN*)B.an=(nN*)C.an=(nN*)D.an=(nN*)【解析】选C.将0写成,观察数列中每一项的分子、分母可知,分子为偶数列,可表示为2(n-1),nN*;分母为奇数列,可表示为2n-1,nN*.3.(2016洛阳模拟)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2(an-1),则a2等于()A.4B.2C.1D.-2【解析】选A.由题可知Sn=2(an-1),所以S1=a1=2(a1-1),解得a1=2.又S2=a1+a2=2(a2-1),解得a2=a1+2=4.4.(2016岳阳模拟)数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n1),则a6=()A.344B.344+1C.44D.44+1【解析】选A.由an+1=3Sn,得到an=3Sn-1(n2),两式相减得:an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,则an+1=4an(n2),又a1=1,a2=3S1=3a1=3,得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列,所以an=a2qn-2=34n-2(n2),则a6=344.【加固训练】数列an中,a1=1,对所有的nN*,都有a1a2a3an=n2,则a3+a5=()A.B.C.D.【解析】选D.因为a1a2a3an=n2,所以a1a2a3an-1=(n-1)2(n2),所以an=(n2),所以a3=,a5=,所以a3+a5=+=+=.5.在数列an中,a1=1,anan-1=an-1+(-1)n(n2,nN*),则的值是()A. B.C.D.【解析】选C.由已知得a2=1+(-1)2=2.所以a3a2=a2+(-1)3,所以a3=.所以a4=+(-1)4,所以a4=3.所以3a5=3+(-1)5,所以a5=.所以=.6.已知数列an中,an=n2-kn(nN*),且an单调递增,则k的取值范围是()A.(-,2B.(-,3)C.(-,2)D.(-,3【解析】选B.因为an=n2-kn(nN*),且an单调递增,所以an+1-an0对nN*都成立,又an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k,所以由2n+1-k0,即k2n+1恒成立可知k0,所以an+1an,数列an为递增数列.7.(2016大同模拟)设数列的前n项和为Sn,且a1=1,为常数列,则an=()A.B.C.D.【解题提示】将Sn转化为an与an-1,再求解.【解析】选B.由题意知,Sn+nan=2,当n2时,Sn-1+(n-1)an-1=2,两式相减得(n+1)an=(n-1)an-1,即=,从而=,有an=,当n=1时上式成立,所以an=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.数列an满足:a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN*),则数列an的通项公式an=.【解析】a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,把n换成n-1得,a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,两式相减整理得an=3n.答案:3n9.(2016常德模拟)在数列an中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*),则a2016等于.【解析】由a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(nN*)可得该数列为1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,.由此可得a2016=a3366=a6=-4.答案:-4【一题多解】本题还可以采用如下解法:an+2=an+1-an,an+3=an+2-an+1,两式相加可得an+3=-an,an+6=an.所以a2016=a3366=a6=-4.答案:-4【加固训练】已知数列an中,a1=b(b为任意正数),an+1=-(n=1,2,3,),能使an=b的n的数值是()A.14B.15C.16D.17【解析】选C.a1=b,a2=-,a3=-,a4=b,所以此数列的周期为3,故选C.10.已知数列an满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为.【解析】因为an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=2(n-1)+2(n-2)+21+33=n(n-1)+33,所以=n+-12-1,当且仅当n=时,“=”成立.又因为nN*,因此当n=6时,=6+5.5-1=10.5.答案:10.5【加固训练】(2016龙岩模拟)如图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案,则按此规律第(n)个图案中需用黑色瓷砖块.(用含n的代数式表示)【解析】第(1),(2),(3)个图案黑色瓷砖数依次为:15-3=12;24-8=16;35-15=20;由此可猜测第(n)个图案黑色瓷砖数为:12+(n-1)4=4n+8.答案:4n+8(20分钟40分)1.(5分)(2016石家庄模拟)已知数列an满足:a1=,对于任意nN*,an+1=an(1-an),则a2017-a2016=()A.-B.C.-D.【解析】选D.a1=,a2=,a3=,a4=,归纳可知,当n为大于1的奇数时,an=;当n为正偶数时,an=,故a2017-a2016=-=.2.(5分)(2016龙岩模拟)已知数列an的前n项和为Sn,首项a1=-,且满足Sn+2=an(n2),则S2016等于()A.-B.-C.-D.-【解析】选D.因Sn+2=an=Sn-Sn-1(n2)Sn-1+=-2(n2),由已知可得,S1+=-2S2=-,S2+=-2S3=-,S3+=-2S4=-,可归纳出S2016=-.3.(5分)(2016揭阳模拟)设数列an满足:a1=1,a2=4,a3=9,an=an-1+an-2-an-3(n=4,5,),则a2017=.【解析】由于a1=1,a2=4,a3=9,则a4=a3+a2-a1=12,a5=a4+a3-a2=17,a6=a5+a4-a3=20,a7=a6+a5-a4=25,归纳可知an=an-2+8,即数列an的奇数项、偶数项均是以公差为8的等差数列,则a2017=a1+1008d=8065.答案:8065【加固训练】(2015安阳模拟)某校数学课外小组在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下:第k棵树种植在点Pk(xk,yk)处,其中x1=1,y1=1,当k2时,T(a)表示非负实数a的整数部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案第2016棵树种植点的坐标应为.【解题提示】由已知分别利用累加法求出xk,yk,进而求x2016,y2016.【解析】根据题意,x1=1,x2-x1=1-5T+5T,x3-x2=1-5T+5T,x4-x3=1-5T+5T,xk-xk-1=1-5T+5T,将上述k个式子相加得,xk=k-5T,所以x2016=2016-5T=2016-5403=1,同理,由y1=1,y2-y1=T-T,y3-y2=T-T,y4-y3=T-T,yk-yk-1=T-T,将上述k个式子相加得,yk=1+T,所以y2016=1+T=1+403=404,所以第2016棵树种植点的坐标为(1,404).答案:(1,404)4.(12分)已知数列an的通项an=(n+1)(nN*).试问该数列an有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的项数;若没有,说明理由.【解析】因为an+1-an=(n+2)-(n+1)=,所以当n0,即an+1an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an;当n9时,an+1-an0,即an+1an;故a1a2a3a11a12.所以数列an有最大项a9或a10,其值为10,其项数为9或10.【加固训练】若数列中的最大项是第k项,求k的值.【解析】方法一:由题意知,解得k1+.因为kN*,所以k=4.方法二:设an=n(n+4),则an+1-an=(n+1)(n+5)-n(n+4)=.当n3时,an+1-an0,即an+1an,当n4时,an+1-an0,即an+1an,故a1a2a3a5a6所以数列中最大项是第4项,即k=4.【方法技巧】数列an的最大(小)项的求法:(1)函数法:借助数列的单调性或图象来解决.(2)利用转折项法:利用不等式组找到数列的最大项;利用不等式组找到数列的最小项.5.(13分)已知数列an中,a1=1,前n项和Sn=