微元法在高考物理解题中的应用--毕业论文.docx

淮南师范学院2016届毕业论文毕业论文题目： 微元法在高考物理解题中的应用 学生姓名： 王森 学 号： 1206010226 所在院（系）： 电子工程学院 专业名称： 物理学 届 别： 2016届 指导教师： 刘云 职称（学位）： 讲师 淮南师范学院教务处目 录摘要.1绪论.21微元法的简介.2 1.1微元法的定义.21.2微元法的解题思路.21.3微元法的取元原则.21.4微元法的理论基础.32微元法在力学中的应用.42.1选择时间微元.52.2选择长度微元.52.3利用微元近似.63微元法在电磁学的应用.83.1速度、位移、时间微元在电磁感应中的应用.83.2电量、速度、时间微元在电磁感应中的应用.104高考真题解析.115总结.16参考文献.17 附录.18致谢.1919微元法在高考物理解题中的应用学生：王森 （指导老师：刘云）（淮南师范学院电子工程学院）摘 要: 微元法是分析物理过程连续变化的一种方法，因此在物理学中被广泛应用。在高中阶段，常常因为恒力问题被变力问题所替代，使学生迷惑不解，于是牛顿创立微积分学，采用微元方法处理分析复杂的物理现象。本文总结微元法在高中力学和电磁学方面的应用，将变量问题转化为常量问题、曲线问题转化为直线问题、非理想模型转化为理想模型，从而使问题简单化。关键词: 微元法 ; 高考 ; 力学 ; 电磁感应The application of infinitesimal method in solving the problems of physics in the college entrance examinationStudent: Wang Sen (Faculty Adviser: Liu Yun)(Electronic Engineering College, Huainan Normal University)Abstract: element method is a method of continuous variation analysis of the physical process, so it is widely used in physics. In high school, often because of the constant is variable problems, make students confused, so Newton created calculus, by differential element method for analysis of complex physical phenomena. This paper summarizes application of infinitesimal method in high school mechanics and electromagnetism, the transformed variables for constants and curve into linear problem, non ideal model transformation as the ideal model, so that the problem is simplified.Key words: element method; test; mechanics; electromagnetic induction绪论微元法是将研究对象进行无限细分, 化变为恒, 化曲为直, 化整为零,其基本思想可包括两点：一是无限分割，二是逼近。首先对事物整体客观的分析，然后着眼于事物微小的部分，最后再回到整体，进而解决物理问题。 微元法是高中物理的一种很重要重要的思想方法,它在物理知识体系中占有重要地位， 在一些物理概念和公式中得到体现。熟练的掌握和运用微元法解决物理问题，是高中生应对高考和提高自身能力所必备的技能。因此，每个学生都应该充分的认识到这一点，并在平时学习中多加练习和总结。1微元法的简介1.1微元法的定义微元法是指将连续的线、面、体看成无数个无限小线元、面元、体元的集合，物体的物理量设置为无限个小微元3，将物理问题转化为成为数学问题的一种方法。微元法又叫微小变量法,即在处理问题时，从事物的给小部分入手，然后分析它和一个大过程相同之处。只要分析透了微元的物理状况及物体宏观的物理状况之间的关系，就可以根据题意列出物理表达式进而求解。1.2微元法解题思路（1）假设研究对象发生微小的变化，选取的微小变化即微元应具有代表性。（2）仔细分析研究某个微小变化过程，发现微小变化所遵循的物理规律，列出对应的（3）理清物理微元微元过程与整个物理过程之间的内在关系，列出对应的数学关系式，解出物理量。1.3微元法取元原则（1）所选微元应具有物体的某些物理特征，例如运动特征，状态变化特征，受力特征等。（2）所选微元必须与所求物理量有某些相同的物理特征，这样才能通过分析找出相应的物理规律，解出物理量。（3选取最合适的微元，这样更易于建立物理模型，分析物理关系，解决物理问题。1.4微元法的理论基础在大学中 应用定积分解决实际问题时,通常是根据步骤更简单的微元法得到定积分表达式，而不是通过定积分定义中的分割、取近似、求和、取极限四步曲得到表达式的。微元法在解决各类积分的应用问题中是大致相同的,是学好各类积分的重要基础.微元法理论是经过定积分的定义逐渐演化的，因此我们可以通过先了解定积分的定义，再进一步深刻理解微元法。定积分的定义：设函数在上有界,若对任意分法,令任取,只要时,趋于确定的值 ,则称此极限值为函数在区间上的定积分,记作,即,此时称在上可积. 计算曲边梯形面积的具体步骤:1）在区间中任意插入个分点,用直线将曲边梯形分成个小曲边梯形;2）在第个窄曲边梯形上任取,作以为底,以为高的窄矩形,并以此窄矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积,得.3） （1.1）4）令,则有: （1.2）总结上述步骤为（1）分割：根据实际问题选取积分变量并确定其变化范围。（2）化整为零：将变量的变化区间划分为若干小区间，求出每个小区间内待求量的表达式。（3）集零为整：待求量在变量的变化区间内具有可加性，利用求和方法将对应于每个小区间的带求量的部分量叠加，得到待求量的近似值（4）取极限：假设每个小区间的原宽度趋于零时，求出待求量的极限值。（5）取极限：假设每个小区间的原宽度趋于零时，求出待求量的极限值。1通过对上述定积分定义中四步曲的理解，我们会发现应用定积分解决物理实际问题较为复杂。如果利用微元法去解决为求定积分的问题,那么问题就变简化了很多2微元法在力学中的应用2.1选择时间微元，与动量定理相结合，计算变力的平均冲力方法： 在碰撞和冲击这类问题中， 在极短的作用时间内， 冲力的值在一直变化， 所以冲力的瞬时值难以测量。如果已知知物体在碰撞后的作用持续时间和动量， 就可以通过动量定理计算出出冲力的平均值。但是如果碰撞后的作用时间和动量不知道，且冲力与物理过程有关， 那么我们可以把连续的物理过程看成由无穷多个无限短的过程组成，分析每一段时间微元内动量的变化过程， 然后根据动量定理求出冲力的平均值。例2 如图1所示，一分布均匀的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚，。试证明：绳下落的过程中的任意时刻， 是己经落到桌面上绳重力的三倍2。 图1分析： 设为，为，密度为p 。在某t时刻，已有x长的柔绳下落至桌面， 此时柔绳下落速度为。在其后时间间隔很短的内， 将有以速率为v质量 的柔绳落至桌面而保持静止，则柔绳动量的增量为。2根据动量定理，柔绳对桌面的冲力为，即 （2.1）已落至桌面的柔绳的重力为故桌面受到的压力为 （2.2）是已落到桌面上的绳重力的三倍。2.2选择长度微元， 化曲线为直线， 解决变力做功问题方法：微元法最初是为了解决变力做功和曲线问题而提出的,我们可以将受力支点的路径分成很多小段，把每一段看作方向的位移，同时在这方面的力也视为不变的。把每一段的小位移看作无穷小量，轨迹与原来的一致，称为元位移，那么力在元位移上做的功元功。3力的元功定义为，在有限位移上讨论自曲线a到b处的总功近似等于，假设每个元功的位移趋向于零，则求极限 该式即为力F沿曲线a至b的积分记为，这就说明变力做功是所有元功之和3。应用微元法解决变力做功首先写出元力做功表达式，然后计算出元力做功之和即为该力所做的功例1 用水平拉力拉着滑块做半径为R的圆周运动，如图2所示， 已知滑块与轨道的动摩擦系数为 ，滑块的质量为m 求此过程中摩擦力所做的总功。 图2 分析： 在整个运动过程中滑块所受的摩擦力大小不变， 方向一直在改变， 是变力，公式则不能求出答案。但是我们把圆周看做是由无数个微元段组成， 如图2 所示，每一小段足够小可以视为直线，那么摩擦力在每一小段上的方向也可以视为不变，此时摩擦力就能当做是恒力，则可以用公式，计算出每一小段上摩擦力做的元功，之后累加起来，就可以计算出全部过程中摩擦力所做的总功。 圆轨道看成是由无数多个的微元段组成，那么摩擦力在每一段上可以当做是恒力， 摩擦力在每个微元段所做的功即为： （2.3）运动一周摩擦力所做的功： （2.4）2.3利用微元近似模型， 将变量化为恒量， 结合功能原理， 计算变力的引力势能方法： 微元近似模型通常是采用适当的微小量的近似处理，将非线性变量变成线性变量、将变量化为恒量，将复杂的物理问题转化成简单的数学运算， 使问题变的简单化。例3 用微元法推导质距离地心为、质量为的物体具有的引力势能， 已知无穷远处的引力势能为分析： 把质量为 的物体由离地心为 的 处移到离地心无穷远处的B，计算移动过程中那个变力的功。显然移动过程中引力是变力，利用微元法将变力转化恒力。如图4 所不， 把 分成n个小段，当时，故每个上的引力可认为是恒力，引力从r到处所做的功是；上式右边是非线性表达式，因为，且引力在范围内取得近似，故，带入上式可得： 同理可得 （2.5） （2.6）则整个过程的功为 （2.7）因为，所以 （2.8）因为克服引力所做的功等于物体的引力势能的增加量，即且，故可得 (2.9) 3微元法在电磁学中的应用3.1、速度、位移、时间微元在电磁感应现象中的应用例1 如图1所示，有一竖直向下的分布在宽度为b 的区域内（在光滑的水平面上），如果有一个边长为L的以v1的初速度 垂直经过，速度由v1变为v2 ，问线框整个进入磁场时的速度是多少4解析根据牛顿第二定律，线框进入磁场受到安培力就是合力，因此，变形得 (3.1)两边求和 (3.2)因为 （3.3） 所以 同理线框完全进入磁场时的速度 （3.4） 例2 如图3所示，间距为L 的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为 ，导轨光滑且电阻忽略不计场强为B 的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，的宽度为d1 ，间距为d2 两根质量均为m 、有效电阻均为R 的导体棒a 和b放在导轨上，并与导轨垂直.（设重力加速度为g）5 图3 （1）若a 进入第2个磁场区域时，b 以与a 同样的速度进入第1个磁场区域，求b 穿过第1个磁场区域过程中增加的动能；（2）若b 离开第1个磁场区域时，a恰好进入第2个磁场区域；之后b 进入第2个磁场区域，a 又恰好离开第2个磁场区域.并且a、b 在每一个无磁场或磁场区域的运动时间都相同那么b 在第2个磁场区域运动过程中，两导体棒总共产生的焦耳热Q是多少；4（3）根据第（2）问所描述的运动状态，求a 经过第n个磁场区域时的速率v 解析（1）因为a 和b 产生的大小相等,且按回路方向相反，则感应电流为0，所以a 和b均不受安培力作用4，由，得 （2）设导体棒刚离开磁场区时的速度为 ，刚进入磁场区时的速度为，即导体棒刚离开无磁场区时的速度为 , 刚进入无磁场区时的速度为，在磁场区域，由能量守恒5，可得在无磁场区域 （3）采用微元法，无磁场区域，有 又平均速度 在有，对a 棒，有且解得 用微元法，已知速度v 是变量. 在一段时间很短的t 内，根据牛顿第二定律5，有则有刚离开磁场区时的速度为（导体棒刚进入磁场区时的速度为v2）5联立式,得所以联合上式得点评：本题第问就采用微元法使得问题的解决简单化，首先选取速度微元、时间微元、位移微元，再利用电磁感应规律、牛顿第二定律写出他们之间的物理表达式，最后再把微元进行求和，解出要求的物理量.3.2电量、速度、时间微元在电磁感应现象中的应用例3 如下图4所示，金属棒CD 垂直跨过位于水平面上的两条光滑金属轨上，其电阻r 0.3、质量m 0.1kg，长为L，两导轨间距也是L ，导轨电阻不计，棒与导轨接触良好，垂直导轨的向下穿过平面, 有电阻R 0.5接在左端,在恒定外力作用下金属棒在导轨平面上做匀速运动,速度v 2.0m/s，这时经过电阻R 的电流I 2A，若去除掉外力，金属棒将渐渐慢下来，最终在导轨上静止，求通过电阻R 的电量（从去除外力到金属棒静止的过程中）。4图4解析：从除去外力后，到金属棒停下来的整个过程中安培力是客观存在的变力，中学物理所学到的公式则显然不适用.首先任意选取一段时间t ,这时我们可以认为安培力是恒定不变的，根据动量定理4，得对等式两边求和有 (3.5)即 (3.6)而 (3.7)解得 (3.8)外力撤去以前，电流为 ，所以有BL = I(R +r)v ,代入上面式子得q = mv2I(R +r) 将已知条件 m =0.1kg、v =2.0m/s、I =2A、R =0.5、r =0.3代入解得q =0.25C 4高考真题解析例1：见附录1. 求: (1)装置从释放到开始返回的过程中,线框中产生的焦耳热Q ;(2)线框第一次穿越磁场区域所需的时间;(3)经过足够长时间后, 线框上边与磁场下边界的最大距离X。5图5解析:(1)设装置由静止释放到道题棒运动到磁场下边界中，作用在线框上的安培力做功为W，由动能定理 且 解得 (2)设线框刚离开磁场下边界时的速度为v1 , 则接着向下运动2d , 由能定理得5: 装置在磁场中的合力 感应电动势 感应电流 安培力 由牛顿第二定律，在t到t+时间内，有 则 有 联立得: （3）时间经过足够长后，线框做往复运动 由动能定理 解得 分析：本题是2009年江苏高考物理的第15题，分数为16分。本题是对学生力学和电磁学的综合考察，对学生的基本功要求很高。做此题首先要根据题意建立物理模型，清晰地知道整个物理过程。对物体进行受力分析，巧妙地运用动能定理和牛顿第二定理解出答案。本题的重难点就在第（2）问，不仅考察我们对公式定理的理解，还要求我们会用微元法解决物理问题。这里选取时间为微元，把运动过程分解成无穷多个时间段，然后选取一个时间微元分析速度的变化，找出其物理规律，最后再把所有的微元求和，进而化变量为常量，解出所要求的时间。例2：见附录2.求：（1）t时刻流过导体棒的电流强度I和电流方向（2）导体棒作匀速直线运动时水平外力F的表达式（3）导体棒在0t时间内产生的焦耳热Q（4）若在t0时刻将外力F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x6图6解析：（1）0到t时间内，导体棒的位移 x=t t时刻，导体的长度 L=x 导体棒的电动 E= 回路总电阻 电流强度 电流方向 （2）外力的大小等于安培力的大小 （3）t时刻导体棒的电功率 因为 所以P是均匀增大的，t时间内的平均功率为 产生的热量等于平均功率乘以时间 （4）设撤去外力后，经过时间t导体静止，坐标为x，时间为v，取得极短时间或极短位移6 在时间内，由动量定理得 扫过面积 得滑行距离d 则 即 解 得 分析：本题是2006年江苏高考题物理压轴题第19题，分数为17分。本题把力学和电磁学大综合，要求学生有坚实的物理基础外，还要学生有较高的数学思维能力。考查学生对电磁感应定律、牛顿定理、动量定理、安培力、电功率等公式的理解，根据题意分析整个物理过程。本题第（1）（2）两问较简单，第（3）问用平均值代入计算即可，难点就是在第（4）问。解答第（4）问要采用微元法，首先选取时间微元，在某个时间元里列出面积元的表达式，之后对面积元进行求和，进而推算并解答出静止时的坐标x。解决此类问题要有微元思想，根据题意灵活的选取微元，选择正确的微元，能让问题更加简单化，反之问题可能会变得更加复杂。 5总结通过对微元法例题的总结，我们可知，解决类似题目首先要有清晰的解题思路，按照以下三个步骤解答：1.选取正确的微元用作量化过程；2.把选取的微元设定为恒定不变的，之后再由题意总结规律写出物理表达式；3.把由规律总结出来的表达式在一定条件下统一的整合在一起，从而求出最终的答案。由以上例题分析和总结，我们可以看出微元法的在高中物理的应用尤为广泛，也是历年高考物理大题的热点。因此，深刻的理解微元法的定义，熟练运用微元法的解题步骤解决问题对于高中生是很有必要的。另外，通过对微元法的熟练掌握，可以帮助学生思维的提升，让学生对待同一个问题，可以多角度的去思考，进而寻求最简洁的解题方法，并为学生以后的学习和发展打下坚实的基础。 参考文献：1 高鼎镛.力学中的微元法.玉溪师专学报，1997，12，15.2 朱永宁.绳子下落问题教学法探讨，河海大学机械学院学报，1995.3 陈五立;黄生训;杨红.微元法在普通物理力学中的应用.中国科技信息，2006，04，15.4徐高本.微元法在电磁感应中的应用.高中生学习(高二版)，2014，02，15.5 邢标.江苏物理学科高考偏爱“电磁感应”背景下的“微元法”.科教新报(教育科研)，2009，12，10.6陆正香.微元法在屋里解题中的应用.安庆师范学院学报：自然科学版，2008.7吴振民.例谈微元法在高中物理中的应用J.中学生数理化(尝试创新版),2014,No.59904:3-4.8张细利.巧用微元法解决中学物理力学问题J.湖南中理,2015,08:76-77.92007-2011五年江苏物理高考试卷，百度文库，互联网文档资源，2012，11，2410俞明洪.例说微元法在高中物理中的应用J.湖南中学物理,2009,08:57-59.11居石磊.高中物理解题中“微元法”的应用价值J.数理化学习(高中版),2013,09:32-33.附录1.（2009年江苏高考）如图所示，两平行的光滑金属导轨安装在一光滑绝缘斜面上，导轨间距为l、足够长且电阻忽略不计，